谈构造法数学解题中的运用

1、学科数学序号69谈构造法在数学解题中的运用摘要：“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重耍的作用。本文从“构 造函数”、“构造方程”等常见构造及“构造模型”、“构造情境”等特殊构造出发，例谈构造 法在数学解题中的运川。关键词：构造数学解题历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗fi等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近儿年來, 构造法极英应用乂逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中冇着一定的地位。构造需要以足够的知识经验为基础，较强

2、的观察能力、综合运用能力和创造能力为而提, 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带, 使解题另辟蹊径、水到渠成。“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学屮有着极为重耍的作用，现举例谈谈具在 数学解题中的运用。一、构造函数理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变赧的这个认识上的飞跃。很多数 学命题繁兀复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。例1（柯西不等式）设逐,6（匸1,2,n）均为实数，证明:证:构造二次函数f(x)二aibi x +/=!(nd2k/=i例 2已知 x,y,zg (0, 1),求证:x(l -y)+y

3、( 1 -z)+z( 1 -x) < 1 (笫15届俄罗斯数学竟赛题)分析：此题条件、结论均具冇一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。证:构造函数f(x)=(y+z-1 )x+(yzyz+1)vy,ze(0,l), f(0)=yzy z+1 =(y-l )(z-l)>()f(l )=(y+z-1 )+(yz-y-z+ l)=yz > 0而f(x)是一次函数，其图象是直线，由 xe(0,l)恒有 f(x) >0即(y+z-1 )x+(yz-y-z+1)>0整理可得x(ly)+y(lz)+z(lx) <1二、构造方程方程是解数学题的一个垂要工具，许多

4、数学问题，根据其数量关系，在已知和未知z间 扌签上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。例3已知a,b,c为互不相等的实数，试证:bem"b(a-b)(a-c) +(b-a)(b-c) +(c-a)(c-b) 证：构造方程(x-b)(x-c)(x-a)(x-c) (x a)(x b)+= j(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)q)(c _ /?) 一显然a,b,c为方程的三个互不相等的实根。而对任意实数x均满足(2)式。特别地，令x=0,即得(1)式。例4设x,y为实数，且满足关系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1i (y-l)3+1997(y-l)=l则x+y=. (19

5、97年全国高屮数学联赛试题)分析：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉。若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1 -y)3+1997(1 -y)= 1,利用函数f(t)=t3+1997啲单 调性，易得x-l = l-y,自然、简洁。三、构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构 会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。例 5j 若 a,b,x,yw!e 实数，且 x'+yj,求证:/a2x2+b2y2 +/a2y2+b2x2 =a+b证： 设z=ax+byi, z2=b

6、x+ayi,贝uyl<rc+b2y2 + */a2y24-b2x2 = i zi | + | z2 i ml z1+z2 i = i (a+b)x+(a+b) yi |= (a+b) yjx2 + y2 =a+b不等式得证：四、构造代数式代数式是数学的重要组成耍素z ,有许多性质值得我们去发现和应用。【例6】证明：对于同样的整数x和y,表达式2x+3y和9x+5y能同时被17整除。(首届imo 试题)分析：构造代数式9 (2x+3y) 2(9x+5y),其值等于17y,能被17整除，结合2与9均与17 互素，结论易证。%1. 构造数列 相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数

7、列”能产牛意想不到的效果。(1、n< 1 )1 + <1 +1 丿<斤+ 1丿【例7】证明:(n=l, 2, 3分析此命题若血接证明，颇具难度，倘若构造数列xj =x2=*e=xn=l+ ,xn+i = l利用平均值不等式皿話严1 2叫/xm.xn+|，顿使命题明朗化。六、构造几何图形般来讲，代数问题较为抽象,若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结并设 bd=x, ce=y, af=z,如图 1合”这一重要思想方法，往往对增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。【例8】(见【例2】)证：构造边长为1的正aabc, d, e, f为边上三点,显然有sabde+sa

8、cef+saadf <4即¥ x(ly)+¥ y(lz)+申 z(lx)<¥这道竞赛题能如此简洁、直观地证明，真是妙不可言。七、构造向量新教材的一个重要特点是引入向量，代数、儿何、三角中的很多问题都可以利用向虽这工具来解决.【例9已知a,b,c为正数，求函数y= v%2 + a2 + j(c-* +/异的最小值.解:构造向量a=m,b =(c-x,b),则原函数就可化为:y= | a | + | ft | a + b = /(x + c-x)2 +(fz + z?)2 = c2 + (a + h)2 y niin=+ (d + b)八、构造模型 数学和

9、其它学科一样,要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际 牛活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想，把数学中的理论作为工作，充分发挥其作 用，因而许多问题可通过构造模型来处理【例11）（哥尼斯堡七桥问题）18世纪a为东普鲁士首府，布勒尔河穿城而过，河中间有一个小岛，如图2。当地的屈民常到这散步，“如何能不重复地一次走遍这 七座桥而返回出发地呢？ ”许多人均未成功，这便产生了数学史 上苦名的“七桥问题”。1735年欧拉对该问题进行抽象，构造岀图论中的“一笔画”模型（如图3）才知该问题无解，an这一模型的构造充分展示出欧拉超人的智慧。丿b图3近年来，构造模型的方法越来越被重视，

10、并成为高考中的一道独特的风杲线。-九、构造情境有一些问题看似简单，但真正处理起来非难则繁，如能合理、巧妙地构造一些悄境，不但易 使问题“柳暗花明”，而1l其新颖独特的解题模式让人深刻感受到数学思想维的美妙。【例12】如图4摆放的24张牌，全部反面朝上，以任意一张牌为起点翻牌，一张挨一张翻， 只能横着或竖着翻，不能斜着或跳着翻，问能否将每一张牌全部翻过来? 图4图5分析：山于每翻一张牌，翻下一张牌乂有若干不同的情况，于是情况尤为复朵，难以一一尝 试，我们可以用一特殊的方法來解决此题。构造如下情境：假设各张牌如图5染上口色或黑 色，使得黑口相|'可。这样，每张牌的下一张牌就是不同色的。而由

11、翻牌的规则可知翻完所有 的牌吋两色牌至多和差一张，但由图5知白色牌比黑色牌多2张，显然不可办得到。从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发 现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重耍的数学方法。运用构造法解数 学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培 养多元化思维和创新精神人有裨益。参考文献1、郑毓信，数学方法论。南宁：广西教育出版社，20012、侯繁义，数学思维与数学方法。长春：东北师范大学出版社，19913、叶景梅，楼世拓等。数论简明教程。银川：宁夏人民出版社，19984、邵光华等，数这思想方法与屮学数学，北京：北京师范大学出版社，19995、