平面向量知识归纳和题型总结

1、平面向量章节分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何 形式的“双重身份：能融数形于一体，是沟通代数与几何的天然桥梁， 能与中学数学内容的许多主干知识相结合，形成知识交汇点向量是沟 通代数、几何和三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数 学和物理学科中有重要应用向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，向量概念引 入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系，例如平行、 垂直、夹角、距离等对本章的学习要立足基础，强化运算,重视运用，能根据向量的概念、 定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何 中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几

2、何运算和基本定理1.向量的相关概念向量既耳大,卜文耳额的量，irhvw用a rb ,c未表不.或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如畠-零向益艮度为零的向蛋，记拘6申右向是任直的，率向童和 任何向量平行p甲位向垦八模育1牛单位K度的向量，平行（共线河壘"方向相同誉相反的m E零向遛J任何平行向量逢过平移 后"鼠可为移到同一条直线上"相等向量.去度相等且芮向相同的向重相等向 壘经过平移后总可収重合户记为话=吊4相反向莹与向逼；长度相等，方向相反的向重， 口日做；09相反向重记作-二向量曲大小，即向量的模（长度”记作|2|或1崩1匸2.向量的线性运算算 数几何t

3、炸* a卅H fa P 门系 系关 关向 模方 1 2运算衛ft) 砺* ff B向+倉2 P tu皿 喊总b+ 仇 -= =a模的性虑卜 才 b A- 宁& * Q 1 & 96 k 呻尬it必 +-A- 不* S *53 羊 & 1-2 3-D耳®* a HA;3. 向量的共线定理非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使a。延伸结论：A, B,C三点共线二 AB AC二 当且仅当有唯一R，使AB = AC4. 平面向量的基本定理如果q,e2是一个平面内两个不共线向量，那么对这平面内的任一向量 a，有且只有一对实数""Ki&g

4、t;kB乃，2使:a - 1e 2e,其中不共线的向量 q,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底练习：（1）已知e1,e2是平面向量的一组基底，a = %e + %62,匕=屜$+ y2e2,若a =b当且仅当x1 = x2且y1 = y2.若a = 0,则为=x2 = 0.（2）如图OAOB为单位向量，|OC|=2.3，其中OA,OB的夹角为120 , OA,OC的夹 角为30。若OC =，OB，求“的值。5.个常用结论： ABC中，M为边BC的中点，则有：2AM二AB AC . 练习：设 ABC的重心为点G，设AB二a, AC二b.试用a,b表示AG .典型例题分析：知识点一：基本概念

5、例1.-feK1. 如果e,e2是平面g内两个不共线向量，那么下列各说法错误的有（） 仏2 （ , R）可以表示平面:-内的所有向量；平面:-内的所有向量都可以表示成 0工2 （R）。 对于平面:-中的任一向量a使a = - e1二e2的,有无数多对；"Tha:w*l_iw* 若向量'1 q気2与、2 e2 e2共线，则有且只有一个kR，匕e/"'. e? = k（ 心一鸟） 若实数'，丄使，©亠！ e = 0，贝y，= " =0.A. B. C. D.练习：1）判断下列命题的真假（1）向量AB与向量CD为共线向量，则代B,C,D

6、四点共线.若AB =CD则四边形ABCD为平行四边形. 若向量a / b，b七则ac.a,b是两个向量，则|ab|：|a| |b|当且仅当a,b不共线时成立知识点二：向量的线性运算例1.化简： AB BC CA; (2) (AB MB) BO OM;(3) OA OC BO CO;_ AB-AC BD-CD； (5) OA -OD AD ;(6) AB AD DC ; NQ QP MN -MP.例2.如图，四边形ABCD , E , F分别为AD , BC的中点，求证：AB DC =2EF .练习：(1)已知 ABC三个顶点A, B,C及平面内一点 P,若PA PB PC =AB，则() A.

