建筑力学第五章_静定结构位移计算

1、1第五章 静定结构的位移计算2一、位移的概念一、位移的概念CPABC 结构上某点位置的改变称为结构上某点位置的改变称为位移，结构的位移有两大类：位移，结构的位移有两大类：线位移和角位移。线位移和角位移。截面的移动称为线位移；截截面的移动称为线位移；截面的转动称为角位移。面的转动称为角位移。计算位移的目的计算位移的目的 1 1、校核结构的刚度，保证、校核结构的刚度，保证结构的正常使用。结构的正常使用。 2 2、为超静定结构的内力计、为超静定结构的内力计算打下基础。算打下基础。产生位移的主要因素产生位移的主要因素（1 1）荷载作用；）荷载作用；（2 2）温度变化和材料胀缩；）温度变化和材料胀缩；（

2、3 3）支座沉降和制造误差。）支座沉降和制造误差。3虚功和虚功原理虚功和虚功原理功、广义力、广义位移功、广义力、广义位移物理上定义：物理上定义：W = FS F集中力；集中力；S线位移线位移现在将此式的定义扩大：现在将此式的定义扩大： W = P 式中：式中： W广义功广义功； P广义力广义力； 与与P相应的相应的广义位移广义位移功的正负号规定：当力功的正负号规定：当力P P与相应位移与相应位移 方向一致时，功为正；方向一致时，功为正；两者方向相反时，功为负。两者方向相反时，功为负。虚功虚功1 1、 定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为虚

3、功。虚功。其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。二、位移计算的一般公式二、位移计算的一般公式4虚功的表达式：虚功的表达式： W = P注意注意： （1 1）力）力P与与位移必须是相应的。位移必须是相应的。 （2 2）力）力P与位移与位移是互相独立，彼此无关的，即无因果是互相独立，彼此无关的，即无因果 关系。关系。 （3 3）虚功的正负号规定与前面相同。）虚功的正负号规定与前面相同。P1ABP2123虚功：虚功：W = P12“虚虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！字是强调位移和做功的力无关的特点！5变形体体系的虚功原理变形体体系的

4、虚功原理 变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所有内力所作的虚功。有内力所作的虚功。W外外= W内内即：即：kkiiPR cMdQdNd 6 单位荷载法单位荷载法虚拟单位荷载的建立虚拟单位荷载的建立(1)(1) 欲求欲求A A点的水平线位移时，在点的水平线位移时，在A A点沿水平方向加一单位集点沿水平方向加一单位集中力如图中力如图(b)(b)所示；所示；(2)(2) 欲求欲求A A点的角位移，在点的角位移，在A A点加一单位力偶如图点加一单位

5、力偶如图(c)(c)所示；所示；(3)(3) 欲求欲求A A、B B两点的相对线位移，在两点的相对线位移，在A A、B B两点沿两点沿ABAB连线方连线方向加一对反向的单位集中力，如图向加一对反向的单位集中力，如图(d)(d)所示；所示；(4)(4) 欲求欲求A A、B B两截面的相对角位移，在两截面的相对角位移，在A A、B B两截面处加一对两截面处加一对反向的单位力偶，如图反向的单位力偶，如图(e)(e)所示。所示。7位移状态（实际）位移状态（实际）CCP力状态（虚设）力状态（虚设） 如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力P=1 ，由虚

6、功原理可得：，由虚功原理可得：= 1 正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之为负。所以，由上式求得为负。所以，由上式求得 的如果是正值，说明位移的如果是正值，说明位移 的方向的方向与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。1iiMdQdNdR c 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式8如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得1MdQdNd 由材料力学公式，实际荷载下杆件内力由材料力学公式，实际荷载下杆件内力MMP P、F FQPQP、F FNPNP

7、作用下所引起的相应变形作用下所引起的相应变形dd、dd、dd分别为：分别为：pppM dsdEIkQ dsdGAN dsdEA91、荷载作用下位移的计算公式、荷载作用下位移的计算公式M, FQ, FN 虚设单位荷载引起的内力虚设单位荷载引起的内力MP , FQP , FNP 实际荷载引起的内力实际荷载引起的内力k 剪力不均匀系数剪力不均匀系数正负号规定：正负号规定：轴力轴力 以拉力为正以拉力为正剪力剪力 以顺转以顺转 为正为正弯矩弯矩 只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积MPM取正，取正，反之为负。反之为负。QPQNPNPkFFFFM MdxdxdxEIGAEA

8、 102 2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式1 1、梁和刚架、梁和刚架2 2、桁架、桁架3 3、组合结构、组合结构（梁式杆）（梁式杆）（链杆）（链杆）PM MdxEI NPNNPNFFFFdxlEAEA QPQNPNPkFFFFM MdxdxdxEIGAEA NPNPFFM MdxlEIEA 11荷载作用下位移计算的步骤荷载作用下位移计算的步骤1 1、沿需求位移的位置和方向虚设、沿需求位移的位置和方向虚设相应相应的单位荷载；的单位荷载； 2 2、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力 方程；方程；3 3、列出实际荷载作

9、用下各杆段内力方程；、列出实际荷载作用下各杆段内力方程； 4 4、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计算出所求位移。算出所求位移。12 四、图乘法求静定结构的位移四、图乘法求静定结构的位移1 1）图乘法的应用条件）图乘法的应用条件 1 1、杆件为直杆；、杆件为直杆； 2 2、各杆段的、各杆段的EI分别等于常数；分别等于常数； 3 3、M、MP图中至少有一个是直线图形。图中至少有一个是直线图形。2 2）图乘法的计算公式）图乘法的计算公式 = = i yiEI 为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积 y

