平行四边形的性质及判定典型例题

1、平行四边形的性质及判定（典型例题）1 .平行四边形及其性质ABCD寸角线的交点.zOB徨的周长为59OM 如图，BD=38AC=24则AD=_若AOBGWOAB勺周长之差为15,I口AB=ABCD周长=.则根据平疗脸形对角线互相平露所以。&=萩4加=；分析：AQ可得BG再由平行四边形对边相等知 AD=BC由平行四边形的对角线互相平分，可知 OBCfOAB勺周长之差就为BCIQ,进而可得ABCDA的周长. 之差，可得与AB 2BB中口儿二1:号此，='D （平行四边形的对角线互相平分） OBC勺周长=0由OO EC+二 AC + EC 22精选范本= 19+12+BC=59BC=

2、28LJABC 珅，BC=AW行四边形对边相等) . AD=28 OBQ勺周长-OABW周长=(0B+ OGr BC)-(OB+ OA+AB)=BC-AB=15AB=13口.ABCB勺周长=AB+ BO CH AD=2(AB+ BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的“ OB砧AOA留勺周长之差为15”符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15.例2判断题（1）两条对边平行的四边形叫做平行四边形.（）（2）平行四边形的两角相等.（）平行四边形的两条对角线相等.（）（4）平行四边形的两条对角线互相平分.（）（5）两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做

3、两条平行线的距离.（）（6）平行四边形的邻角互补.（）分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：错 A n“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形 ABCD两条对边AD/ BC.显然四 精选范本 .边形ABCM是平行四边形.错平行四边形的性定理1, “平行四边形的对角相等.”对角是指四边形 中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角.错般地平行四边形的性质定理3, “平行四边形的对角线互相平分.不相等.(矩形的两条对角线相等).对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的.错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行 线中，一条直线上任一点

4、到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平 行线的距离.(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知.平行 四边形的邻角互补.精选范本 .,在ABCM, E、1F是AC上的两点.且例 3 .如图AE=CF求证: ED/ BF.分析：欲址 DE/ BF,只需/ DECN AFB,转证=/ABH CDF,因 ABCD 贝U有ABCD从而有/ BACN CDA再由AF=CF得AF=CE满足了三角 形全等的条件.证明：AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在ABC附AB/CD仔行四边形白对边平行）/ BACh DCAM直线平行内错角相等） 精选范本 .AB=C例行四边形的对边也相等）

5、.ABH A CDE（SAS） / AFB之 DCE. ED/ BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在 ABC中DE/ BC/ FG 若BD=AF求证；D日FG=BC分析1:要证D日FG=D岫于它们是平行线，由平行四边形定义和性 质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH/ AB（或DM/ AC）, 得至U DE=BH 只需证 HC=FG 因 AF=BD=EH / CEHN A. / AGF= / C所 以AAF® /EHC此方法称为截长法.分析2:过C点作CK AB交DE的延长线于K,只需证FG=EK精选范本CK

6、E证法1：过E作EH/ AB交于H DE/I BC四边形DBH至平行四边形（平行四边形定义）DB=EHDE=BH行四边形对边也相等）又 BD=AFAF=EH BC/ FG./AGFh C（两直线平行同位角相等）同理 /A=/ CEH.AF® A EHC（AAS）精选范本. FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BD证法2:.过C作CK AB交DE的延长线于K. DE/ BC四边形DBC是平行四边形（平行四边形定义）CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又 BD=AFAF=CK CK/ AB./A=/ ECK网直线平行内错角相等）精选范本. BC/ FG / AG

7、Fh AED幽直线平行同位角相等）又/ CEKh AED附顶角相等） / AGFh CEK .AF® A CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC 如图 ABC。，/ ABC=*A,点 E在例 5 CD上,CE=1, EF，CD CB 延长线于F,若AD=1求BF的长.分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C=/ F=450进 而由勾股定理求出CF,再根据平行四边形对边相等，得 精选范本 .BF的长.Iu在ABC师，AD /BC：/A+ /ABC=180 （两直线平行同旁内角 互补）. /ABC=3 A./A=45 , /ABC=135./C=/A=45