7、 P在厶ABC内部B. P在厶ABC外部 C P在AB边所在直线上D P在线段BC上(2)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA OB OC OD = AOM B.2OM C.3OM D.4OM知识点三：平面向量基本定理和共线定理例1.1)已知e ,e2为不共线向量，a =3e 2e2, b = 2ei +佥，c =-4佥用a,b表示c.2)设e1，3是两个不共线的向量，已知AB =2$ - ke2，CB =2e - 3e2，CD =2$ -佥 若A，B，D三点共线，求k的值.例2.证明：平面内三点A, B, C共线:= 存在两个均不为0的实数m, n ,使 OA 二 m

8、OB nOC,且 m n =1.练习：证明：平面内三点 A, B,C共线= 存在三个均不为0的实数l,m,n ,使 IOA mOB nOC = 0,且丨 m n = 0.向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾：1、已知向量a,b,其中a =(捲，比),b =(X2, y2):向量的坐标表示，实际是向量的代数表示在 引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法a 兰 b =(为=X2, yi ± y2)头数入与向量a的积是一个向量,记作入a实数与向量的积丸a=(xi,yd =

9、(AxiX2)a b = a b cos va, b >数量积a ba b = XjX2 + y1 y2存在唯一的实数几，使a = Ab(b 式0)向量a/b皆0)Xiyi二=Xi y X2 yiX2y2a b =0向量a丄bX1X2 + yi y2 = 0X (|a=a2)向量的模a|a = Xi2 + yi2工a bcosva,b x pipj HpI向量夹角< a,b >cosyb+譽TXi2 + y以22 +y22AB BC = AB BCA,B,C三点共线OA = xOB yOC,且 x y = 1练习：2)若 a b 二 b c，则 a = cI?21124) (

10、a _b) = a _2a b b6) 0 G = 0,0 G = 01、判断下列命题的真假1)若向量 a/b,b/c,则a/c.3) (a b) c = a (b c),5) a=bu a=b2、已知 a 二(4,2), b = (x,3).若 a/b,则 x =;若 a _ b,则 x 二.3、 已知A(4,1), B(7, _3),则与AB同向的单位向量是 ，与AB平行的单位向量是*4、已知点A( -1,5)和向量a二(2,3)若AB二3a，则点B的坐标为 5、已知 a =(5, -5),b =(-6, -3) ,c =(1,8)若 a =mb nc ,求实数 m,n.6、已知 a =

11、(1,0), b = (2,1),贝U | a 3b | =7)下列各组向量中，可以作为平面基底的是()A. e =(0,0)(2=(2,1) B.(4,6), 62 =(6,9)1 3C. e = (2, 5), 62 = (-6,4) D. e = (2, 3), 62 =(，)2 48)已知a /b, a =3, b = 4,则a在b方向上的投影为 二、典型例题讲解 例1:1)已知a =3, b =4, a与b的夹角为(1) a在 b方向上的投影(2) (3a 2b)(a2b) (3) a+b2) 4、在直角 ABC中,CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()A.| AC |2 二

12、 AC ABB.| BC|2 二 BA BCC.|AB|2 二 AC CDd|CD|2 =(ac ab) (ba bc)|AB|23)已知向量e1,e2夹角为60°, e = 2, e2 =1,a = 2© + 7e2 ,b = e +te2若a与b的夹角为锐角，求t的范围。练习：1)已知向量a,b满足 a",b = 2, a b =2,贝U a+b| =2)在 ABC中，已知AB=8,BC=7, ABC =120,求边AC的长度例2: 1)已知A(2,3), B(4, -3)，点P在线段AB的延长线上，且| AP - | PB |,求点P的坐 标(若点P在直线A

13、B 上)2)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP =2PC ,点 Q 是 AC 的中点若 PA = (4,3), PQ =(1,5),则 BC =1 1 .例 3：已知向量 m=(a-si n,),n = ( ,cos).J2T T(i)当a，且m n时,求sin 2二的值；2T j(n)当a=0,且m / n时，求tan v的值.” j2 t72i解：当“云时，心牙-曲弓,2 m _ n ,.由 m n =0 , 得 sin v cost21上式两边平方得1亠sin 2,21 因此,sin2r2(n)当 a =0时,m =(sin r1),11由 m / n 得 sin n cos

