第二十四章圆

1、圆的基本概念和性质(基础)学习目标1知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.要点一、圆的定义及性质1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O” 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；圆是一条封闭曲

2、线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：定点为圆心，定长为半径；圆指的是圆周，而不是圆面；强调 “在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴要点诠释：圆有无数条对称轴；因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”

3、.3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是O的直径，CD是O中任意一条弦，求证：ABCD.证明：连结OC、ODAB=AO+OB=CO+ODCD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)直径AB是O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“

4、圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧 .要点诠释：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；圆中两平行弦所夹的弧相等.类型一、圆的定义1在下列说法中：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小；半径相等的圆是同心圆；两个半径相等且圆心不同的圆是等圆，你认为正确的结论

5、有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案与解析 举一反三【答案】C.【解析】对照圆的定义及同心圆、等圆的概念进行判断.显然正确，不正确.【总结升华】考查确定圆的条件，同心圆、等圆的定义.类型二、圆及有关概念2判断题(对的打，错的打×，并说明理由)半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）弦是直径；（ ）长度相等的两段弧是等弧；（ ）直径是圆中最长的弦 . （ ）答案与解析 举一反三【答案】 × × .【解析】因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是

6、等弧，故错；直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.3直角三角形的三个顶点在O上，则圆心O在 .答案与解析 【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.4判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm，则与是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.类型三

7、、圆的对称性5已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D求证：AC=BD 答案与解析 【答案与解析】证明：过O点作OMAB于M，交大圆与E、F两点.如图， 则EF所在的直线是两圆的对称轴，所以AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.巩固练习一、选择题1. 下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；直径是弦；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 在O中，那么( )A. AB2CD B. ABCD C. AB2CD D. AB2CD3. 过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）

8、条.A. 1B. 2C. 3D. 44等于圆周的弧叫做（ ）A劣弧 B半圆C优弧D圆5. 已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 56. 已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（）A. 2 B. 3 C. 4D. 57. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A. 点PB. 点Q C. 点R D. 点M8以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）A1个B2个 C3个D无数个二、填空题9. 已知圆的半径，可以画_个圆；已知圆心，可以画_个圆；已

9、知圆心和半径可以画_个圆.10. 过已知O上一定点P，可以画半径_条；弦_条；直径_条.11. 圆是_对称图形.12. 在平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是_.13. 已知O中最长的弦为16cm，则O的半径为_cm14. 在同圆或等圆中，能够互相_的弧叫做等弧15. 一个圆的圆心决定这个圆的_，圆的半径决定这个圆的_三、解答题16某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图27-11所示，那么运动员公寓应建立在何处？ 17世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有

10、圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有_，是中心对称图形的有_(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)a是轴对称图形但不是中心对称图形b既是轴对称图形又是中心对称图形18. 已知MN=6cm，画出到M点的距离等于4cm的所有点，再画出到N点的距离等于5cm的所有点，指出既到点M的距离等于4cm，又到点N的距离等于5cm的点有几个？试说明你的结论.19已知：如图，C是O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=E

11、C，AOD=60°，求BOE的度数 答案与解析【答案与解析】 一、选择题1.【答案】D；【解析】根据圆的对称性、弦的定义、等弧的定义即可判断均是正确的.2.【答案】C；【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到结论. 3.【答案】A；【解析】圆的最长的弦是过该点的直径，只有一条.4.【答案】C；【解析】等于圆周的弧是大于半圆弧，是优弧.5.【答案】B；【解析】如图，连结PO并延长交圆O于A、B两点，则PA、PB即为最短弦2、最长弦8，故该圆的半径可求. 6.【答案】D；7.【答案】B；【解析】观察网格图不难发现AQ=BQ=CQ，所以圆弧所在的圆心是点Q， 故选

12、B.8.【答案】A；【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.二、填空题9. 【答案】无数；无数；1；10.【答案】1；无数；1；11.【答案】轴对称图形也是中心；12.【答案】以A为圆心3为半径的圆；13.【答案】8；14.【答案】重合；15.【答案】位置，大小.三、解答题16.【答案与解析】任意作连结A、B、C三点中的两点所成的线段的中垂线的交点.17.【答案与解析】（1）a、 b、 c ； a、c ；(2)图略.18.【答案与解析】分别画以M为圆心、以4cm为半径的圆，画以N为圆心、以5cm为半径的圆，两圆交于A、B两点，则A、B两点即为所求的2个点.19.【答案与解析】

13、C是O直径AB上一点， DE是弦，DC=EC，由圆的对称性可得点D、E关于直线AB对称，AOD=60°，AOE=AOD=60°，BOE =180°-60°=120°.垂径定理(基础)学习目标1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.要点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点二、垂径

14、定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径类型一、应用垂径定理进行计算与证明1如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB6 cm，OD4 cm，则DC的长为（ ）A5 cmB2.5 cmC2 cm

