小学数学思维校本课程教材

1、五年级数学思维训练爱好小组活动目的：通过协作课堂教学， 延长课内学问， 进行有方案、 有步骤的课外数学思维才能专项训练， 对于进一步激发学有余力同学的学习爱好、开阔数学视野、 培育数学思维、把握数学学习方法具有莫大的好处，为同学中学阶段学好数学奠定坚实的基础；动内容活：自编数学思维训练教材，主要包括小数的简便运算和循环小数与运算、数的整除、质数与合数、分解质因数、因数的个数与因数的和、最大公因数与最小 公倍数、奇数与偶数、巧算表面积和体积等；活动时间：每周四下午两节课后进行（其中，期中考试和期末考试复习期间暂停3 次）活动地点：多媒体教室组织方法：在开学其次周，在同学自愿报名的基础上，结合同学

2、平常的数学学习情形，选拔活动小组成员；成效评判： 以作业、上课表现和测试结果来进行评判；参与人员：五年级同学指导老师： 王建民第一讲小数乘法的运算技巧探究目标：1、能娴熟的依据乘法运算的规章、数字特点、运算定律、性质、公式等，进行简算和速算；2、培育善于观看、敏捷运用基础学问的才能，能正确、快速、合理、敏捷的解答有关运算问题；3、养成整体观看、深化懂得、有序摸索、细心解题的良好习惯；探究过程：例1 运算：（ 1） 438.9× 5（2）574.62 ×25解析：（ 1）由于 5=10÷2，因此，可以先把438.9 乘以 10，再除以2，所得的商就是 438.9 与

3、 5 的积；即解：438.9×5=4389÷ 2=2194.5（2）由于 25=100÷ 4，因此，可以先把574.62 乘以 100，再除以 4，所得的商就是 574.62 乘 25 的积；即解：574.62×25=57462÷4=14365.5或574.62×25=574.62÷4×100=14365.5例2 运算（ 1）47.39÷ 0.5 （2） 12.348÷ 0.25解析：（1） 47.39÷0.5=473.9÷ 5= 473.9×2÷ 10=

4、94.78（ 2）12.348÷0.25或12.348÷0.25=1234.8÷25=1234.8÷25=1234.8÷5÷ 5=1234.8×4÷ 100=246.96÷5=4939.2÷100=49.392=49.392例 3:运算 1.25× 0.25× 0.05×64解析： 依据题目中的数字特点，为了凑整，将64 分解成 2×4× 8，然后依据乘法交换律和结合律进行简算；解：1.25× 0.25×0.05×

5、64=1.25 ×0.25×0.05× 2× 4× 8=1.28×8× 0.25× 4×0.05× 2=10× 1× 0.1=1例 4：运算： 9.728÷ 3.2÷2.5解析： 全面观看题目，由运算定律性质转变运算次序，使运算变得简便；解：9.728÷ 3.2÷ 2.5=9.728÷（ 3.2× 2.5）=9.28÷（ 0.8×4× 2.5）=9.728÷ 0.8×

6、（ 4× 2.5） =9.728÷（ 8×10）=9.728÷ 8=1.216巩固练习 ：一、填空1.（3.6× 0.75×1.2）÷（ 1.5× 24×0.18） =（）2.在口里填上合适的数或运算符号；（ 1） 4× 1.25×口× 8=10（ 2） 4.8÷ 0.4÷ 0.12=4.8÷（ 0.4 口 0.12）（ 3） 32× 0.125×0.25=口× 0.125×口× 0.25二、挑选

7、1.选面除法算式商最大的是（）；a.2.021÷0.08b.2021÷8c2021÷0.8d. 2.021÷ 82.下面的乘法算式积最大的是（）a 999.9×99.99b. 999.9× 999.9c9999× 99d. 99.99× 99.993.cde×a.b=a.cde是用数字表示的一个小数乘法算式，题种每一个字母表示一个数字，假如a.cde c.de 就， a.b 这个小数是（）a.1.5b.0.1c.1.1d.0.2三、运算以下各题；1、0.99÷ 4.52、3.6÷ 2.