8、（平行四边形的对角相等）/. EF± CD./F=45° （直角三角形两锐角互余）EF=CE=1 ritTAD=BC=1£I 1571,ABCDK 对角线 AC长为10cm /CAB=30 , 16例如图 1/,求ABCD勺面积.长为 AB6cm精选范本图2)的延长线于点ABH (过点解：C作CHL AB,交< / CAB=30口AFtttr F - J.T7CJ - f? I R昭E阳、ABCD. = AB- CH= 6X5=30(cm2)S1> 1L>4 - U J 一 B .答：ABCD勺面积为30cm2| ；由于说明：=底><

9、 高，题设中已知AB的长，须求出与底的高，故相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点 DABC作高.选择过占八、/EF上，且、的边 ABCDGD如图，例7 EF分另U在BCBD精选范本求证：SJAACE=& ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.=10=522口口证明：将EF向两边延长分别交 AD AB的延长线于G H.ABCD DE AB ./ DEG= BHF（W直线平行同位角相等）/GDE= DAB何上）AD/ BC/ DABh FBH问上） ./GDE= FBH DE/ BH DB/ EH 四边形BHE匿平行四边形 DE=BH（行四边形

10、对边相等） 精选范本 .GDE2 A FBH（ASA）/.SAGDE=SFBH等三角形面积相等） .GE=FH等三角形对应边相等）.SAACE=SAFH等底同高的三角形面积相等）/.SA ADE= SA ABFS=a ha.平行四边形的面积等于它的底和高的积.说明：即 a可以 是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的 高，为了区别，可以把高记成ha,表明它所对应的底是a.IQ£ N ，I如图，在 ABC前，BE平分/ B交C叶点E, DF平8例分/ D交AB 于点F,求证BF=DE .精选范本证明：ABC虚平行四边形四边形）/ADC佯行四边形的对边也平行对角相等A

11、BCEDE/ FB, / ）3（两直线平行内错角相等/21二/ /3：/2=） /BE（同位角相等两条直线平行DF）平行 四边形定义.四边形BED咙平行四边形（）（BF=DE：.平行四边形的 对边相等 精选范本 .说明：此例也可通过 AD*zCB睐证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的RtzABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC CDT E, EF/ AB,交BC于点F,求证CE=BF而= Za = Jzaec22介折EF=DE 1目标）BEDF 为口分析 作EG/ BQ交AB于G易得EG=BF再由基本图，可得EG=EC从而得出结论.正h EE DE f配N4工匕'Z 1=Z

12、2T-."T' JJ -T'Tfc证明: 过E点作EG/ BC交AB于G点. / EGAM B精选范本 .: EF/ ABEG=BF.CD为RtzABCM边AB上的高./BAO /B=90 . / BAO /AC90./ B=/ ACD / ACDM EGA AE平分/ BAC/ 1 = /2又 AE=AE.AG。AACE(AAS) .CE=EG .CE=BF说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.本题也(2)可以设法平移G)ABAEFGF(AE连点作/ ,交于精选范本如图，已知 ABCD勺周长为 32cm AB： BC=5J 10 ： 3, AnBC

13、于 E,AFL DC于 F, / EAF=2/ C,求 AE和 AF 的长.分析：从化简条件开始IZTk由ABCD勺周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.Ji r g 、/ EAF=2/ C告诉我们什么？的直角三这样，立即可以看出 ADF AEBtB是有一个锐角为30角形.精选范本再由勾股定理求出，32cm解:ABCD勺周长为AB+BC+CD+DA=32平行四边形的对边相等; AB=CD BC=DA():3BC=5又 AB：360 )AFC+/ C+/ CEA=360 (四边形内角和等于/ EAF+ ± BC /AEC=90 AE/ DC /AFC=90 AF1 /C=180

14、EAF-/ /CEAF=2/ C=60 精选范本.AB/ CD"行四边形白对边平行） / ABEh C=60° （两直线平行同位角相等）同理/ ADF=60说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化 简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称 为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2.平行四边形的判定例1填空题 如图1,四边形ABCDW四边形BEFO是平行四边形，则四 精选范本.边形AEF虚理由是口.心 4 3c 33 = 1«S 25-3（2）如图 2, D E分别在ABC勺边 AB AC上，DE=EF AE=EC DE

