平面向量数量积的含义

1、复习回顾:1B卜当0=180°时f a与b反向；OA0A' BA0B已知两个非零向量方和亦乍0人=矗OB=b , 则zAOB=e(o° <o<i8o°)ni|做向量有方 的夹角。注意:在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的当0=0°时"与同向；当0=90。时,称a与b垂直,訓记为a丄人OA4引入:任意两个向量都可以进行加"减运算"同时两个 向量的和与差仍是一个向量"并且向量的加法运 算满足交换律和结合律由于任意两个实数可以 进行乘法运算"我们自然会提出，任意两个向量是 否也可以进行

2、乘法运算呢？对此"我们从理论上 进行相应分析.新课引入：我们学过功的概念,即一 个物体在力F的作用下产生位 移S （如图）其中堆F与S的夹 角,那么力F所做的功W ,可 以用如下式子计算:Ul IMW = F S cos0F S = F S cos&.J _|a b = a b cos0'、泱 已知两个非零向量h与瓦它们的 夹角为B 我们把数量lai iFlcpsO叫做厂 或醬只）嗣作:打:零向量与任 向量的数量积为0。 _ S方=a b cosOk 1B -S9««1*-:即0a=0疋乂理解：| ab= |a| |方| cos。|(1)不方不能写

3、成方為E為表示向量的另一种运 算.(2)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号 由夹角决定；I向量的数量积是一个数量 那么它什么时候为正，什么时候为负？a-b=|a| |b| cos0当o°se < 90。时S B为正； 当 90。< e <180° 时 £ 6为负。当e =90。时5 6为零。qba bcosO己知|q|：5, "|二4应与厉勺夹角& =120°,求 解：ab =IIa bcos0= 5x4xcosl20°1= 5x4x()=10 2已知Id二5, |两二4,二TO,求°与弟勺

4、夹角0。平面向量的数量积的几何意义ab = a b cos&IUL4UI lUURUO ” b.a作OA = a.OB = b,过点B作QB垂直于直线04 ,垂足为B一则 OB. =| b | cosOb |co皿叫向量亍在万方向上的投影.平面向量的数量积的几何意义是:a丄等于"的长度G与%須方向上的投影"I cos 0的乘积。e为锐角时e为钝角时,| b | cosO > 0e为0°时，它是|：|8为180°它是|方|平面向量的数量积的几何意义B盲T0(3,) a 6为直角时,| b | cosO < 0| b | cos0=Ofb

5、aABOAn嬰準际r .设二方是非零向量£是与方方向相同的 单位向量"是2与匚的兴角r则(a b =ctb cos 01 (l)e a =a e =a lcos(2) a 丄b o： b =Qr：B(3) 当:与方同向时,a b =a b I; 当:与反向时ta b =特别地 |a a =la F或 |= /a -a =a .hr i r >cospf； (5)a-b <ab I a b I怨解 3 呜?二 Bl b|cos&判断下列命题的真假： 若8二0,贝！|对任一向量乞都有4 方=0;真 .若a工0,则对任一非零向量乞有a b H 0假r r r

6、r r r .若a丰Oab = 0,则b二0 假 .若ab = 0侧a、沖至少有一个为0假 6： = o真若LJoc 一 c则 a = c 假 0巴=0|假 ( cfb = ab Oallb 真例1 如图,在平行四边形4BCD电已知|罚二4,|aS| = 3,ZDAB = 60°,UMULlff UUDULAU UUUCWM ML4U求:（1）AD BC（2）.AB CD（3）.AB DAULUI UULMAD与BC的夹角为0°.A例1 如图,在平行四边形4BCD电已知|罚二4,|aS| = 3,ZDAB = 60°,例1 如图,在平行四边形4BCD电已知|罚二4

7、,|aS| = 3,ZDAB = 60°,UUU4 UULM ADBC =ULUlADUULUBC cosO° =3x3xl = 9例1 如图,在平行四边形4BCD电已知|罚二4,|aS| = 3,ZDAB = 60°,例1 如图,在平行四边形4BCD电已知|罚二4,|aS| = 3,ZDAB = 60°,ulw tun或 AD BC =ulw.2AD =9SIHz mm um mmSIH?寸X寸HO0SI- 8 -=3- .mmnmmm00©硕®铭善ollpyp.335 555必舉迴蛊IK匡會P 0(z)薩335 55Jwws09

8、w(z)335 355 33J 353nm mi09 N gwzzH 丄lv N HPsmtfQoqp津曰aIHffil 圃ST=4mm333例1 如图,在平行四边形4BCD电已知圈=4,|AD| = 3,ZD4B = 60°,ULIff ILLH z、UUU MUUCU4M求:（1）AD BC（2）.AB CD （3）.AB DAUULU UL4J4.解:（3）Q AB与AD的夹角是60°,MLA14 MUU4.43与1>/1的夹角是120°760°LUULUULUU UUUAB DA = AB DA cosl20°=4x3x（-1I