8、53、0.5× 0.8× 0.04×1.25× 0.2× 0.0254、0.125×0.25× 0.5× 645、4.6× 72× 53÷ 4.6÷ 72÷ 536、4.8×7.5×8.1÷（ 2.4× 2.5× 2.7）7、1.25× 0.25×64×3.176× 0.58、4.27÷ 26.8×3.59÷ 42.7×2.68÷

9、; 35.99、0.5× 2.5× 96× 0.12510、5.6× 16.5÷0.7÷1.1其次讲循环小数探究目标：1、能依据循环小数的结构特点，正确解答循环小数问题；2、提高分析、推理，综合运用学问的才能，正确、快速解答有关数学问题；探究过程：例 1 有一个三位小数，四舍五入后成为8.70，原先的三位小数可能是哪些小数？解析 ：分两种情形考虑：四舍；五入；解： 四舍不进位的8.70，那么原先千分位上的数字只能是1,2,3,4 所以原数为8.701,8.702, 8.703, 8.704；五入进位后的8.70，那么原数百分为上的数字

10、为9，非常位上的数字为6，而千分位上的数字只能是5,6,7,8,9，所以原数为8.695,8.696, 8.697, 8.698, 8.699；答：原先的三位小数可能是8.695,8.697,8.698,8.699. 8.701, 8.702, 8.703, 8.704；例2把小数 0.987654321 变成循环小数；（1） ）假如把表示循环节的两个点加载7 和 1 上面，就此循环小数第200 位上是几？（2） ）假如要第100 位上数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？解析：（ 1）由于循环节的两个点加在7 和 1 上面那么循环节应是7 位数；由于（ 200-9）

11、47;7=272（即循环节的其次位） ，所以此循环小数的第200 位上的数是6.（3） ）由已知可知， 第 100 位上的数字是5，就后面四位的数字应依次是4,3,2,1；那么（ 104-9）=95 位包含的是如干个完整的循环节；又由于95=5× 19，所以循环节应 是 5 位，即表示循环节的两个点应加在5 或 1 的上面；答：（ 1）第 200 位上的数字是6.（2）表示循环节的两个点因分别在5 和 1 的上面；例3一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加和为8.6，这个数是几？解析： 一个数与它自己相减的差等于0，一个不等于0 的数与它自己相除的商等于1.依据“和、上、差

12、、商相加的和是8.6”这一条件可知解：一个数× 20+1=8.6（8.6-1）÷ 2=3.8答：这个数是3.8；例4循环小数0.2837564 （ 2837564 循环）与0.2837564 （ 2837564 循环）在小数后面第几位时，在该位上的数字都是6；解析：循环小数0.2837564（ 2837564 循环）的循环节是七位与0.2837564（ 2837564循环）的循环节是五位，7 与 5 的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后面第35 位上的数字都是6；例5两个小数相乘，他们的乘积四舍五入后是60.0 ，这两个数都是一位小数，这两个小数的整数部分都是7，

13、那么两个小数的乘积四舍五入以前是多少？解析： 由题意，可知这两个带小数在7.1 到 7.9 之间，又由于60.0 ÷ 8=7.5 ，所以这两个数都必需大于7.5 ，即在 7.6 到 7.9 之间；对此进行逐个检验：7.6 × 7.9=60.04 ；7.6 × 7.8=59.28.就这两个小数的乘积四舍五入前是：60.04.巩固练习 ：1、在混循环小数 3.62890123 （3 循环）的某一位上再添一个表示循环的点后，使得：（ 1）新的循环小数尽可能大（ 2）新的循环小数尽可能小；分别求出新的循环小数各是多少？2. 甲、乙两个数的和是303.49 ，如果乙数的小数

14、点向左移动一位就等于甲数，那么甲、乙数各是多少？3、有一个四位数在他某位数上加以个小数点，在和这个四位数相加得1258.46 ，问这个四位数是多少？4、一个小数， 如把小数点向右移动一位，所得的数比原数增大了42.84 ，问原数是多少？5、循环小数0.28375463 （28375463 循环）与0.4972163 （ 72163 循环）在小数点后几位时，在该位上数字是3？6. 在小数 0.7082169453 中，添上表示循环节的两个点，使它变成循环小数；（ 1）假如把两个点加在8 和 3 的上面，那么第100 位的数应当是几？（ 2）假如要使第100 位上的数字是5，那么表示循环节的两个点