15、/BC则四边形ADC匿一理由是四边形BCF奥一理由是 分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出 发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得 AD平行且等 于BQ BC平行且等于EF,从而得AD平行且等于EF,由判定定理4 可得.（2）由AE=EC DE=EF由判定定理3可得四边形ADC度平行 四边形，从而得AD/ZCF即BD/ZCF,再由条件，可得四边形 BCF奥 平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边 形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.精选范本 .说明：平行四

16、边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例2如图，四边形ABC师，AB=CD / ADBW CBD=90 ,求证：四边形ABC星平行四边形.在中，/= BE AB 5/. Al =5 (cm)分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一：. AB=CD / ADBW CBD=90 , BD=DB 精选范本.AB乎 RtACDB/ABDh CDB /A=/ C. / ABD廿 CBDN CDB廿 ADB即 /

17、ABCh CDA四边形ABC崖平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四 边形).证法二： / ADBh CBD=90 , AB=CD BD=DB.AB乎 RtACDB / ABDh CDB.AB/ CD （内错角相等两直线平行） 四边形ABC崖平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形）.证法三：由证法一知，Rt AB乎Rt CDB精选范本. . DA=BC又AB=CD四边形ABC崖平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四 边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们 必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中, 证法二与证法三比较简捷，

18、本题还可用定义来证明.如图，ABCM, E、G F例3、H分别是四条边上的点，且 AE=CFBG=DH求证：EF与GHE相平分.国-分析：只须证明EGFhfe平行四边形.，精选范本 .证明：连结EG GR FH HE 四边形ABC崖平行四边形./A=/ C, AD=CB; BG=DH .AH=CG又 AE=CF .AE* CFG（SAS） .HE=GF同理可得EG=FH 四边形EGFH平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） EF与GHS相平分（平行四边形的对角线互相平分）.说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题 基本方法.精选范本如图，ABC。，AnBD于 E

19、, CF例 4，BD于 F.求证：四边形AEC匿平行四边 形.rx 口| ”4-分析：由平行四边形的性质，可得 AB9ACDF .AE= CF进而可得四边形AECF平行四边形.JL ，仁广 jdj P I j I '二、F汨对导14由融辉 I证明：ABC前，ABCDI fn一阻弼为平A日和婴I 一 .（平行四边形的对边平行，对边相等） / ABDh CDBM直线平行内错角相等）AE± BD CF± BD .AE/ CFZ AEBh CFD=90.ABM A CDF（AAS）AE=CF四边形AEC匿平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是 精选范本平行四边形）说明：平

20、行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四 边形的一个判定方法.如图，ABC前，E、F分另U在AD BC例5上，且AE=CF AF BE相 交于G CE DF相交于H求证：EF与GHE相平分分析：欲证EF与GHE相平分，只需四边形EGFHfe平行四边形，利 用已知条件可知四边形 AFCE四边形EBFDTB为平行四边形，所以可 得AF/EQ BE/ DF,从而四边形GEH助平行四边形.ADBC4行四边形对边平行且相等）中，证明：ABCD AE=CF.DE=BF 四边形AFCE四边形BFD虚平行四边形（一组对边平行且 精选范本 .相等的四边形是平形四边形） .AF/ CE BE/ZDF（

21、平行四边形对边平行）四边形EGFH平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四 边形） GHW EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形， 然后再应用平行四边形的 性质加以证明.已知ABC前，EF在BD上，且如图，例6 BE=DF点G H在AD CB上，且有AG=CHGHK BD交于点 Q 求证EGHF精选范本分析：证EF GHM相平分GEH两平行四边形.证明：连 BG DH G

22、R EH.ABC时平行四边形.ADBC.又 AG=HC. DGBH 四边形BGDH;平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） .HO= GO DO=BW行四边形的对角线互相平分）又 BE=DF .OE=OF 四边形GEH的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行 精选范本.四边形） EGHF （平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=Df及到又t角线BD所以考虑用对角线互相平分来证明如图，ABCM, AE±BD于 E, CF± B叶 F,例 7 G H分别为 AD BC 的中点，求证：EF和GHM相平口分.B分析：连结EH HR FG GE只须证明EHF劭平行四边形.证法一：连结 EH HR FG GE 精选范本 . AEL BDD G是 AD中八、 _£,ZGED=GDE同理可得 X wB F C 四边形ABC崖平行四边形ADBC / GDE= HBF 口 .GE=HF / GED=HFB .GE/