第5节 基于消费的资产定价理论

1、基于消费的资产定价理论2013-11-151、一个简单的模型消费者在投资储蓄中实现其效用最大化，其效用函数为：市场中有N中资产，是资产i在第1期的收益，包括资本收入和红利。资产的收益率定义为：，它是一个随机变量。家庭资产中持有i的比例设定为。家庭两期的收入分别是。那么家庭的预算约束是：家庭的问题，给定两期的收入，选择两期的消费水平和第一期的投资组合，实现效用函数最大化。拉格朗日函数：一阶条件：公式意味着，任何两种资产的收益率（或价格）须满足：公式表明，投资者将在两种资产中进行替代，直到两种资产回报的边际期望效用相等为止。若该等式不成立，投资者可以通过改变资产结构来提高总期望效用。根据，得到：因

2、此，有：所以，资产i的价格和收益之间的关系（资产价格决定公式）：该式表明，家庭对资产i的最优选择应该是在多花一块钱投资资产i的效用成本等于下一期的期望效用收益。2、无风险利率假设N种资产中有一种是无风险资产，那么：消费函数采用CRRA函数形式：，则有：对数表达式为：跨期替代弹性可以定义为：当，对数效用函数，利率的变化对消费没有影响。因为利率引起的收入效应与替代效应相等，正好抵消。3、基于消费的资产定价消费者的一阶条件可以理解为资产定价的决定方程。将公式转为：公式含义：（1）是当期消费和下一期消费的边际替代率。（2）从资产定价的角度来说，表示随机折现因子（stochastic discount

3、factor）。当下一期收入高，就小，随机折线因子就低，对未来的收入评价低。反之，下一期收入低，就大，随机折线因子就高，对未来的收入评价高。因此，也称为状态价格折现因子（state price defalor），它对于不同的状态给出了不同的折现率。（3）对于消费者来说，无论资产的风险高低，随机折现因子都相同。折现率只跟状态有关，与资产无关。因此，是风险资产的定价因子（pricing kernel）。（4）由于收入状态不同，随机折现因子可能不同投资者之间有差异。但是，对于随机折现因子与风险资产的现金流的乘积相的期望对于所有投资者都相同。4、名义收益vs实际收益上述分析是基于真实收益角度进行计算。

4、现实中，所有收益都用名义变量来度量。如何对名义资产进行定价呢？假设和是资产的名义价格和名义收益。CPI是物价指数。那么实际价格和实际收益就是、。带入，得到：因此，资产i的名义价格就是：其中，是名义随机折现因子（nominal pricing kernel）。5、风险溢价与消费的边际效用根据以上的定义，公式可以写为：根据前面的定义，风险收益率表示为：。所以可以转为：资产i的风险溢价等于边际效用和收益率相关性与边际效用期望之比值。当消费水平高时，该资产的收益率也高，则边际效用与收益率负相关，因此，该资产均衡收益率高于无风险资产。当消费低时，该资产的收益率高，则边际效用与收益率正相关，那么，该资产均

5、衡收益率将会低于无风险资产。因为，该资产为消费波动提供了对冲机制，有利于消费平滑的实现。该资产价格就会比较高。6、与CAPM的关系假设消费者的消费水平与市场收益率成正相关系。则其边际效用与市场收益率成负相关系。假设该关系有如下线性形式：这意味着：将两式带入，得到：结合上两式，可以得到传统的CAPM：当消费的边际效用与市场收益率完全负相关的时候，基于消费的资产定价等价于CAPM。两种情况下，上述情况成立：（1）如果资产服用任意分布，劳动收入没有风险，效用函数是二次函数，那么消费的边际效用与市场收益率完全负相关。（2）对于任意效用函数来说，如果资产收益服从正态分布，劳动收入无风险，消费的边际效用与

6、市场收益率完全负相关。7、风险溢价的界限 对公式进一步推导：进一步：所以，该式意味着，给定无风险利率和随机折现因子的波动性，夏普比率（Sharp Ratio）有一个最高限。任何一项资产（组合）的风险收益结构不可能超过该界限。该界限实际上就是一个有效资产组合。假设一种资产的收益率与市场收益率完全负相关，那么公式等式成立。也意味着资本市场线（capital market line）的斜率等于。这意味着，（达到最大夏普比率的）资本市场线的斜率与随机折现因子波动性正相关。8、股票溢价之谜对于CRRA效用函数，假设消费服从对数正态分布。因此，有：采用美国标普指数，过去75年平均收益率高于无风险利率8.3%，标普组合的波动性为，这意味着夏普比率是0.49。美国代表性家庭的消费波动性为之间。用公式计算的风险厌恶系数之间。传统的估计在2,6之间。采用合理的风险厌恶系数，估计的股票风险溢价水平要远远低于实际数值，这一理论与实际不合现象称为“股票溢价之谜（equity premium puzzle）”。9、无风险利率之谜无风险利率的公式得到：因此，我们