电力系统潮流的计算机算法

1、 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法l电力系统分析教材配套课件电力系统分析教材配套课件 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.1 4.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型4.2 4.2 高斯高斯塞德尔法潮流计算塞德尔法潮流计算4.3 牛顿牛顿- -拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算4.4 P-QP-Q分解法分解法 第第

2、4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社第第4 4章章 电力系统潮流的计算机算法电力系统潮流的计算机算法 电力系统的基本计算包括电力系统的潮流计算、电力电力系统的基本计算包括电力系统的潮流计算、电力系统的故障计算和电力系统的稳定计算。潮流计算是电力系统的故障计算和电力系统的稳定计算。潮流计算是电力计算分析中的一种最基本的方法。计算分析中的一种最基本的方法。 对于复杂电力系统做潮流分析时采用手算已不适用，对于复杂电力系统做潮流分析时采用手算已不适用，随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机已成为分析计

3、随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机已成为分析计算复杂电力系统各种运行方式的主要工具。在本章主要介算复杂电力系统各种运行方式的主要工具。在本章主要介绍应用计算机计算复杂电力系统潮流分布的原理和方法。绍应用计算机计算复杂电力系统潮流分布的原理和方法。 由于应用计算机计算潮流时大都用标幺值，因此，在由于应用计算机计算潮流时大都用标幺值，因此，在本章中如无特殊说明，所有量均为标幺值。本章中如无特殊说明，所有量均为标幺值。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.1 4.1 电力网络的数学模型电

4、力网络的数学模型v反映电力系统中电流和电压之间相互关系的数学方程称为网络反映电力系统中电流和电压之间相互关系的数学方程称为网络方程，或称为数学模型。方程，或称为数学模型。v网络方程常用节点电压方程或回路电流方程来描述。由于在实网络方程常用节点电压方程或回路电流方程来描述。由于在实际电力系统中的等值电路中接地支路较多，而且采用节点电压际电力系统中的等值电路中接地支路较多，而且采用节点电压方程的方程式数目比回路方程时的方程式的数目少，同时对一方程的方程式数目比回路方程时的方程式的数目少，同时对一个结构复杂的网络建立节点电压方程比较容易，并且在网络结个结构复杂的网络建立节点电压方程比较容易，并且在网

5、络结构发生变化时可以方便对方程式进行修改。因此，节点电压方构发生变化时可以方便对方程式进行修改。因此，节点电压方程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广泛应用于电力系统分析中。泛应用于电力系统分析中。v因此本章本节主要应用节点电压法来求解电力网络的等效电路，因此本章本节主要应用节点电压法来求解电力网络的等效电路，从而建立电力网络的数学模型。从而建立电力网络的数学模型。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.1.1 4.1

6、.1 节点电压方程与节点导纳矩阵节点电压方程与节点导纳矩阵及阻抗矩阵及阻抗矩阵v1 1节点电压方程节点电压方程v将节点电压法应用于电力系统潮流计算，其变量为节点电压与节将节点电压法应用于电力系统潮流计算，其变量为节点电压与节点注入电流。通常以大地作为电压幅值的参考，而以系统中某一点注入电流。通常以大地作为电压幅值的参考，而以系统中某一指定母线的电压角度作为电压相角的参考，并以支路导纳作为电指定母线的电压角度作为电压相角的参考，并以支路导纳作为电力网的参数进行计算。力网的参数进行计算。v下面以图下面以图4-1a4-1a所示的简单电力系统为例说明建立节点电压方程的所示的简单电力系统为例说明建立节点

7、电压方程的方法。方法。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社可得图可得图4-1a4-1a各节点净注入功率为各节点净注入功率为1112233GLGLSSSSSSS （4-14-1）对图对图4-1b4-1b中的等值电路进行化简，将在同一节点上的接地中的等值电路进行化简，将在同一节点上的接地导纳并联得：导纳并联得：10120130202102303031

8、0320yyyyyyyyy（4-24-2） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社从而可得从而可得4-1c4-1c所示简化等值电路。于是，可以列出网络的节所示简化等值电路。于是，可以列出网络的节点电压方程。以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据点电压方程。以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定律，可以写出基尔霍夫电流定律，可以写出3 3个独立节点的电流平衡方程个独立节点的电流平衡方程1101121213131012131122133220212212323121201223