15、应分别加在哪两个数字的上面？第三讲敏捷求和差积商探究目标1、依据运算定律和性质，运用“凑整”“拆数”“等积变形”转变运算次序和方法，进行速算和巧算；2、培育整体观看，综合运用学问及合理敏捷的懂得才能；3、养成对任何一个算式，都要作整体观看，全面统筹，深化懂得，不盲目硬算， 在千变万化的运算过程中，随时留意运用简算，速算的良好习惯；探究过程例 1 运算： 7.46× 36+74.6× 64解析： 通过整体观看，将6.4 扩大 10 倍， 74.6 缩小 10 倍，利用乘法安排律使运算简便；解：原式 =7.46 ×36+7.46×64=7.46×（

16、 36+64）=7.46×100例2运算： 1240× 3.4+1.24× 2300+12.4×430解析： 先把题中的1240,1.24 和 12.4 转化为 124，然后再想有多少个124.解：原式 =124× 34+124× 23+124× 43=124×（ 34+23+43）=124× 100=12400例3运算： 43× 11.8+860× 0.91解析： 将 860 分解成 43×20,43 是两个乘法运算的共同因数，利用乘法安排律使运算简便；解 ： 原 式 =4

17、3×11.8+43×20× 0.91=43×11.8+43×（ 20× 0.91）=43× 11.8+43× 18.2=43×（ 11.8+18.2）=43× 30=1290例4计 算 ： 7.5×2.3+1.9×2.5+12.5× 0.4解析： 7.5 与 2.5 互为补救，将2.3 拆成 1.9+0.4，得 7.5× 1.9+7.5× 0.4，利用乘法安排律使运算简便；解：原式 =7.5×（ 1.9+0.4） +2.5×1

18、.9+12.5×0.4=7.5× 1.9+7.5× 0.4+2.5× 1.9+12.5× 0.4=（ 7.5×1.9+2.5×1.9）+ （7.5×0.4+12.5× 0.4）=1.9×（ 7.5× 2.5）+0.4×（ 7.5+12.5）=27例5运算： 0.16× 9.85+264× 0.0985+72×0.985解析： 先利用积的变化规律，再利用乘法安排律使运算简便；解 ： 原 式 =1.6× 0.985+26.4× 0

19、.985+72×0.985=0.985 ×（ 1.6+26.4+72）=0.985 ×100=98.5巩固练习1.1 52.3×4.8 4.8×31.154.8×21.152.6.3×27+1.9×213.2.4×7.6+6.5× 7.6+0.76+7.64.0.0495× 2500+495× 0.24+51× 4.956.0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.97.15.37×7.88 9.37×7.

20、8815.37×2.128.4.65×32+2.5 ×46.5+0.465× 430第四讲数的整除探究目标 ：1.在把握能被2、3、4、5、7、9、11 等特别数整除特点的基础上，能判定整除，并依据整出性求整数；2.敏捷运用数的整除概念、性质及特点，熟识数的整除的主要问题及其解题方法和技能技巧；探究过程 ：例 1：在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3.、4、5 整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？解析：“第一依据能被5 整除数的特点，确定这个六位数的个位是0 或 5；依据能被 4 整除的数的特点：这个数的未两位数能被

21、4 整除， 确定这个六位数的个位只能 是 0，十位可能是0、2、4、6、8；依据能被3 整除的数的特点：个位上的数字和能被3整除， 5+6+8=19 ，且“这个数尽可能小” ，19+2=21, 21 能被 3 整除就百位上数字与十位上数字和最小为2，所以百位上数字是0，十位上数字是2.解：依据能被3、4、5 整除的数的特点判定，这个数最小是568020；例 2：2002 年 5 月 25 日是星期六， 问在经过2003200320032003 天是星期几？解析：这道题第一考虑2003200320032003 能否被 7 整除，或者被 7 除余数是几；解：200320032003=2003

22、15;100010001=2003×（ 7× 14287143）所以，200320032003 可以被 7 整除，从而可以把3 个 2003 看成一“节”，2004÷ 3=668，共 688 节，每一节能被7 整除， 688 节也可以被7 整除；所以再过2003200320032003 天仍旧是星期六；例 3： 超市里有 6 筐货物，分别重 16、19、20、18、15、31 千克；两顾客买走其中 5 箱货物， 而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的 2 倍， 超市里剩下的那箱货物是多少千克？解析：由“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍”，可知，两个顾客买 走

