平面向量共线专题

1、向量的共线定理一、知识点r r1、如果b a (a 0),则称2、一般地对于两个向量a(a 0),b,有如下的向量共线定理如果有一个实数，使,那么;反之，如果,那么.二、练习r rr r r r1、设两非零向量ei,e2 ,不共线，且k(ei e2)/(ei ke2),求实数k的值。2、设两非零且不共线向量a,b ,实数x、y满足(x y 1)a (2x y)b 0 ,试讨论x、y的取值.平面向量的基本定理一、知识点1 .平面向量的基本定理：如果e e2是同一平面内两个 的向量，a是 这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1, 2,使。其中，不共线的这两个向量e1, e2叫做表示这一平面内

2、所有向量的基底。2 .一个平面向量用一组基底ee2表示成3 ie1 2的形式，我们称它为向 量3的,当ei, e2所在直线，这种分解也称为 向量a的.二、练习1 .设ea是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）A. ei +e2 和 ei - e2B. 2ei -3 e2 和 4e6 e2C.e+2e2 和 2e1+ e2D.ei +e2 和 e2i2 .已知AM是AAB C的B C边上的中线，若AB = a , AC = b，则AM =( )A. 一 ( a b )2C. ( a + b)2B. (a b)2D. - ( a+ b )23.已知8,金不共线，a

3、= i ei +e2,式正确的是（）A. i=i, B. i=2,b =4 ei +2e2,并且a , b共线，则下列各C.尸3,D. i=44、已知e , e2是同一平面内两个不共线的向量，且 AB = 2 e + k e2 , CB = ei +3 e2 , CD = 2 ei e2,如果A , B , D三点共线，则k的值为 AB = a , AE = b，则 BC =-(a b )21一 (a + b )2=b ,其中a, b为已知向量,5 .已知AB CD EF是正六边形，A. 1 ( a b ) B .2C . a + bD .26 .如果 e e1 + 4 e2 = a , 2e

4、1 + 3e则 e = , e2 =7 .当k为何值时，向量a = 4e1 + 2e2, b=ke1 + e2共线，其中e1、e2是同 一平面内两个不共线的向量。8 .若向量a的一种正交分解是a = e1+e2,且e12e2=2,则a 9平面向量的坐标运算(1)、知识点1、两个向量和差的坐标运算 vv已知：a (x1,y1), b (x2,x2), 为一实数v v vuv v uv贝Ua b (Xii yj ) (x?i yj )=; v v即 a b =v v同理将a b=这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等v v uvva(x1iy1j)=即 a=这就是说，实数与向量的积的坐标等于： u

5、iv3、向量AB的坐标表小uuv若已知 4x101), B(x2,y2),贝UAB=个向量的坐标等于此向量的有向线段的 4、线段定比分点坐标公式v vb c =)二、练习vvvv1、设 a(1, 3), b( 2,4), c(0,5) 则 3auuv2、若点 A (-2, 1), B (1, 3),则AB=3 知 a (3, 1), bv vv v(1, 2), c2ab 贝C=(A. (6,-2) B . (5, 0) C . (-5, 0) D . (0, 5) 4、求证：设线段AB两端点的坐标分别为A>1,yj , 4x2/2),则其中点M(x,y )的坐标公式是：x22,y2平面

6、向量的坐标运算(2)一、知识点1、两向量平行(共线)的条件v v v .v v若a/b(b 0)则存在唯一实数使a/ b；v v v v反之，存在唯一实数，使a/ b ,则a/b2、两向量平行(共线)的坐标表示、一 vv- . v -V 7设 a (x1,y1),b (x2,y2), 其中 b 0 贝 Uab 等价于二、练习vvv v1、已知a(1,3),b (x,1),且 a/b ,贝x=()A.3B . -3C.1D.133vvvv2、已知 a ( 6,y), b ( 2, 1)且 a 与b 共线，WJ x=()A. -6 B . 6 C . 3 D . -3,uuv 、 , v3、已知A

7、(2, 1),B(3,1)与AB平行且万向相反的向量a的是()v 1vvvA. a (1-) B . a ( 6, 3) C . a ( 1,2) D . a ( 4, 8)214、已知A(1, 3),B(8,-),且A、B、C三点共线，则C点的坐标是()A. ( 9,1) B . (9, 1) C . (9,1) D .(-9,-1)5、平面内给定三个向量a (3,2),b ( 1,2),c (4,1)(1)求 3a b 2G(2)求满足a mb nc的实数m, n ；(3)若 G kC)/ (2b a),求实数 k.6、已知 ABC三个顶点ABC的坐标分别为A(x% y。，B(x2, y&