9、2233303133123321312323013233()()()()0()()Iy UyUUyUUyyyUy Uy UIy UyUUyUUy UyyyUy Uy UyUUyUUy Uy UyyyU （4-34-3）上述方程组整理可得上述方程组整理可得11111221332211222233311322333 30IY UY UY UIY UY UY UY UY UY U（4-44-4） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社式中 Y11=y10+y12+y13；Y22=y20+y12+y

10、13；Y33=y30+y13+y23；Y12 =Y21=-y12;Y23=Y32=-y23。由此可以推导出对于有由此可以推导出对于有n个独立节点的网路，其个独立节点的网路，其n个节点电压个节点电压方程为方程为1111221nn12112222nn2n1n22nnnnY UY UY UIY UY UY UIY UY UY UI用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为1111121n21222n22n1n2nnnnIUYYYYYYIUYYYIU(4-5)(4-6)或简记为：或简记为：IYU 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工

11、业出版社编）机械工业出版社v2 2节点导纳矩阵元素的物理意义节点导纳矩阵元素的物理意义v节点导纳矩阵是节点导纳矩阵是n nn n方阵，其对角元素方阵，其对角元素YiiYii称为节点的自导纳，称为节点的自导纳，其值等于连接节点的所有支路导纳之和。非对角元素其值等于连接节点的所有支路导纳之和。非对角元素YijYij称为节称为节点点i i，之间的互导纳，它等于直接连接于节点、间的支路导纳的，之间的互导纳，它等于直接连接于节点、间的支路导纳的负值。若节点负值。若节点i i、j j间不存在直接支路，则间不存在直接支路，则Y Yijij=0=0。v（1 1）自导纳）自导纳v自导纳在数值上等于仅在节点自导纳

12、在数值上等于仅在节点i i施加单位电压而其余节点电压均施加单位电压而其余节点电压均为零（其余节点全部接地）时，经节点注入网络的电流。显然，为零（其余节点全部接地）时，经节点注入网络的电流。显然，等于与节点等于与节点i i直接相连的所有支路的导纳之和。直接相连的所有支路的导纳之和。 上式中上式中I I是注入节点的电流列向量，电流方向定义为流向节点为是注入节点的电流列向量，电流方向定义为流向节点为正，流出节点为负；正，流出节点为负；U U是相对于参考节点的节点电压列向量；矩是相对于参考节点的节点电压列向量；矩阵阵Y Y称为节点导纳矩阵。称为节点导纳矩阵。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力

13、系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社0jiiiiUYI U,1, ,i jn ij（2 2）互导纳互导纳 互导纳互导纳Y Yijij在数值上等于仅在节点施加单位电压而其余节在数值上等于仅在节点施加单位电压而其余节点电压均为零（即接地）时，经节点点电压均为零（即接地）时，经节点i i注入网络的电流。其显然注入网络的电流。其显然等于等于-y-yijij即即Y Yijij=Y=Yjiji=-y=-yijij。y yijij表示支路表示支路ijij的导纳，负号表示该电流的导纳，负号表示该电流流出网络。如节点流出网络。如节点ijij之间无支

14、路，则该电流为零，即之间无支路，则该电流为零，即Y Yijij=0=0。0iijijUYI U,1, ,i jn ji如电流已知时，对式（如电流已知时，对式（4-54-5）求解，直接得到节点电压为）求解，直接得到节点电压为1UYI 节点导纳矩阵的逆称为节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节节点导纳矩阵的逆称为节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则，点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则，节点矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。节点矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力

15、系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社例例4-1 4-1 求图求图4-24-2所示的电力系统的节点导纳矩阵。其中接地支路所示的电力系统的节点导纳矩阵。其中接地支路标注的是导纳标幺值（两侧相同），非接地支路标注的是阻抗标标注的是导纳标幺值（两侧相同），非接地支路标注的是阻抗标幺值。幺值。 2RI解：选地为参考节点。解：选地为参考节点。以节点以节点1 1为例说明自导纳的形成过程。可以看出在本网络图中为例说明自导纳的形成过程。可以看出在本网络图中和节点和节点1 1直接相连的支路只有支路直接相连的支路只有支路1212，而和节点，而和节点1 1直接相连的直接相连的对

16、地导纳只有一条对地导纳只有一条j0.1j0.1，将支路阻抗，将支路阻抗j0.5j0.5转换为导纳为转换为导纳为-j2-j2，从而有从而有Y Y1111=-2j+j0.1=-j1.9,Y=-2j+j0.1=-j1.9,Y1212=-y12=-(-2j)=j2=-y12=-(-2j)=j2。图图4-2 4-2 电力系统网络图电力系统网络图同理，得到该系统的节点导纳矩阵同理，得到该系统的节点导纳矩阵-j1.9j200j2-j10.81j4j50j4-j8.91j50j5j5-j9.92Y 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机