23、的 5 箱货物总量应是 （1+2）=3 的倍数， 6 箱的总重量是16+19+20+18+15+31=119（千 克） 119+3=392，由于卖出的5 箱货物总量是3 的倍数，所以剩下的那箱货物重量除以 3 应余 2，6 箱中只有29 除以 3 余 2，所以剩下的货物时20 千克；解 ：（ 16+19+20+18+15+31 ）÷（ 1+2） =39220÷3=62答：剩下的那箱货物重量是20 千克；巩固练习1、一个四位数92既有因数2，又是 3 的倍数，同时又能被5 整除；这个四位数最大是多少？2、把 789 连续写几次得到的数，能被9 整除，这个数最小是多少？3、7

24、箱油分别是汽油、柴油、机油，它们的容量分别是12 升、 13 升、 16 升、 17升、 22 升、 27 升和 32 升；现在知道汽油有一箱，而柴油总量是机油的3 倍，但不知哪箱是什么油；请判定出每只箱里装的各是什么油？4、一个五位数，能被3 整除，而且读这个数时必需读出两个零，这样的五位数最小是什么数？5、五年级有72 名同学每人买了一本新华字典；共交书费 43.5元； 首位数字被污迹遮盖；每本新字典多少元？6、植树节那天，同学把55 棵树分给三个班栽，一班分到的棵树是二班的2 倍，三班最少，但也多于10 棵，这三个班各栽树多少棵？第五讲质数与合数探究目标：1. 把握指数，合数的定义；2.

25、 养成精确把握数学概念、区分概念和敏捷运用概念的良好习惯；探究过程：例 1：判定 119 和 227 两个数是质数仍是合数解析：先找一个大于119 且接近 119 的平方数a2，再写出比a 小的全部质数，然后判定 119 能否被这些质数整除；解：由于 119 小于 11, 质数有 2.3.5.7；119 是合数；由于227 小于 16，小于 16 的质数有 2.3.5.7.11.13； 227 不能被 2.3.5.7.11.13 整除所以227 是质数；例 2：a 是一个互质数，而且a+6,a+8 ，a+12,a+14 都是互质数，就a 最小是多少？解析：这道题可从最小的质数试算，a=2 不行

26、能，由于偶 + 偶= 偶数，不是质数；a=3 ，就 a=6=9,9 是合数， 所以 a#3,；a=5, 就 a+6=11,a+8=13.a+12=17 ，a+14=19 ，11、13、 17、19 都是质数，所以a=5 ；解：试算a=2 、a=3 、a=5可 知 a=5答： a 最小是 5.例 3：三个质数的和为38，求这三个质数的乘积最大值是多少？解析：三个质数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2 是偶数，那么三个数中肯定有一个质数是2.另外两个数的和是36，要使乘积尽可能大，那么这两个质数尽可能接近；解： 38=2+17+192×17× 19=646

27、答：这三个质数的乘积最大是646；巩固练习1、判定 437、541 是质数仍是合数？2、n 是质数，并且n+4 、n+6 、n+10 都是质数，求n 最小是多少？3、两个质数的和为50，求这两个质数的乘积最大是多少？4、判定 299 和 461 两个数是质数仍是合数？5、有这样一个质数，它分别加上2、8、14、26 后，得到的仍为质数，这个质数最小是多少？6、将 80 分成 8 个质数的和，要求其中一个质数尽可能大，那么这个最大的质数是多少？第六讲分解质因数探究目标：1. 把握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数；2. 敏捷运用相关学问解答综合问题；探究过程：例 1：长、宽均为自

28、然数，面积为105 的外形不同的长方形共有多少种？ 解析：面积为 105， 105 是长与宽的乘积；可把105 分解质因数，再写成两个自然数相乘的形式；解 ： 105=3×5× 7=1 ×105=3×25=5× 21=7×15答：面积为105 的外形不同的长方形共有4 种；例 :2：用 216 元去买一种拖鞋，正好将钱用完，假如每双拖鞋廉价1 元，就可多买 3 双，钱正好用完，求一共买了多少双拖鞋？解析：依据单价×数量= 总价，可将总价216 元分解质因数，再写成两个数相乘的形式；解 ： 216=2×2×

29、 2× 3× 3×3 216=（3× 3）×（ 2×2×2× 3）= （2× 2× 2）×（ 3×3× 3）=9 ×24=8×27答：一共买了24 双拖鞋；例 3：在 1× 2× 3×4×5×× 200 的末尾连续有多少个零？解析：2×5=10,2 2×52 =100，23×53 =1000在相乘的各个因数中，假如把 它们分解质因数，产生一个2 和一个 5，

