欧拉公式的证明和应用

1、数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用. 序言 22 .欧拉公式的证明 32.1 极限法 32.2 指数函数定义法42.3 分离变量积分法42.4 复数幂级数展开法 42.5 变上限积分法52.6 类比求导法 73 . 欧拉公式的应用3.1 求高阶导数73.2 积分计算 83.3 高阶线性齐次微分方程的通解93.4 求函数级数展开式93.5 三角级数求和函数103.6 傅里叶级数的复数形式 104 . 结语 11参考文献 11一序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一1 ，留下了数不胜数的以其名字命名的公ix式。本文关注的欧拉公式e cosx i sin x ，在复数域中它把指数函数联系在一

2、起。特别当x 时, 欧拉公式便写成了ei1 0 ， 这个等式将最富有特色的五个数 0,1,i,e, 绝妙的联系在一起， “ 1是实数的基本单位， i 是虚数的基本单位， 0 是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。i源于代数，源于几何，e源于分析，e与 在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。 ” 2 公式ei1 0 成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。欧拉公式的证明 欧拉公式eix

3、cosx i sin x有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其x次是复指数函数定义法2 ;另外从对数函数特征性质 1或" ex出发3 ,利用微分方程 dx x dx分离变量积分法；再者采用复数哥级数展开式法来验证3 ;再其次采用变上限积分法验证；最后利用Lagrange中值定理的推论来证明3。1.1极限法当x 0时，欧拉公式显然成立；当 x 0时，考虑极限 lim(1 ix)n,(x R,n N), n n一方面，令t n则有ix(1)Hm(1 3ntim(1 1)tix eix ；ix另

4、一万面，将1 化为三角式，得n1 区；1(-)2cos(arctan(-) i sin(arctan(-) ；n . nnn由棣莫弗公式得ixx o -nxx(1 )1 (-) 2cos(narctan(-) i sin(narctan(-) ,nnnnlim sin(narctan(x) nnsinlim narctan(x) nn所以有由（1）、（2）两式得1.2指数函数定义法因为对任何复数z所以，当复数z的实部1.3分离变量积分法设复数z cosxlim(1 -)ncosx isinx,(2)iy,(x, yx=0时，就得isin x,(xeiyix ecosx i sin x oR）,

5、复指数函数cos y i sin y。R）,两边对x求导数,ezex iyex(cos y isin y)4dzdxsinx icosx.2 .，.、.i sin x i cosx i (cosx i sin x) iz ,分离变量并对两边积分，得1H-dzidx , In z ix c,z取x 0 ,得z cosx i sin x 0,c 0,故有In z ix ,即_ix e cosx i sin x o1.4复数哥级数展开法(1)nx2n0 (2n)!n 2 2n(1) x0 (2n 1)!(ix)n0 n!,(x,(x,(xR)，R)，R)，应 eix。n!1.5变上限积分法考虑变上限

6、积分y 1 dt0 t2 1因为y 1,-2dt0 t2 1arctanty|0 arctany,又因为-ln 2再设 arctan yi 2-ln(cosg ln(cos2( i-ln(cos(八2、2i sin cos sin )2isin( )cos( ) i2sin2()i sin( )2i ln(cos()i sin()；i()ln(cos( ) i sin(),即有ix ecosx i sin x o1.6类比求导法x e 构造辅助函数 f (x) ，为在I (,)上处处有 e 和cosx isinx可导，且cosx i sin xcosx i sinx 0 ,所以在区间I (,)

7、上，f(x)处处可导，且ixe (i cosx sin x sin x i cos x) 0;cos2x i sin 2x根据Lagrange微分中值定理的一个重要推论“如果函数 f(x)在区间I上的导数恒为0 ,那么f(x)在区间I上是一个常数" ，f(x)在区间I上是一个常数，即存在某个常数 C,使得x I (,)，都有f(x) c；又因为f (0) 1,所以c 1,从而f (x) 1,即ix e cosx isinx。三.欧拉公式在高等数学的应用举例欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明