15、 D1 cm 答案与解析 举一反三【思路点拨】欲求CD的长，只要求出O的半径r即可，可以连结OA，在RtAOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D；【解析】 连OA，由垂径定理知，所以在RtAOD中，（cm）所以DCOCODOAOD541（cm）.【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。2如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ） AMP与RN的大小关系不定 BMPRNCMPRN DMPRN答案与解析 举一反三【答案】B；【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量猜测MP与RN相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形

16、，即证OMPONR，如果联想到垂径定理，可过O作OEMN于E，则MENE，PERE，MEPENERE，即MPRN【总结升华】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.类型二、垂径定理的综合应用3如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）A5mB8mC7mDm答案与解析 【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题【答案】B；【解析】如图2，表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，CDAB于D，CD表示拱高，O为的圆心，根据垂径定理的推论可知，

17、C、D、O三点共线，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，则OD2OA2AD213212225OD5，CDOCOD1358，即拱高为8m【总结升华】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径 答案与解析 举一反三【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为 R，则OF=(R-90)m， OECD，CF=CD=×600=300(m)，根据勾股定理，得： OC2=CF2+

18、OF2即R2=3002+(R-90)2 ，解得R=545，这段弯路的半径为545m【总结升华】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握巩固练习一、选择题1. 下列结论正确的是（）A经过圆心的直线是圆的对称轴 B直径是圆的对称轴C与圆相交的直线是圆的对称轴 D与直径相交的直线是圆的对称轴2下列命题中错误的有( )(1)弦的垂直平分线经过圆 (2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径A1个 B2个C3个 D4个3如图所示，AB是O的直径，CD是O的弦，ABCD于E，则图中不大于半圆的相等弧

19、有( )Al对 B2对C3对 D4对 第3题 第5题4AB为O的弦，OCAB，C为垂足，若OA2，OCl，则AB的长为( )ABCD5如图所示，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（）A2B4C6D86已知O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（ ）A B C D二、填空题7垂直于弦的直径的性质定理是_8平分_的直径_于弦，并且平分_9圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=_cm10如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm10题图 11题

20、图 12题图11如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_°12如图，AB为O的弦，AOB=90°，AB=a，则OA=_，O点到AB的距离=_三、解答题13如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施? 14. 如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10cm，AP:PB1:5，求O半径 15如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA30°，求CD的长. 答案与解析【答案与解析】

21、一、选择题1.【答案】A；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.2.【答案】C；【解析】（1）正确；（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确故选C.3.【答案】C；【解析】；.4.【答案】D；【解析】先求AC=.再求AB=2AC=.5.【答案】C；【解析】过O作OHCD并延长，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，MP=3，MN=2MP=2×3=6.6.【答案】A；【解析】作OHCD于H，连接OD,

22、则OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=.二、填空题7.【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧8.【答案】弦（不是直径），垂直于，弦所对的两条弧9.【答案】6；10.【答案】8；11.【答案】；12.【答案】， ；三、解答题13.【答案与解析】 设圆弧所在圆的半径为R，则R2-(R-18)2=302， R=34 当拱顶高水面4米时，有， 不用采取紧急措施.14.【答案与解析】 连结OC设APk，PB5k，AB为O直径， 半径 且OPOAPA3kk2k ABCD于P， CP5 在RtCOP中用勾股定理，有， 即， (取正根)， 半径(cm)15.【答案与解析】 作OFCD于

23、F,连结OC，如图， AE=6cm，EB=2cm， AB=8cm， OC=OB=4cm，则 OE=2cm， 又CEA30° OF=1cm， 在RtCOF中，由勾股定理得cm， cm。弧、弦、圆心角、圆周角(基础)学习目标1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心

24、角所对的弧相等，所对的弦也相等3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径要点

25、诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1

26、. 如图，在O中，求A的度数.答案与解析 举一反三【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等类型二、圆周角定理及应用2. 观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?答案与解析 【答案与解析】(a)1顶点在O内，两边与圆相交，所以1不是圆周角；(b)2顶点在圆外，两边与圆相交，所以2不是圆周角；(c)图中3、4、BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以3、4、BAD是圆周角(d)5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以5不是圆周角；(e)6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知6不是圆周角

27、.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角3. 如图所示AB为O的直径，动点P在O的下半圆，定点Q在O的上半圆，设POA=x°，PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式. 答案与解析 【答案与解析】解法1：如图所示， AB为O的直径，AOP=x° POB=180°-x°=(180-x)° 又 解法2：如图所示，连结AQ， 则 又AB是O的直径， AQB=90° 【总结升华】考查圆周角定理的应用.4如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

28、 【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接ADAB是O的直径ADB=90°即ADBC又AC=AB，BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是BAC的平分线即可巩固练习一、选择题1如图，AC是O的直径，弦ABCD，若BAC=32°，则AOD等于( )A64° B48° C32° D76°2如图，弦AB，CD相交于E点，若BAC=27°，BEC=64°，则AOD等于( )A37° B74° C54°