17、械工业出版社编）机械工业出版社节点导纳矩阵具有以下性质：节点导纳矩阵具有以下性质：（1 1）Y Y是是n nn n阶方阵；阶方阵；（2 2）Y Y是对称，是对称，Y Yijij=Y=Yjiji。如网络中含有有源元件，如移相变压器，。如网络中含有有源元件，如移相变压器，则对称性不成立。则对称性不成立。（3 3）Y Y是复数矩阵；是复数矩阵；（4 4）每一非对角元素）每一非对角元素Y Yijij是节点和间支路导纳的负值，当是节点和间支路导纳的负值，当i i和和j j间间没有直接的连接支路，即没有直接的连接支路，即Y Yijij为零，根据一般电力系统的特点，为零，根据一般电力系统的特点，每一节点平均

18、与每一节点平均与3 35 5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵；高度稀疏的矩阵；（5 5）对角线元素）对角线元素Y Yiiii为所有连接点为所有连接点i i的支路（包括节点的支路（包括节点i i的接地支的接地支路）的导纳之和。路）的导纳之和。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社3 3节点导纳矩阵的修改方法节点导纳矩阵的修改方法（1 1）原网络节点增加一接地支路）原网络节点增加一接地支路设在节点设在节点i i处对地增加一条支路，如图处

19、对地增加一条支路，如图4-3a4-3a所示，由于没有增加新所示，由于没有增加新的节点数，节点导纳矩阵阶数应不变，且互导纳没有发生任何变化，的节点数，节点导纳矩阵阶数应不变，且互导纳没有发生任何变化，只有自导纳只有自导纳Y Yiiii发生变化，变化量为节点新增的接地支路的导纳。改发生变化，变化量为节点新增的接地支路的导纳。改变后的变后的i i节点自导纳为：节点自导纳为：iiiiiiiiiYYYYy图图4-34-3电力网络变化图电力网络变化图 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社 图4.3 一

20、根长直圆导线的磁通链 （2 2）原网络节点，间增加一条新支路）原网络节点，间增加一条新支路 在原网络节点在原网络节点i i、j j间增加一条新支路，如图间增加一条新支路，如图4-3b4-3b所示，由于只所示，由于只是在原有两节点之间新增支路，因此没有改变网络节点数，此是在原有两节点之间新增支路，因此没有改变网络节点数，此时节点导纳矩阵的阶数不变。只是由于节和间增加了一个支路时节点导纳矩阵的阶数不变。只是由于节和间增加了一个支路导纳导纳y yijij而使节点而使节点i i和和j j之间的互导纳、节点之间的互导纳、节点i i和和j j的自导纳发生变的自导纳发生变化，其变化量为：化，其变化量为：ii

21、jjijijjiijYYyYYy ，图图4-34-3电力网络变化图电力网络变化图 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社（3 3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点 设原网络有个节点，现从节点引出一条新支路，同时新增设原网络有个节点，现从节点引出一条新支路，同时新增一个节点，如图一个节点，如图4-3c4-3c所示。新增支路只与原网络节点相连，而所示。新增支路只与原网络节点相连，而与其他节点不直接相连，因而原节点导纳矩阵中的元素只有与与其他节

22、点不直接相连，因而原节点导纳矩阵中的元素只有与有所改变。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加有所改变。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加一阶，即第行和第列，而新增节点只与节点相连，因此新的节一阶，即第行和第列，而新增节点只与节点相连，因此新的节点导纳矩阵中第列和第行中非对角元素除外其余都为零，而对点导纳矩阵中第列和第行中非对角元素除外其余都为零，而对角元素新增为，具体修改形式如下所示：角元素新增为，具体修改形式如下所示： 图图4-34-3电力网络变化图电力网络变化图11121i1n2122212ni1i2iiinij12jijj00.0.00.0nnninnYYYYYYYYY

23、YYYYYYYYYYi列j列i行j行 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社其中，原节点导纳矩阵的对角元素应修正为其中，原节点导纳矩阵的对角元素应修正为 新增导纳矩阵元新增导纳矩阵元 ， 。iiiiijYYyjjijYyijjiijYYy 修改原网络中支路参数，可以理解为先将修改支修改原网络中支路参数，可以理解为先将修改支路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路，路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路，因而，修改原网络中的支路参数可以通过给原网络支因而，修改原网络中的支路参数可以通