8、。2.1 求高阶导数设 f (x) e 3xcos4x,求 f(n) (x) o解：设 g(x) e 3x sin4x,根据欧拉公式，有4 arctan-,3并记F(x)f (x) ig(x),(5)ne 3xcos(n4x) isin(n 4x),分离其实部和虚部，即可得所求之结果f(n) ( 5)ne 3xcos(4x narctan4)。2.2 积分计算2x2x求不定积分：xe sin3xdx 和 xe cos3xdx 。解：记 f (x) xe2x cos 3xdx , g (x) xe2x sin 3xdx ,贝U2x2xf (x) ig (x) xe cos3xdx i xe si

9、n 3xdx ,xex(cos3x isin3x)dxxde(23i)x2 3i12 3i1(2 3i)xx e(2 x e3i)x1e2 3i1(2 3i)x1 c2 3i2 3i (2 x e1326 39i x1693i)xe(2(2 3i)25 12i (e3i)x(2 3i)x e c(2 3i)x! c1695 12i (2 3i)x e c1692x e1692x e1692x e169(26x(26x(26x5)5)(39x 12)i(39x 12)i3ix e c(cos3x isin3x) c5) cosx (39x 12)sin3x2xe .(12 39x) cosx (

10、26x 5)sin3x c分离实部和虚部（上式中 c为任意复数，G和c2分别为其实部和虚部）2x2xexe sin 3xdx (12 39x) cosx (26x 5)sin 3x C2。1692.3 高阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程y12y'" 144y 0的通解。解：因为原方程的特征方程为5 123221440,即(6)108 0 ,可知有一个实数特征根为1 0,其余四个特征根由2 6 6、3i-i12e 3 ,可求得另四个特征根为: 即两对共轲复根 J3 3i和 V3 3i所以原方程组通解为:y C1 e"x(C2 cos3x C3 sin3x) e

11、&(C4 cos3x C5 sin3x)。2.4 求函数的级数展开式展开函数 f(x) e4x(4cos3x5sin3x）为麦克劳林级数。解：作辅助函数4xgi(x) e cos3x,4 xg2(x) e sin 3x ,-4x 3xi (4 3i)xG(x) g1(x) ig2(x) e e e3并记arctan-,4则有G（x）的麦克劳林展开式分离其实部和虚部，则有ng1(x)5 cos n nxn 0 n!g2(x)5n sin n n 0 n!所以f (x) 4gi(x)一 .、5n , .一. 、n，5g2 (x)(4cosn 5sin n )x ,(n 0 n!2.5三角级

12、数求和函数三角级数求和函数的问题是将函数展开为傅里叶级数的逆问题，对这类问题如不用欧拉公式,一般比较难求解。求三角级数3nsinnx在收敛域（n 0 n!解：构造类似于给定三角级数在（并设其和函数为（x）,即）上的和函数s（x）。）上收敛的三角级数n3 cosnxn 0 n!e3cosxcos(3sin x) i sin(3sin x),分离其实部和虚部，从而可得所求之三角级数为3n sin nxn!其在收敛域(,)上的和函数为s(x) e3cosxsin(3sinx)。2.6傅里叶级数的复数形式若函数f(x)以2为周期，在,连续或至多有有限个第一类间断点，且 ,上至多有有限个单调区间，则傅里

13、叶级数为其中傅里叶级数计算公式为a02(an cos nx bn sin nx)f (x) cosnxdx, n 0,1,2,3,bn 一 f (x)sin nxdx,n 0,1,2,3,在式中，若以(门)代替门，则有2。 an,bnbno这里是傅里叶级数的实数形式，但在某些场合，复数形式的傅里叶级数更好用一些，这就需要 利用欧拉公式进行转换了，因为1 / inx inx1 inxinx xcosnx -(e e ),sinnx (e e ),2i所以有(an cos nx bn sin nx)a。21 i inx 1 1 i x inx i(二 an二 bn)e(二二)e，222 2、1 i记cn -an -bn,n 0, 1, 2, 3,，则可得函数f(x)的傅里叶级数有如下的复数形式 22其中系数计算公式为：f (x)e inxdx。四.结语经过这段时间的数学文化课学习，我逐渐了解到了数学的美妙之处，尽管有费尔马达定理，四色问 题，哥德巴赫猜想等许多我们无法求解的难题，但同样的也有许多如欧拉公式这种我们能证明并使 用的有趣数学问题。数学其实可以称作自然哲学，它反映了深刻的自然现象，是对自然，生活的一 种深入研究。能对这些伟大的研究有所了解，也是开拓了我的新视野，在未来的学习中也将更加注重和