30、末尾就会显现一个0，在这一串因数中，含有因数 2 的个数远多于含有因数5 的个数；因此，只需求出乘积中有几个5 的因数，就只有几个零；解：200÷5=40（个） 200÷（ 5× 5） =8（个）200 ÷（ 5× 5× 5） =1（个）7540+8+1=49 （个）答：积的末尾有49 个零；巩固练习1、学校进行大型团体操表演，用180 名同学参与，现在排成每行人数在10 至20 之间，共有几种排法？2、刘聪是个学校生，他对妈妈说：“这才考试（百分制） ，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是5335 分；”你能算出刘聪的名次

31、、年龄与他的考试分数吗？3、1×2× 3× 4××99×100 的末尾有几个0.4、要是 25× 26×27× 28×29×30积的末五位数都是0，里填入的自然是最小是多少？5、把 7、14、20、 21、28、30 这六个数分成两组，每组三个数相乘是它们的积相等，应如何分？6，商店讲积压的圆珠笔降价到每支不足4 角出售， 共卖得 31.93 元，积压的圆珠笔有多少支？第七讲巧用质因数探究目标：1.把握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数；2.敏捷运用相关学问解答综合问题

32、；解题思路：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每一个质数都是这个合数的质 因数；有些数学问题用分解质因数的方法解答，不仅可以简化思路， 有利于问题的解决，而且能够锤炼同学们的思维，拓展同学们的解决思路；探究过程：例 1： 甲、乙、丙三个数的乘积是26250.甲数比乙数大5，乙数比丙数大5.求甲、乙、丙各是多少？解析 ：假如是中同学做这道题，可以列方程组解答，但是学校生怎么做呢？题中告知我们三个数的乘积是26250，这就提示我们尝试用分解质因数的方法分析解答；解：26250=5×5× 5× 5×3×2× 7=（ 5×

33、; 5）×（ 5× 2× 3）×（ 5×7）=25×30×35正好符合题中的要求；所以甲数是35，乙数是30，丙数是25；例 2： 甲、乙两数的乘积是1728，甲数比乙数大12.两个数分别是多少？ 解析 ：由于甲乙两数的乘积是1728，只要把1728 分解质因数即可；解：1728=2×2× 2× 2×2× 2× 3× 3×3=12× 3×12×4=（ 12× 3）×（ 12× 4）知道甲

34、数比乙数大12，所以甲数是12×4=48，乙数是12× 3=36；例 3:144 的因数有多少个？360 的因数有多少个？解析 ：假如是一个比较小的数，我们可以用一一列举的方法找出这个数的全部因数，但是， 144 和 360 这两个数都比较大，因数比较多，要想用一一列举的方法找出它们的全部因数当然比较困难；这就启示我们摸索，仍有没有其他更简便的方法；借助分解质因数地方法，可以更快捷更便利地找出一个数的因数的个数；解：144=2× 2×2×2× 3× 3=24×32所以 144 的因数有 4+1×（ 2+1

35、）=15（个）360=2× 2× 2×3× 3× 5=23×32× 5所以 360 的因数有（ 3+1）×（ 2+1）× 1+1=24 个 例 4： 有 168 颗糖，平均分成如干份，没份不得少于10 颗，也不能多于50 颗，共有多少种不同的分法？解析 ：把 168 分解质因数： 168=2×2× 2× 3× 7；依据每份不得少于10 颗，也不能多于 50 颗得到每份是多少颗，再求出份数；解：每份可以是2×2× 3=12（颗），可以分成168&#

36、247;12=14（份）； 每份可以是2×7=14（颗），可以分成168÷ 14=12（份）；每份仍可以是2×2×7=28（颗），可以分成168÷ 28=6（份）；每份仍可以是3×7=21 （颗），可以分成168÷ 21=8（份）；每份仍可以是2×2×2× 3=24（颗），可以分成168÷24=7（份）； 每份仍可以是2×3×7=42（颗），可以分成168÷ 42=4（份）；答：共有6 种不同的分法；例 5：用 2100 个棱长 1 厘米的正方体堆成一个长

37、方体，它的高是1 分米用长和宽都大于高；它的长和宽各是多少？解析： 用 2100 个棱长 1 厘米的正方体堆成一个长方体，要知道成的长方体究竟有多大，第一要知道长上放几块，由于正方体的棱长是1 厘米，那么放几块就是几厘米；题中告知我们，堆成的长方体的高是1 分米（ 10 厘米） ,所以高上放了10 块，用分解质因数的方法可以求出长和宽上各放了几块；解： 2100=2× 2×5× 5× 3× 7由于，高是1 分米（ 10 厘米） ,长和宽都大于高，所以2100=2× 2×5× 5× 3× 7=15