24、过给原网络支路并联两条支路来实现。如图路并联两条支路来实现。如图4-3d4-3d所示。一条支路的所示。一条支路的参数为原来该支路导纳的负值参数为原来该支路导纳的负值 ，另一条支路参，另一条支路参数为修改后支路的导纳数为修改后支路的导纳 。-ijyijy 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社（4 4）新增加一台变压器，可以先将变压器用含有非标准变压器的）新增加一台变压器，可以先将变压器用含有非标准变压器的型等值电路代替，然后按以上三种基本方法处理。例如节点间增型等值电路代替，然后按以上三种基

25、本方法处理。例如节点间增加一台变压器（图加一台变压器（图4-4a4-4a），节点导纳矩阵有关元素的变化量可以），节点导纳矩阵有关元素的变化量可以由型等值电路（图由型等值电路（图4-4b4-4b）求得：）求得：221111TiiTTTTjjTijjiTyYyykkyyYykkkkYYyk 图图4-44-4增加变压器示意图增加变压器示意图（4-14） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社（5 5）网络存在非标准变比变压器）网络存在非标准变比变压器 在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标

26、准变在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标准变比时，变压器的高、低压两侧的电压都和电流值用线圈匝数比比时，变压器的高、低压两侧的电压都和电流值用线圈匝数比来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变比时必须加以注意。因此当有非标准变比变压器时，可按如下比时必须加以注意。因此当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成节点导纳矩阵。次序形成节点导纳矩阵。1 1）先不考虑非标准变比（认为变比），然后正常求得节点导）先不考虑非标准变比（认为变比），然后正常求得节点导纳矩阵。纳矩阵。2 2）把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上（）

27、把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上（k k2 2-1-1）Y Y，其中是从变压器相连接的另一端点来看变压器的漏抗与两节点其中是从变压器相连接的另一端点来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数。输电线的阻抗之和的倒数。3 3）由接入非标准变比变压器的端点来看自导纳不变。）由接入非标准变比变压器的端点来看自导纳不变。4 4）变压器两节点间的互导纳加上（）变压器两节点间的互导纳加上（k-1k-1）Y Y。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4 4节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 节点电压方

28、程节点电压方程YU=IYU=I改写为改写为U=YU=Y-1-1I=ZII=ZI的形式。其中的形式。其中Y Y-1-1为节点为节点导纳矩阵的逆矩阵，称为节点阻抗矩阵，也是一个导纳矩阵的逆矩阵，称为节点阻抗矩阵，也是一个n n阶的复数阶的复数方阵。方阵。将此方程展开为将此方程展开为11 11221121 1222211 1221nnnnnnnnnZ IZ IZ IUZ IZ IZ IUZ IZ IZ IU用矩阵表示为用矩阵表示为 U=ZI11121n21222nn1n2nnZZZZZZZZZZ（4-164-16）（4-174-17） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电

29、力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社 这里这里Z Z即节点阻抗矩阵。它是节点导纳矩阵的逆矩阵。对于即节点阻抗矩阵。它是节点导纳矩阵的逆矩阵。对于n n个节点的网络是一个个节点的网络是一个n nn n阶的方阵，同样它具有对称性，即阶的方阵，同样它具有对称性，即Z Zijij=Z=Zjiji。 阻抗矩阵是一个满矩阵，这是一个重要的特点。由于网络阻抗矩阵是一个满矩阵，这是一个重要的特点。由于网络结构复杂，直接应用公式（结构复杂，直接应用公式（4-174-17）计算是很困难的。）计算是很困难的。综上所述，阻抗矩阵具有以下特点：综上所述，阻抗矩阵具有以下特点：（

30、1 1）阻抗矩阵是）阻抗矩阵是n n阶方阵，且阶方阵，且Z Zijij=Z=Zjiji，既为对称矩阵。，既为对称矩阵。（2 2）在一般情况下，阻抗矩阵无零元素，是满矩阵。矩阵的元）在一般情况下，阻抗矩阵无零元素，是满矩阵。矩阵的元素与节点数的平方成正比，将需要更多的计算机内存容量。素与节点数的平方成正比，将需要更多的计算机内存容量。（3 3）由于阻抗矩阵中的自阻抗）由于阻抗矩阵中的自阻抗Z Ziiii一般大于互阻抗一般大于互阻抗Z Zijij，即矩阵的，即矩阵的对角元素大于非对角元素。因此阻抗矩阵具有对角线占优势的性对角元素大于非对角元素。因此阻抗矩阵具有对角线占优势的性质，应用于迭代计算时收

