13塑性本构关系（沐风学堂）

1、1第第13章章 塑性本构关系塑性本构关系周周 博博中国石油大学中国石油大学(华东华东) 储运与建筑工程学院储运与建筑工程学院213.1 屈服条件 屈服函数屈服函数：屈服条件的解析表示，即：屈服条件的解析表示，即()0ijf在几何上是在几何上是应力空间应力空间内的一个曲面，称为内的一个曲面，称为屈服曲面屈服曲面。对于各向同性材料，坐标轴的转动不影响材料的屈服特性，因此可以对于各向同性材料，坐标轴的转动不影响材料的屈服特性，因此可以取三个应力主轴为坐标轴取三个应力主轴为坐标轴(主应力空间主应力空间)，屈服函数表示为：，屈服函数表示为：123(,)0f 应力可以分解为球应力和偏应力，一般而言球应力不

2、影响材料的屈服，应力可以分解为球应力和偏应力，一般而言球应力不影响材料的屈服，材料的屈服只和偏应力有关。材料的屈服只和偏应力有关。屈服条件屈服条件：在复杂应力状态下，材料初始弹性状态的界限。：在复杂应力状态下，材料初始弹性状态的界限。3(,)mmmN123(,)mmmQ123(,)P 屈服点该线上所有点为屈服点312PONQ平面n3()3nijk 屈服面在屈服面在平面上的投影为一条封闭曲线，称为平面上的投影为一条封闭曲线，称为屈服曲线屈服曲线。 屈服面为以屈服面为以ON为轴线，以屈服曲线为截面形状的、与坐标轴成等为轴线，以屈服曲线为截面形状的、与坐标轴成等 倾角的柱体表面。倾角的柱体表面。 通

3、常在在通常在在平面研究屈服曲线的特性。平面研究屈服曲线的特性。4将主应力空间将主应力空间向向平面投影平面投影312PONQ平面n/111/222/1332sin( , )32sin( , )32sin( , )3n in jn k/1/2/3QxyOr120o120o/123123(,)(,)PQ ( , )Q x y/0/01313/0/02132132cos30cos30()26sin30sin30(2)6xy522221321322213213132221223231213222122313211()(2)26112 ()(2)()666112 ()()()()()6662 ()()()

4、 6 2rxyJ2131321tan3yx2131323tanLode应力参数：应力参数：0011, 3030 123在极坐标系下在极坐标系下6 屈服曲线的特点 屈服曲线是一条封闭曲线，且该曲线包围坐标原点；屈服曲线是一条封闭曲线，且该曲线包围坐标原点； 屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径相交且仅相交一次；屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径相交且仅相交一次； 屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称；屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称； 屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。 典型应力状态在平面上的极坐标平面上的极坐标1230,021

5、,303r 纯拉伸纯拉伸12300,21,303r 纯压缩纯压缩1230.0,0,2 ,0r 纯剪切纯剪切/1/2/3QxyOr120o120o7 常用屈服条件常用屈服条件 最大剪应力条件最大剪应力条件(Tresca屈服条件屈服条件)/1/2/313max2k132()22xk00123, 3030123max2s单向拉伸时，屈服时最大剪应力屈服条件为：13s8 畸变能条件畸变能条件(Mises屈服条件屈服条件)02222/12233111 ()()() 6dvUJEvkE/22rJk/1/2/320126dsvUE单向拉伸时，屈服时最大畸变能2221223311()()() 2s屈服条件为：

6、22212233113()()() 22eijijs s等效应力：913.2 塑性增量理论 本构特性本构特性：弹性阶段，应力偏量分量与应变偏量分量之比为常数。：弹性阶段，应力偏量分量与应变偏量分量之比为常数。1ijijkkijvvEE 1 2kkkkvE111133ijkkijijkkijkkijvvvesEEE 1111 233ijkkijijkkijvvesEE 1ijijvesE2(1)Ev3kkkkK12ijijes2(1 2 )EKv10金属性质金属性质：球应力只产生体积弹性改变，偏应力可产生塑性应变，：球应力只产生体积弹性改变，偏应力可产生塑性应变， 塑性应变不引起体积变化塑性应变