38、×4× 10即：堆成的长方体是15 厘米，宽是14 厘米；答：它的长是15 厘米，宽是14 厘米；例 6： 把 14， 30，33，35，39，75， 143， 169 这八个数平均分成两组，使每组里4 个数的乘积相等，求这组数；解析： 依据题意可知，这两组数肯定都含相同的因数，因此，可以先把8 个数分别分解质因数，然后再依据这8 个质因数情形进行分组；解： 14=2×739=3× 1330=2× 3×535=3× 5× 533=3×11143=11× 1335=5× 7169=13&

39、#215;13上面 8 个数的质因数共有2 个 2，4 个 3，4 个 5， 2 个 7，2 个 11，4 个 13 ； 根 据 题目要求要将8 个数平均分成两组，要是每组里4 个数的乘积相等，每组4 个数中的质因数就肯定相同；都应当包含1 个 2,2 个 3,2 个 5,1 个 7,1 个 11,2 个 13 ；因此，分成的两组数分别是14,39,75,143 和 30、33、35、169；例 7： 两个数最大公因数是45，最小公倍数是945，（大数不是小数的倍数）求这两个数；解析： 想一想，怎么样求两个数的最大公因数，怎么样求两个数的最小公倍数？求两个数的最大公因数和两个数的最小公倍数都用

40、短除法来做，不同的是，两个数的最大 公因数包含两个数中全部相同分的因数，而两个数的最小公倍数不但包含两个数中全部相同的因数，仍包含各自独有的因数；如：12=2×3× 330=2×3× 512 和 30 相同的因数是2 和 3，除了 2 和 3 外 12 仍有因数2,30 仍有因数5；2 和 30的最大公因数是2×3=6,12 和 30 的最小公倍数是2×3× 2× 5=60；解：由于45=3×3×5,945=3×3×5× 3×7 意知大数不是小数的倍数，所

41、以这两个数分别是3× 3×5×3=135 和 3× 3× 5×7=315；答：这两个数分别是135 和 315；巩固练习1、一个长方体的面积是375 平方米，长比宽多10 米长和宽各是多少米？2、 王老师有一张电影票，这张电影票的排数与座位数的最小公倍数是84，最大公 因数是 3，那么，王老师的电影票是几排几座？3、 小明的哥哥参与了今年中学数学竞赛，小明问哥哥：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”哥哥告知他：“我的的名次和我的年龄及我的分数乘起来是2910，你猜我的成果是多少？”4、 3 月 12 日植树节， 周老师带领同学们排成

42、两路人数相等的纵队去植树，已知周老师植树的棵树与每个同学植树的棵数相等，而且一共值了111 棵树，你知道有多少个同学吗？5、 韩老师带领一班同学去植树，同学恰好分成4 组，他们一共值了539 棵树；假如韩老师和每个同学值的树一样多，那么这个班有多少个同学？每个同学植树多少棵？6、 把一个长25 厘米、 宽 10 厘米、高 4 厘米的长方体木块，锯成如干个小正方体，然后拼成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方米？7、3 个连续的自然数的最小公倍数是2730，这三个数分别是多少个？第八讲因数的个数与因数的和探究目标：1、把握求自然数n 的因数的个数及因数方法.2、运用求自然数和的方法解决问

43、题；探究过程：例 1：200 有多少个因数，全部因数的和是多少？解析： 把 200 分解质因数，在依据求因数的个数和的方法求出200 的因数个数，及全部因数的和；解： 200=23× 52200 的因数个有数有： （ 3+1）×（ 2+1） =12（个）200 的因数和是：（ 1+2+2 2+23）×（ 1+5+52）=15× 31=465答：200 有 12 个因数，全部因数和是465；例 2： 找出 40 一内刚好有6 个因数的全部自然数；解析： 由于 6=1× 6=2×3，依据一个数的质因数的指数与这个因数的个数之间的关系，这样