14、.即 sin 2v4212分- sin2r 二 2tan； ,. tanv - 2、3或 2 - 3.1 +ta n 日-33 ixx例 4、已知向量 a = (cos x, sin x), b = (cos,-sin ).且 x 0,1)当a _ b时，求x的集合；2 2 2 2 22)求a+b；3)求函数y = ab 4|a+b|的最小值4) 求函数y二ab-2，|a b |的最小值 亠35) 若f (x )=a b 2a + b的最小值是一一,求实数九的值.2练习：1 )设a,b是不共线的两非零向量，若|a | =|b|,且a,b夹角为60 ,求t为何值时，|a-tb| 的值最小.33

15、x x2)已知向量 a=(cos x,s in x), b = (cos,-si n )且 x ,.2_2223 4(1 )求 a b 及| a + b |;(2)若f(x) = a b-| a + b|,求f (x)的最大值和最小值.向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件，在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的 共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、夕卜心.三角形外接圆的圆心，简称

16、外心.是三角形三边中垂线的交点.(下左图)二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(上右图)三、垂心三角形内切圆的圆心，简称为内心是三角形三内角平分线的交点 三角形内角平分线性质定理 ：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应 成比例（上右图）知识点一、三角形形状与向量1 已知向量 OR,OF2,OP3 满足条件 OR OE OP3=0,且|0R |=0P2 |=|0R 1=1,求证 P1P2P3是正三角形2、O 是 ABC 所在平面上的一点,若（OB - OC） （OB OC - 2OA）二 0,则ABC是_三角形a DA

17、C 三亠 乂A C 口 C/ O3、 已知非零向量 AB, AC和BC满足（ ）BC = 0且 ,则|AB| |AC| AC| | BC| ABC 为.4、若O为占ABC所在平面内一点，且满足OB OC = OB + OC - OA,则也ABC的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5、 已知非零向量 AB与AC满足（一- ）BC二0且一-一=丄，则厶ABC| AB | AC | AB | | AC |2为 （）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形思路分析：1.根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角

18、形，刚好适合 题意,则可同时排除其他三个选择支 ，故选D.AB ACAB AC 一2. 由于所在直线穿过 ABC的内心，则由（）BC =0| AB | AC | AB | AC |知，AB二AC （等腰三角形的三线合一定理）；又一上匕 二丄，所以.A ，即厶ABC| AB | | AC |23为等边三角形，故选D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在 ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得AB AC二2AD .这说明AB AC所在的直线过 BC的中点D，从而一定通过 ABC的重心.另外，G 为 "BC的重心的充要条件是GA GB0或. 1 OG二-（OA

19、OB OC），（其中O为ABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的3结论例1.已知A，B，C是平面上不共线的三点，0是 ABC的外心，动点P满足OP =(1 _ JOA ( _ JOB - (1 2 )OC)C R),则 P 的轨迹一定通过. ABC 的() 3A.内心B.垂心C.外心思路分析：取AB边的中点M,则OA OB二2OM ,1 1由 OP 二一(1 - )OA (1 - )OB (1 2 )OC)( R)可得330P =20M OC 2，(OC - OM ) =30M(12 )MC ,所以12'MP =3垂心D.重心MC.二R）,即点P的轨迹为三角形中 AB边上的中线，故

20、选D.在 ABC中,ABAC由向量的数量积公式，可得( ABAC ) BC = 0 ,这说明| AB | cos B | AC | cosCAC所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过厶ABC的垂| AB | cosB | AC | cosC 心.AB-AbAC例：若动点P满足OP =OA亠；.（）,/，0 ,则点P轨迹一定通过| AB | cos B | AC | cosCB、内心C、垂心D、重心,满足 OA OB = OB OC 二 OC OA ,则点 O 是ABC的（ ）A、外心例2.点O是厶ABC所在平面内的一点=ABC 的（）A.三个内角的角平分线的交点B.C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点 三条高的交点思路分析：由 OA OB 二 OB OC ,得 OB （OA - OC） = OB CA = 0,所以 OB