7、不引起体积变化 。epepijijijijijdedededed增量假设增量假设：塑性应变分量的微小增量与偏应力分量比值为常数。：塑性应变分量的微小增量与偏应力分量比值为常数。pijijdd s非负比例系数非负比例系数塑性增量理论塑性增量理论12ijijijdedsd s0pkkd13ppppijijkkijijddedde 普朗特普朗特- -雷斯方程雷斯方程11pijijdd s2()ppijijijijddds s32eijijs s23pppeijijddd32peedd1322peijijijeddedss等效应力等效应力等效塑性应变增量等效塑性应变增量32ppeijijedds普朗特

8、普朗特- -雷斯方程雷斯方程1232eijijedds1ijijkkijvvEE 312231 ()233 23 2ijijkkijijkkijijeijeEEEsEds 0.51eevdE忽略弹性变形忽略弹性变形32ppeijijedds23ppeijijddd等效应变增量等效应变增量塑性变形特点塑性变形特点：不可压缩性、非线性、对加载路径依赖性。：不可压缩性、非线性、对加载路径依赖性。1313.3 塑性全量理论比例加载比例加载：在加载过程中，各个应力分量都按相同比例增长。在加载过程中，各个应力分量都按相同比例增长。000, , ijijijijeeksksk32ppeijijedds003

9、2ppeijijedds0000323 23 2ijppijeeijpeeijpeesddksdksd32ppeijijes亨基亨基-依留申方程依留申方程:全量理论适用条件全量理论适用条件( (简单加载定理简单加载定理) )：12v meeA比例加载比例加载1413.4 塑性势的概念pijijdd s0pijijVdd021111()()2233ijijijkkijijkkijVJs s 011111 ()()() ()23333111 ()()2331 ()3 ijkkijijkkijijkkijijkkijijkkijijijkkijijijkkijijijijdVddddds d 0ij

10、ijVs 塑塑 性性 势势塑性势函数Mises屈服函数15pijijfdd 流动法则的正交性流动法则的正交性屈服函数是塑性势函数屈服函数是塑性势函数0Vf123123:pppfffddd123fffgradfijk为屈服面上过点为屈服面上过点(1, 2, 3)的法线方向矢量的法线方向矢量和屈服曲面外法线方向和屈服曲面外法线方向 一致一致pijijdnijijfn1613.5 材料特性的假设 德鲁克公设德鲁克公设(稳定性假说稳定性假说)0ijijdd*()0ijijijd 在加载过程中，应力增量所做的功恒为正：在加载过程中，应力增量所做的功恒为正： 在加载与卸载的整个应力循环中，应力增量所完成净

11、功恒为非负。在加载与卸载的整个应力循环中，应力增量所完成净功恒为非负。epijijijddd*()0eijijijd*()0pijijijd稳定(应变强化)不稳定不稳定17ij*ijABC初始屈服面继生屈服面*()0pijijijd*()()()()0()0()pijijijpppijijijijijijijijijABBCCApijijijBCpijijijBCdddddd*()0pijijijBCd0BC *()0pijijijd0pijijdd局部最大原理局部最大原理(德鲁克不等式德鲁克不等式)18 屈服曲面的外凸性屈服曲面的外凸性ijdpijdij*ij*()ijijij*ij*()i

12、jijpijd0cos022pijijpijijdddd*()0cos022pijijijpijijijdd在在m维空间中，一个图形外凸的充维空间中，一个图形外凸的充要条件：对于该图形的任意边界点，要条件：对于该图形的任意边界点，总存在一个通过此点的总存在一个通过此点的(m-1)维超维超平面，使该图形完全位于这个超平平面，使该图形完全位于这个超平面的一侧。面的一侧。19 伊留申公设：伊留申公设：弹塑性材料的物质微元体在应变空间中任一弹塑性材料的物质微元体在应变空间中任一 应变循环中所完成的功为非负。应变循环中所完成的功为非负。0ijijd12345应力循环完成的功总是小应力循环完成的功总是小于应变循环所完成的功于应变循环所完成的功20 德鲁克公设是在应力空间讨论问题，而依留申公设是在应变空间德鲁克公设是在应力空间讨论问题，而依留申公设是在应变空间 讨论问题；讨论问题； 根据德鲁克公设可以导出应力空间屈服面的外凸性，根据依留申根据德鲁克公设可以导出应力空间屈服面的外凸性，根据依留申 公设可以导出应变空间屈服面的外凸性；公设可以导出应变空间屈服面的外凸性； 德鲁克