8、#187; , C(xa, ya),求 ABC的重心G的坐标.向量的数量积(1)一、知识点 r r 一 一1 .叫彳故at b的夹角。r rr r2 .已知两个 向量 Wb ,我们把 叫a与b的数量积。(或)一r r r r ,记作 即a b =其中是atb的夹角。r r5U做向量a在b方向上的 03 .零向量与任意向量的数量积为 or r4 .平面向量数量积的性质：设 Wb均为非零向量：r ra b r r_r rr r当aWb同向时，a b= 当Wb反向时，a b=,特别地，a a =或a =。 cos =5 . a b的几何意义：|b| cos 的几何意义：r r r6 .向量的数量积满

9、足下列运算律：已知向量 a,b,c与实数。r r a b =(#)r rr r r a b_= a+b c_r r r rr r、练习1.已知a =4, b =2且 /b的夹角为120o,贝U a、b=r r2.已知a br r一 += 12,且a =3, b =5 ,则a,b夹角的余弦值为3 .已知 ABC中，AB AC 4,AB AC 8 ,则这三角形的形状为 v v v v_v v »4 . a =3, b =5,a+ b与a- b 垂直，贝 =。1 2,2vlv5 . a 1,b2,(a b) a 0,则 a与 b的夹角为。v v6 .已知a=6,e是单位向量，它们之间夹角是

10、45o,则a在e方向上的投影为, e在a方向上的投影为。7 .边长为V2的等边三角形ABC中，设AB c,BC a,CA b v v v v一贝U a b+c a等于。- V - VVVVVV-VVVV - v8. 有下面四个关系式0. 0=0；a b c=a(b c)；a b=b a,0.a=0,其中正确的有 个。V Vv, v 一 . 一 ,. .9. 2=12=2贝1b的夹角为120o,贝U a 2b (2a b)的值为 uuur r uur r r r10. ABC 中，AB=a,BC=b,且a b<0,则 ABC 为 三角形。r r r r r r11 .已知向量ab满足a =

11、13, b =19, a+br r12 .设a、e2是两个垂直的单位向量，且r(1 )若a/b,求的值。(2 )若ar二24,求 ara=rb,求2e1+e2 ,b=e1的值。ve2.向量的数量积(2)、知识点1 .平面向量数量积的坐标表小,« ，一，一 vvv v已知两个非苓向重 a= x1 y1 ,b= x2 y2 ,a b=(坐标形式)。这就是说：(文字语言)两个向量的数量积等于 。v v如：设 a =(5,-7),b=(-6,-4), 求 a b =。2 .平面内两点间的距离公式vv2v设 a=(x,y),贝U a =或 a =如果有向线段 AB的起点为A(xi, yj和终点

12、B(x2, y2),则|AB = v v3 .向量垂直的判定设 a= xi,yi ,b= X2X2，则 a b 如：已知A (1, 2) , B(2,3), C(-2,5), 求证 ABC是直角三角形。4 .两向量夹角的余弦(00 0 )cos _何量表示):伴标表示)v uuur v uur v r如：已知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0), 且 a BC,b CA,则a 与 b 的夹角为。、练习rrr 2 r r1 .已知 a ( 4,3),b (5,6)则 3 a4a b=r rr ur2 .已知a 3,4 ,b= 5,12则a与b夹角的余弦为r rr r r r3 . a=

13、2,3 ,b=( 2,4)，则 a+b a-b =r r4.已知 a= 2,1 ,b=r r,3且a b则=5 .已知 a b (2, 8), a b rr6 . a=( 4,7);b=(5,2)r rr贝U a b=, a =r7 .与a= 3,4垂直的单位向量是(8,16) , WJ a b 。 rrr r2a 3ba+2b =,平行的单位向量为8. a=(2,3),b=(-3,5)则a在b方向上的投影为9. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)r uur r uuurr rH a=BC,b=CA贝UWb的夹角为10.A(1,2),B(2,3),C(2,0) 所以ABC为三角形。rrrrrr r r r