44、的自然数可以是下面两种形式：（1）a6-1= a5（2）a2-1 × b3-1=a× b2解:6=1× 6=2× 3222× 3 =183× 2 =1222× 5=2022× 7=28再依据 40 以内有 6 个因数的全部自然数是32、18、12、20、28； 答： 40 以内有 6 个因数的全部自然数是32、18、 12、20、28；例 3： 一 个 数是5 个 2，3 个 3,2 个 5，1 个 7 的连乘积，这个两位数因数中最大是几？解析： 这个数是25× 33× 52× 7，最

45、大两位数是是99=32× 11，不是这个数的因数，98=2×72 也不是这个数的因数，96=25×3 是这个数的因束，所以这个数因数中最大是96；解： 25× 33× 52× 725× 3=96答：这个数的两位数因数中最大因是96；巩固练习1、60 与 105 各有几个不同的因数？并分别求出60 和 105 的全部因数之和；2、求不大于200 的只有 15 个因数的全部自然数；3、合数 3570 有很多因数，其中最大的三位数是多少？4、一个数是6 个 2,3 个 3,1 个 5,1 个 7 的连乘积，这个数有很多是两位数，这

46、些两位数的因数中，最大是几.5、求不大于100 只有 6 个不同因数的全部自然数；6、675 的全部因数有多少个？全部因数和是多少？第九讲最大公因数与最小公倍数探究目标：1、娴熟把握求最大公因数的三种方法，及求最小公倍数的方法；2、能运用最大公因数和最小公倍数的学问正确解答有关问题；探究过程：例 1： 把长 132 厘米，宽60 厘米，厚36 厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，据后不许有剩余（损耗不计），能锯成多少块？解析： 要求锯成木料是正方体，木料又不能剩余，这正方体的棱长应是长方体木料的长、宽、高的公因数，有要求正方体要最大，就正方体的棱长应是长方体的长、宽、高的最大公因数

47、；正方体的棱长确定后，可求出锯成正方体的块数；解：（132、60、36） =12（ 132×60×36）÷（ 12×12× 12）=165（块）答：可以锯成165 块；例 2： 周长 24 厘米，宽16 厘米，厚4 厘米的长方体木块，堆成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？解析：讲长方体木块按同样的方向推放，所得的正方体的棱长恰好是小长方体的长、宽、高的整倍数，而要求最小方块数，故最小的正方体棱长应是24、 16 和 4 的最小公倍数；求出长、宽、高可截的块数，在求出至少要用的块数；解:24 、16、4=48（ 48÷24）

48、5;（ 48÷ 16）×（ 48÷4） =72（块） 答：至少要用这样的木块72 块；巩固练习1、把长、宽、高分别是150cm，72cm， 48cm 的长方体木料锯成同样大小，尽可能大的正方体木块，木料不能剩余，可以锯成多少块正方体木料？2、已知两个自然数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求着两个数的和是多少？3、一种电子灯，每到正点和半点都响一次铃，每过9 分钟亮一次灯，假如中午12点时，它既响了铃又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间？4、甲地到乙地原先每隔45 米栽一根电线杆，连通两端共有35 跟电线杆，现在改为每隔 60 米栽一根电线杆；除两端

49、的两根不需移动，中间仍有多少根不要移动？5、有 336 个苹果， 252 个桔子， 210 根香蕉，用这些水果最多可分多少份同样的礼物？这是在每份礼物中，三种水果各有多少个.6、两个自然数的和是50，他们的最大公因数是5，就这两个数的差是多少？第十讲奇数与偶数探究目标：1.正确懂得整数的奇偶性，把握奇数和偶数在运算中具有的一些性质；2、能恰当、敏捷地运用奇数与偶数不同特点解决一些问题；探究过程：例 1： 某市数学竞赛，共 30 道；评分标准是：基础分15 分，答对一道加5 分，不答加一分，答错一题扣1 分；假如有2003 名同学参与竞赛，就全部参赛同学得分总 数是奇数仍是偶数？解析：这道题关键

50、是在与说明每位参赛同学是奇数仍是偶数；对每位同学而言， 假如每题都答对了，就可得15+5×30=165（分）是奇数；假如一题不答就从总分中减去 5-1=4 （分），无论几题不答都是减去4 的倍数；依据“偶数×奇数（偶数）=偶数”无知无论几题不答都是减去偶数，而“奇数 -偶数 =奇数；”同理可知答错一题扣掉5+1=6（分）是偶数，6 的倍数也是偶数，的分是奇数；解： 15+5× 30=165（分）奇数（ 5-1）× n=偶数（5+1）× n= 偶 数又，奇数 -偶数 = 奇数所以每个同学得分是奇数2003 个同学参赛，奇数个奇数相加仍为奇数；答：