31、敛性能较好。质，应用于迭代计算时收敛性能较好。（4 4）阻抗矩阵不能从系统网络接线图上直观的求出，需要采用）阻抗矩阵不能从系统网络接线图上直观的求出，需要采用其他办法，如直接对导纳矩阵求逆。其他办法，如直接对导纳矩阵求逆。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.1.24.1.2功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类1 1、功率方程、功率方程每节点的注入功率方程式为：每节点的注入功率方程式为：其中：其中： 对于对于n n个节点的电力网络，可以列出个节点的电力网络，可以列出2n2n

32、个功率方程。每个节点具个功率方程。每个节点具有四个变量，有四个变量，n n个节点有个节点有4n4n个变量，但只有个变量，但只有2n2n个关系方程式。个关系方程式。 jnjijiiiiiiUYUIUjQPS*1*iiiiiLiGiiLiGiijfeUUUQQQPPP 或 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社2、变量的分类、变量的分类1 1、负荷消耗的有功、无功功率（、负荷消耗的有功、无功功率（P PL L、Q QL L）取决于用户，因而）取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变

33、量。一般以列向量是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量 表示，即表示，即2 2、电源发出的有功、无功功率（、电源发出的有功、无功功率（P PG G、Q QG G）是可以控制的变量，）是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量故称为控制变量，以列向量u u表示，即表示，即3 3、母线或节点电压和相位角（、母线或节点电压和相位角（U U、），是受控制变量控制的），是受控制变量控制的因变量。其中因变量。其中Q QG G主要受主要受U U的控制，的控制，P PG G主要受主要受 的控制。故的控制。故U U、 称为系统的状态变量，以列向量称为系统的状态变量，以列向量X X表示，即表示，即

34、1212,TLLLnLLLndP PP Q QQ1212,TGGGnGGGnuP PPQ QQ1212,TnnxU UU 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社3.3.电力系统节点分类电力系统节点分类 为将个变量定为已知量，根据电力系统的实际运行情况，为将个变量定为已知量，根据电力系统的实际运行情况，按给定变量不同，将电力网络中的节点分为以下三种类型。按给定变量不同，将电力网络中的节点分为以下三种类型。（1 1）PVPV节点（调整节点）节点（调整节点） v这些节点是发电机节点，也被称为电压控

35、制节点。节点的注这些节点是发电机节点，也被称为电压控制节点。节点的注入有功功率和电压幅值已知。节点的无功功率和电压的相位入有功功率和电压幅值已知。节点的无功功率和电压的相位未知。无功功率限制通常已确定。这类节点必须有足够的可未知。无功功率限制通常已确定。这类节点必须有足够的可以调节的无功容量，用以维持给定的电压幅值。因而又称为以调节的无功容量，用以维持给定的电压幅值。因而又称为电压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可电压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为节点。在电力系统中，这一类调无功电源设备的变电所作为节点。在电力系统中，这一类节点数目很少

36、。节点数目很少。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社v（2 2）PQPQ节点（负荷节点）节点（负荷节点） 这种节点的注入有功和无功功率是已知的，节点电压幅值这种节点的注入有功和无功功率是已知的，节点电压幅值和相角未知。相应于实际电力系统中的一个负荷节点，或有功和和相角未知。相应于实际电力系统中的一个负荷节点，或有功和无功功率给定的发电机母线。无功功率给定的发电机母线。v（3 3）V V节点节点（平衡节点（平衡节点 ） 这种节点又称为摇摆节点，用来作为系统的参考节点，该这种节点又称为摇摆节

37、点，用来作为系统的参考节点，该节点的节点电压的幅值及相角已知，这个节点平衡了负荷功率与节点的节点电压的幅值及相角已知，这个节点平衡了负荷功率与发动机功率在网络损耗情况下的差异。发动机功率在网络损耗情况下的差异。 这种节点用来平衡全电网的功率。由于电网的损耗在潮流这种节点用来平衡全电网的功率。由于电网的损耗在潮流计算前是未知的，因而无法确定电网中各台发电机所发功率的总计算前是未知的，因而无法确定电网中各台发电机所发功率的总和，所以必须选一台容量足够大的发电机担任平衡全电网功率的和，所以必须选一台容量足够大的发电机担任平衡全电网功率的职责，该发电机节点称作平衡节点。平衡节点的电压大小与相位职责，该