10、为面积为为面积为 的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐标，即标，即y必须在直线图上量取。必须在直线图上量取。 公式正负号规定：公式正负号规定：若若 与与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，在杆件的同一侧时，乘积取正值，反之，则取负值。反之，则取负值。ABABy形心1 1、图乘法公式、图乘法公式133 3）几种常见图形的面积和形心位置）几种常见图形的面积和形心位置 注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛物线，即物线，即顶点在中点或端点的抛物线。顶点在中点或端点的抛物线。l32l31hl21hl32l21l21

11、hhl83l85hl32顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处Q = 0。l43hl41hl31顶点顶点顶点142 2、图乘分段和叠加、图乘分段和叠加1 1、分段、分段 （1 1）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线，）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线，则应分段计算。如：则应分段计算。如：123y3y1y2)(1332211yyyEI （2 2）杆件各段有不同的）杆件各段有不同的EI，则应在，则应在EI变化处分段，分段进变化处分段，分段进行图乘。如：行图乘。如：EI1EI2EI1EI211y1y222211111yEIyEI152 2、

12、叠加、叠加 在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。（1 1）两个图形都是梯形）两个图形都是梯形abcd12y1y2)(12211yyEI16 （2 2）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成两个简单图形分别计算，再叠加。例如：两个简单图形分别计算，再叠加。例如：qL2/8A AB BMMBABAMMABABA AB BMMBABAMMABABA AB BqL2/8AB17 例例1 1：试用图乘法计算如图所：试用

13、图乘法计算如图所示简支梁跨中截面示简支梁跨中截面C的竖向位的竖向位移移C和和B端的角位移端的角位移 B。EI为为常数。常数。ABCqL /2L /2解：解：1 1、计算、计算C CABCqL2/8MMP P图图CABMM图图P = 1L /41EI1= 2= 2( 23L218qL258L4)=5qL4384EI2 2、计算、计算B BABMM图图m = 11EI1B B = = ( 2318qL212)L=qL324EIiiCyEI1y1y218 例例2 2：计算图示悬臂刚架在：计算图示悬臂刚架在CC点作用荷载时，梁中点点作用荷载时，梁中点D D的挠度。的挠度。EI为常数为常数PLABCLD

14、P=1ABCD解：1、在D点设单位竖向力2、作Mp图和M图PLPLPLPABCM MP P图图2l2l2lM M图图3、图乘法计算21y2y18222121lllPly6512222lllPly 2iiDyEI1 322482926581PlEIPllPllEI19例例3 3：求图示刚架：求图示刚架C C截面的竖向位移截面的竖向位移C C 。EI为常数为常数10kN/mABC6m6m20kN30045300ABCM MP P图（图（kNmkNm) )ABCM M图（图（m)m)P = 166解：作解：作MMP P图和图和MM图图EI1= = ( 3006 )6123006 )4 (432345

15、6 ) 3 (EI1EI13860 kNm3=6iiCyEI120五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核 1 1、 梁的位移梁的位移 挠度：挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用用w w 表示，规定表示，规定w w 向下为正。向下为正。 转角：转角： 横截面的角位移横截面的角位移 ，规定顺时针转为正，规定顺时针转为正21 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表所示），可供计算时查用。结果（如表所示），可供计算时查用。表表 梁的挠度与转角公式梁的挠度与转角公式 22PBF lEI3max3PF lwEIB

16、MlEI2max2MlwEI2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型22续表续表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBF lEIab2l3max48PF lwEI时4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上时236简支梁弯曲力偶作用在梁的一端5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上A324BqlEI4max5384qlwEI6AM lEIB3M lEI2max9 3MlwEI3lx -（在处）续表续表-242 2梁的刚度校核梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以

17、许可的挠度与梁跨长对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比之比wl为标准 在工程上，吊车梁的在工程上，吊车梁的 1/600 1/600 wl铁路钢桁梁的铁路钢桁梁的 1/9001/900wl梁的刚度条件为梁的刚度条件为: :maxwwll25 例：图示简支梁由工字钢制成，例：图示简支梁由工字钢制成， 跨度中点处承受跨度中点处承受集中载荷集中载荷 Fp。已知。已知Fp=40KN，跨度，跨度l=3m ，许用应，许用应力力 =160MPa，许用挠度，许用挠度w= l/500，弹性模量，弹性模量E=2105MPa ，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。 26解解 （1 1）按强度条件选择工

18、字钢型号）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为： max4PF lM3340 103 104Nmm 73 10 N mm按弯曲正应力强度条件选截面按弯曲正应力强度条件选截面m ax7m ax5333101601.87510187.5MWMNm mWM P am mcm27查型钢表选用查型钢表选用20a20a工字钢工字钢, ,其弯曲截面系数为其弯曲截面系数为237cm3237cm3，惯性矩，惯性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核梁的刚度）校核梁的刚度33357440 10(3000)4848 2 102.37 10pF lNmmwEIMPamm w300065

19、00mmmm=4.75mm=4.75mm=梁的刚度足够梁的刚度足够 所以，选用所以，选用20a20a工字钢工字钢 283 3、提高梁抗弯刚度的措施、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度、梁的跨度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：弯刚度可以采取以下措施：(1)(1) 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大值，一般不采用增大E 值的方法。值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩状，可提高惯性矩I 。 29（2 2）减小梁的跨度）减小梁的跨度L L梁的变