9、2丿心 B进行向量数量积计算 时，既要考虑向量的 模又要根据两个向 量方向甬定負夹翕已知a h = 12, a=4, b =3,则向量a在向量方上的投影为°°ML4M I MUM II I已知SBC中AB =a,C4 = »当a b>0时,AABC是 什么三角形？钝角三角形UUU4MLAMUU14已知平面上三点A,B,C满足IAB = 3,1 BC 1= 4,1 CA1= 5UUU4 UUU4 UUU4 ULM4 UUU UJLM25则血BC + BOC4+C4B的值等于uuu uulu uum i (4)MBC的外接圆半径为1,圆心为0,且20A + AB

10、 + AC = 0, uun uun uun uun10A 1=1 AB I,则CACB= 3(5)在AABC中,M是BC的中点,AM =1,点F在AM上, uun uuLT tun nn uun且满足 AF = 2PMPB + PC) = ( A)A-9 花,4 4”4c 4A.-B.-C.D.394数量积的运算律:I II I交换律：ab =baUU II III(2)数乘的结合律：(加)方=2(ab)=a Sb)分酉己律：(a+b) c =a c+b c注意：数量积不满足结合律I I II I I即:(a b) c Ha(bc)I I III II（3）（a+）c =a c+bcUUU

11、I CMUI MMU4 I证明:在平面内取一点Q作04二a ,AB=b OC =c I IULAM1a+b（即OB ）在c方向上的投影等于a，方在c方向上的投影的和,IIII即 la+方Icos0=lalcosd + “lcos/c（a+方）= ca+c方II II I I IBP （a+b） c =a c+方c例2、我们知道f对任意g &恒有(a + 方尸=a2 + 2ab + b2+b)(a -b) = a2 -b2. 对任意向量爲是否也有下面类似的结论?r r r2 inr(1) +方)2=4 + 2a b + b ;r r r r r2(2) (a + b) (a b) = a

12、解：(l)(a+“)2 =(a+")(a+b)r r r r r r r r= aa+ab + ba+bbr2 iwr =a +2ab+b ;(2)(a+0)(a") = aa-a0+0a- =a -；L卜=Q+% fiKfI= q-v=v = q 喘包乙/I Iii i ioO9 =&国苹阴2台卯iti p = （q+巧 o目Z = 101 = I纠舌聲SF鲁剖临包； 鹭悴蔓iq+%i(7)ZL' （处一。）（+）（）:生oO9g国苯蒯号昇=1亦9丄1。I飪包酗I III例4已知a= 3,161= 4,且a与方不共线北为何值时， r r r r向量a +

13、kb与a -肋互相垂直?注意:两个向量的数量积是否为零. 是判断相应的两条直线是否垂直的重 要方法之。Hnll奧 z+Dllrq川H 镰巴3Inz Jo J寸 xzlx寸XSX(II4Z) + 4SZOH 盂。09总0 0(1 高)+ 0亠OH Qz5uu kz)+ 恳品 z z o 上qz+0)(q恳).(育+0)TWAO麗 - - - - - B3 zMlslR+ullrqlu 湎is隼辭阴=r(g+叭号/書剖生2L0卑矛阴g身/生(D6=(g+%) (k 一 )气=i g 1十=1 力 I 临包引$IIIIII练习二:(1)在四边形ABCD 中,AB BC=O,fiAB=DC则四边形4B

14、CD是(C )A.梯形 B、菱形 C.矩形 D.正方形(2)过点4(1,0)的直线/与函號sin7tXyX e 0,2的图象iun unn交于除点A外的B，C两点测OA(OB + OC) = (C )A.l B.-l C.2D.-2练习二：一 一一在A4BC中启知|屈|二|紀|二1.且XS疋弓,Lun则这个三角形的形状是等边三角形|UUUf|2 |ULW|2-fof(4)在YABCD中，若卜q -BD =2AB 则 ZBAD =(D)A.-B.-64思考：已知点O,2V，P在A4BC所在的平面内f且 lun tun iw iua lun uuLi r| OA 1=1 OB 1=1 OC I, 2VA + NB + 2VC = O，LIT LIT ULtl LUO ULU1 ULtlP4PB = PBPC = FCP4,则点 O,2V，P依次是AABC的（C ）A重心.夕卜心、垂心 B重心、夕卜心.内心C.外心.重心、垂心 D.外心.重心.内心重要结论：uun tun lun r1.AABC 中,若 OA + OB + OC = 0,则O 为 AAC 的重心. ULAU ULJUUMkUMLAU UUU42. AABC中，若OA OB = OBOC =OA OC,则O