38、发电机节点称作平衡节点。平衡节点的电压大小与相位是给定的通常以它的相角为参考量，即取其电压相角为零。一个是给定的通常以它的相角为参考量，即取其电压相角为零。一个独立的电力网中只设一个平衡节点。独立的电力网中只设一个平衡节点。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社节点的分类节点的分类1.1.PQPQ节点：已知节点注入功率节点：已知节点注入功率P P、Q Q负荷。过渡节点，负荷。过渡节点，PQPQ是是给定给定的。发电机节点，为大部分的。发电机节点，为大部分节点。节点。2.2.PV PV 节点：

39、已知节点节点：已知节点P P、V V 给定给定PVPV的发电机节点，的发电机节点， 具有可调电源的变电所，为具有可调电源的变电所，为少量节点。少量节点。3 V3 V节点节点 平衡节点基准节点：平衡节点基准节点： 也称为松弛节点，摇摆节点也称为松弛节点，摇摆节点 PQ节点节点123452s3s4sPQ节点节点PV节点节点PQ节点节点平衡节点平衡节点 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社如果如果 是变量的初始估计值，于是迭格式变为是变量的初始估计值，于是迭格式变为4.24.2高斯高斯- -塞德

40、尔法潮流计算塞德尔法潮流计算4.2.14.2.1高斯高斯- -塞德尔法迭代格式塞德尔法迭代格式 1.1.一般格式一般格式非线性方程组非线性方程组 又可以改写为又可以改写为 xk0)(fx)(g xx 1kkxg x 当连续迭代结果的差得绝对值小于某一特定值时，当连续迭代结果的差得绝对值小于某一特定值时，就得到方程的解。就得到方程的解。 1Kkxx式中式中 是要求的精度是要求的精度。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社v2 2功率方程迭代格式功率方程迭代格式v节点节点i i的有功功率和无功

41、功率为的有功功率和无功功率为则则 将其代入节点电压方程将其代入节点电压方程YU=I,YU=I,展开展开iiiiPjQU IiiiiPjQIU1niiiiiijjjij iPjQY UY UUji 对于每个节点有两个未知变量，设平衡节点编号为对于每个节点有两个未知变量，设平衡节点编号为s s，则，则，1 1s sn，用高斯用高斯- -塞德尔法求解，将式（塞德尔法求解，将式（4-284-28）改写为）改写为（4-284-28） 111nkkiiiijjkjiij iiPjQUY UYU1,2,inis 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析

42、（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社v除平衡节点以外，其他节点电压都有变化，因此对于具有除平衡节点以外，其他节点电压都有变化，因此对于具有n n个节个节点的网络，用高斯点的网络，用高斯- -塞德尔基本格式可以对个节点进行反复计算，塞德尔基本格式可以对个节点进行反复计算，直至所有节点电压前一次迭代值与后一次迭代值相量差的模小于直至所有节点电压前一次迭代值与后一次迭代值相量差的模小于给定的允许误差值后，迭代结束，即给定的允许误差值后，迭代结束，即(1)( )kkiiUU1,2,inis； 迭代求出各节点电压，然后再计算各节点的功率以及各迭代求出各节点电压，然后再计算各节点的功率以及各支路

43、上的功率。支路上的功率。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.2.24.2.2对网络对网络PVPV节点的考虑节点的考虑v如系统内存在如系统内存在PVPV节点。假设节点节点。假设节点P P为为PVPV节点，设定的节点电节点，设定的节点电压为压为 。假定高斯法已完成第。假定高斯法已完成第k k次迭代，接着要做第次迭代，接着要做第k+1k+1次次迭代，此时应先按下式求出节点的注入功率（符号迭代，此时应先按下式求出节点的注入功率（符号ImIm为取复为取复数的虚部）；即数的虚部）；即0pU 11

44、ImnkkkpjppjjQUYU然后将其代入下式，求出节点的电压：然后将其代入下式，求出节点的电压： 11111knkppkppjjkjpppjpPjQUY UYU（4-31）（4-32） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社v在迭代过程中，按式（在迭代过程中，按式（4-32）求得的节点）求得的节点p的的电压大小不一定等于设定的节点电压电压大小不一定等于设定的节点电压Upo所以所以在下一次的迭代中，应设定的在下一次的迭代中，应设定的Upo对对 进行进行修正，但其相角仍应保持式（修正，但其相