29、; D64° （第1题图） （第2题图） （第3题图）3如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138°，则它的一个外角DCE等于( )A69° B42° C48° D38°4如图，ABC内接于O，A=50°，ABC=60°，BD是O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则AEB等于( )A70° B90° C110° D120°（第4题图）（第5题图）5. 如图所示，1，2，3的大小关系是（ ）A1>2>3 B3>1>2 C2>1>3 D3

30、>2>16在半径等于的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A. B. 或 C. D. 或二、填空题7. 在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_8. 在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也_反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_9如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，BDOC，则B的度数是_. 10如图，ABC内接于O，ABBC，BAC30°，AD为O的直径，AD2，则BD_.11如图，已知O的直径MN10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、O

31、P和O上，且POM45°，则AB_. （第12题图）12如图，已知A、B、C、D、E均在O上，且AC为直径，则A+B+C=_度三、解答题13. 如图所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE为O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由14如图，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OACE、OBDF，求证.15如图，O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求

32、这个定值；若不是，请说明理由答案与解析【答案与解析】 一、选择题1.【答案】A；【解析】弦ABCD，BAC=32°，C=A=32°，AOD=2C=64°.2.【答案】B；【解析】 ACD=64°-27°=37°，AOD=2ACD=74°.3.【答案】A；【解析】 BAD=BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得DCE=BAD=69°.4.【答案】C；【解析】因为A=50°，ABC=60°，BD是O的直径，所以D=A=50°，DBC=40°， ABD=60

33、°-40°=20°，ACD=ABD=20°，AED=ACD+D=20°+50°=70°， AEB=180°-70°=110°.5.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.6.【答案】D；【解析】一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补.二、填空题7.【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】相等，这两条弦也相等；9.【答案】60°；10.【答案】11.【答案】； 【解析】如图，设ABx，在RtAOD 中: x²+（2x）²5²， x, 即

34、 AB的长. 第11题 第12题12.【答案】90° ； 【解析】如图，连结AB、BC，则CAD + EBD +ACE=CBD +EBD +ABE=ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】 BE=CF 理由：AE为O的直径，ADBC， ABE=90°=ADC， 又AEB=ACB， BAE=CAF， BE=CF14.【答案与解析】 如图，连接OE、OF， D是半径OB的中点OBDF， OD=OF,OFD=30°,即FOD=60°， 同理EOA=60°， FOD=EOA=EOF, 15.【答案与解析】 (1)如图，作OHCD于H，利

35、用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB， 所以AF=BE，AF+EF=BE+EF， 即AE=BF (2)四边形CDEF的面积是定值. 连结OC，则， 54(cm2)点、直线、圆与圆的位置关系(基础)学习目标1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在

36、，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫

37、做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点 (圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径 如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；

38、从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两

39、个结论：线段相等和角相等.5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=O

40、C；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内

41、切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设O1的半径为r1，O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 dr1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)两圆内切 d=r1-r2 (r1r2)两圆内含 dr1-r2 (r1r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公

42、共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.答案与解析 举一反三【答案与解析】（1）当d=4 cm时，dr，点P在圆内；（2）当d=5 cm时，d=r，点P在圆上；（3）当d=6 cm时，dr，点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.类型二、直线与圆的位置关系2在RtABC中，C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有

43、怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米答案与解析 举一反三【答案与解析】过C点作CDAB于D，在RtABC中，C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，AB·CD=AC·BC，(cm)，（1）当r =2cm时, CDr，圆C与AB相离；（2）当r= 2.4cm时，CD=r，圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CDr， 圆C与AB相交【总结升华】欲判定C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可【变式】如图，P点是AOB的平分线OC上一点，PEOA于E，以P为圆心，PE为半径作P

44、 .求证：P与OB相切答案与解析【答案】作PFOB于F，则可证明OEPOFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故P与OB相切。3如图所示，在RtABC中，B90°，A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作D求证：AC是D的切线 类型三、圆与圆的位置关系4(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是()A外切 B内切 C相交 D相离(2)已知O1与O2相切，O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，则O1O2的长是()A1cm B5cm C1cm或5cm D0.5cm或2.5cm答案与解析 【答案】（1）C ； （2）C.【解析】(1)由于圆心

45、距d7cm，R+r5+38(cm)，R-r5-32(cm)R-rdR+r，故这两圆的位置关系是相交(2)两圆相切包括外切和内切，当O1与O2外切时，dO1O2R+r3+25(cm)；当O1与O2内切时，dO1O2R-r3-21(cm)【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r；两圆外切dR+r；两圆相交R-rdR+r；两圆内切dR-r；两圆内含dR-r巩固练习一、选择题1.已知：如图，PA，PB分别与O相切于A，B点，C为O上一点，ACB=65°，则APB等于( )A65° B50° C45° D40°2如图，AB是O的直径，直线EC切O于B点，