45、角仍应保持式（4-32）所求得）所求得的值，使的值，使 成为成为 。(1)kpU1(1)0kkpppUU1kpU 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.2.3 4.2.3 功率及功率损耗的计算功率及功率损耗的计算v在迭代求出节点电压后，就可以计算线路潮流和损耗。如图在迭代求出节点电压后，就可以计算线路潮流和损耗。如图4-54-5所示，线路连接节点所示，线路连接节点i i和和j j，在节点测量支路电流，在节点测量支路电流 ，规定由节点规定由节点j j流向节点流向节点i i流向节点时为正。在

46、节点测量支路电流向节点时为正。在节点测量支路电流，规定由节点流向节点为正。列出节点电压方程如下：流，规定由节点流向节点为正。列出节点电压方程如下：图图4-54-5计算线路潮流的线路模型计算线路潮流的线路模型jiI0000ijLiiiijijijLjjjijjiIIIy UyUUIIIy UyUU （4-33） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社复功率复功率 表示从节点表示从节点i流向节点流向节点j， 表示从节点表示从节点j流向节点流向节点i。则。则ijSjiSijijijijijSU I

47、SU I节点节点i i和节点和节点j j之间线路损耗为之间线路损耗为L ijijjiSSS（4-344-34）例例4-24-2简单电力系统如图简单电力系统如图4-64-6所示，节点所示，节点1 1连接发电机，电压幅值连接发电机，电压幅值调整为调整为1.051.05，节点，节点2 2和节点和节点3 3的负荷如图示，线路阻抗用标幺值的负荷如图示，线路阻抗用标幺值表示在图中，基准功率为表示在图中，基准功率为100100（MVAMVA），不计线路电纳。试求：），不计线路电纳。试求：（1 1）用高斯）用高斯- -塞德尔迭代法求解节点塞德尔迭代法求解节点1 1和和2 2（PQPQ节点）的电压幅节点）的电压

48、幅值，结果精确到值，结果精确到4 4位小数；位小数；（2 2）求解平衡节点）求解平衡节点1 1的有功功率、无功功率；的有功功率、无功功率；（3 3）求解线路潮流和损耗，画出功率流向图，并注明功率方向。）求解线路潮流和损耗，画出功率流向图，并注明功率方向。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社图图4-64-6例题例题4-24-2的电力系统接线图的电力系统接线图解：将线路阻抗转换成导纳为解：将线路阻抗转换成导纳为y y1212=10-j20,y=10-j20,y1313=10-j30,y=10

49、-j30,y2323=16-j32=16-j32。并标于。并标于图图4-74-7。计算。计算PQPQ节点节点1 1、2 2的复功率标幺值为的复功率标幺值为2325.6110.22.5661.102100138.645.21.3860.452100jSjjSj 图图4-74-7 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社利用式（利用式（4-294-29）迭代如下）迭代如下： 12221212330122321PjQUy Uy UyyU 12.5661.1021020 1.0501632 1.002

50、6521.000.98250.0310jjjjjjjj 13331312320132331PjQUy Uy UyyU 11.3860.4521030 1.05016320.98250.031026621.001.00110.0353jjjjjjjj第二次迭代，可以得到第二次迭代，可以得到 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社 2212.5661.1021020 1.0501632 1.00110.03532652 0.98250.03100.98160.0520jUjjjjjjj 2311

51、.3860.4521030 1.05016320.98160.05202662 1.00110.03531.00080.0459jUjjjjjjj经过七次迭代，结果收敛，精度为经过七次迭代，结果收敛，精度为5 51010-5-5 ，最终结果为，最终结果为230.98000.06000.981833.50351.00000.05001.001252.8624UjUj（2 2）各节点电压已知，由式（）各节点电压已知，由式（4-284-28）可得平衡节点的功率）可得平衡节点的功率11111213122133PjQUUyyy Uy U 1.051.05205010200.980.0610301.00.

52、054.0951.890jjjjjj 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社平衡节点的有功功率和无功功率为平衡节点的有功功率和无功功率为P P1 1=4.095=4.095100=409.5M100=409.5M W,QW,Q1 1=1.89=1.89100=189Mvar100=189Mvar（3 3）忽略线路电容，计算线路的电流为）忽略线路电容，计算线路的电流为 1212122112131313311323232310201.0500.980.061.90.81.90.810301.05

53、01.00.052.01.02.01.016320.980.061.00.056.4IyUUjjjjIIjIyUUjjjjIIjIyUUjjj 32230.486.40.48jIIj 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社 121212121213131313111.0501.90.81.9950.84199.5()84(var)0.980.061.90.81.910.67191.0()67.0var)1.0502.01.02.11.05210()105(var)SU IjjjMWjMSU

54、IjjjMWjMSU IjjjMWjMSU I 23232323231.00.052.01.02.050.90205()90var)0.980.050.6560.480.6560.432656()43.2(var)1.00.050.640.480.6640.44866.4()44.8(var)jjjMWjMSU IjjjMWjMSU IjjjMWjM 潮流计算如下潮流计算如下 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社功率分布如图功率分布如图4-84-8所示。图中用所示。图中用 表示有功功率，表

55、示有功功率，用用 表示无功功率，括号内数字表示线路功率损表示无功功率，括号内数字表示线路功率损耗数值。耗数值。线路损耗为线路损耗为1212211313312323328.517.0var5.015.0var0.81.6varLLLSSSMWjMSSSMWjMSSSMWjM图图4-84-8例例4-24-2的潮流分布图的潮流分布图 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社v高斯高斯- -塞德尔迭代法塞德尔迭代法 在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭代的全部分在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭

56、代的全部分量来计算本次的所有分量，显然在计算第量来计算本次的所有分量，显然在计算第i i个分量时，已经个分量时，已经计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第计算出来的第k+1k+1次近似分量加以利用，就是高斯次近似分量加以利用，就是高斯- -塞德尔塞德尔迭代法。迭代法。v高斯高斯- -塞德尔迭代法计算潮流塞德尔迭代法计算潮流 功率方程的特点：描述电力系统功率与电压关系的方程功率方程的特点：描述电力系统功率与电压关系的方程式是

57、一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解接求解 。 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社4.3 4.3 牛顿牛顿- -拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算v4.3.1 4.3.1 牛顿牛顿- -拉夫逊法简介拉夫逊法简介v牛顿牛顿- -拉夫逊法（拉夫逊法（Newton-RaphsonNewton-Raphson），简称牛顿法，是求解非），简称牛顿法，是求解非线性代数方程的一种有效且收敛速度快的迭代计算方法。在牛线性代数方程的一种有效且

58、收敛速度快的迭代计算方法。在牛顿顿- -拉夫逊的每一次迭代过程中，非线性问题通过线性化逐步拉夫逊的每一次迭代过程中，非线性问题通过线性化逐步近似。下面先对一维非线性方程式求解，阐明它的原理及计算近似。下面先对一维非线性方程式求解，阐明它的原理及计算过程，然后再推广到髙维的情况。过程，然后再推广到髙维的情况。v设有一维非线性方程设有一维非线性方程( )0f x 设方程解的初始估计值为设方程解的初始估计值为x x(0)(0)，x x（0 0） 是偏离真实解得一个是偏离真实解得一个微小变化量，则公式（微小变化量，则公式（4-374-37）可写成：）可写成： 00()0f xx设设f f（x x）有任

59、意阶导数，将上式在）有任意阶导数，将上式在x x（0 0）的邻域用泰勒级数展开的邻域用泰勒级数展开 00000002()()()()()02!fxf xxf xfxxx 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社如果如果x x（0 0）接近真实解，则接近真实解，则x x（0 0）相对来讲非常小，其高次相对来讲非常小，其高次幂的结果更小，因此可以略去幂的结果更小，因此可以略去x x（0 0）的高次项，得到的高次项，得到 00000()()()0f xxf xfxx上式称为牛顿迭代法的修正方程式，可

60、以由其得到修正量为上式称为牛顿迭代法的修正方程式，可以由其得到修正量为 000()()f xxfx 将初值将初值x x（0 0）代入上式求得修正量代入上式求得修正量x x（0 0）即可得到逼近真值得即可得到逼近真值得近似解近似解 010000f xxxxxfx（4-414-41） 第第4 4章电力系统潮流的计算机算法章电力系统潮流的计算机算法电力系统分析（刘学军主电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社编）机械工业出版社图图4-94-9中示出上述关系，可见中示出上述关系，可见x x（1 1）比比x x（0 0）更逼近于真实解。更逼近于真实解。图图4-9 N-R4-9 N-R迭代图迭代图将将x