51、全部同学的得分是奇数；例 2： 3 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次“翻转”其中的2 个杯子；能否经过如干次“翻转” ，是 3 至儿子全部杯口朝下？解析：每次杯子只有经过1 次、 3 次翻转才能使杯口向下，既每只杯子只有经过奇数次翻转后，才能使杯口朝下；要是3 只杯子都杯口朝下；每次杯子都要翻转奇数次，奇数个奇数的和是奇数，所以3 只杯子翻转的总次数肯定是奇数；而“每次翻转 其中的两只杯子： 就翻转的总次数肯定是2 的倍数， 是偶数， 所以无论经过多少次翻转，都不能使3 只杯子全部杯口朝下；解： 每次杯子要翻转奇数次，3 只杯子翻转的总次数也应是奇数次；每次翻转其中两只杯子，就翻转总次数是偶

52、数次；所以，不能经过如干次翻转，使得3 只杯子全部杯口朝下；例 3： 一串数排成一行，1、1、2、 3、5、8、13、21到这串数的第1000 个数为止，有多少个偶数？解析： 由于这串数的规律是从第三个起每个数都是前两个数的和，第1、2 个数都是技术，依据奇+奇 =偶，奇 +偶=奇的规律可知这串数是按奇、奇、偶、奇、奇偶的规律排的；找特别偶排列的规律，不难算出到第1000 个数止，有多少个偶数；解： 1000÷3=3331答：这串数到第1000 个数为止，有333 个偶数；巩固练习 ：1、某班同学参与学校的数学竞赛，试题共50，评分标准是：答对一题给3 分，不答给 1 分，答错扣1

53、分，该班同学得分的总数是奇数仍是偶数？2、有 11 个杯子杯口朝上放在桌子上，每次将其中8 只杯通知“翻转”使其杯口向下，问能不能经过这样多次”翻转“后，是11 只杯口全部向下？3、一列数， 1、3、4、7、11从第3 个数开头，每个数都是前2 个数的和，求在 2000 个数中，有几个是奇数？4、任意 1994 个连续的自然数，他们的综合是奇数仍是偶数？5、个小伴侣做嬉戏，每一次均有6 个小伴侣向后转，问能不能经过这样如干次的向后转，使全部的小伴侣全部转过身.6、有 100 个自然数，它们的和是偶数，在这100 个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多；求这些树种至多有多少个偶数？第十一讲与棱长有

54、关的运算探究目标：1、 正确懂得长方体和正方体的棱长与总棱长之间的关系；2、能敏捷应用棱长的有关学问来解决生活中的实际问题；探究过程：例 1：王老师要用铁丝做一个长方体教具模型，教具模型的长、宽、高分别是12厘米、 8 厘米、 6 厘米；王老师做这个教具模型至少需要多少厘米的铁丝？解析 1：需要铁丝的长度就是长方体教具模型的总棱长；长方体教具模型有12条棱（ 4 条长、 4 条宽、 4 条高）解：4 条长的总长度：12× 4=48（厘米）4 条宽的总长度：8×4=32（厘米）4 条高的总长度：6×4=24（厘米）12 条棱长的总长度是：48+32+24=104（厘

55、米）解析 2： 需要铁丝的长度就是长方体教具模型的总棱长；长方体教具模型有12 条棱（ 4 条长、 4 条宽、 4 条高）， 12 条棱长的总长度是：长+宽+ 高 × 4解： 12 条棱长的总长度是： （12+8+6 ）× 4=104（厘米）答：王老师做这个教具模型至少需要104 厘米的铁丝；例 2:用 24 个棱长 1 厘米的小正方体摆成外形不同的长方体，可以摆几种？每种长方体的长、宽、高各是多少？解析：这道题主要考查同学们对长方体长、宽、高学问的懂得与把握情形，同时考查同学们的空间想象才能及有序摸索才能；同学们在做题时最好用笔画出草图，借助草图帮忙做题；有条件的同学可以

56、用24 个小正方体实际摆一下，以验证自己的想法；解：用 24 个棱长 1 厘米的小正方体摆成长方体主要有6 种：（1） ）长 24 厘米，宽1 厘米，高1 厘米；（2） ）长 12 厘米，宽2 厘米，高1 厘米；（ 3）长8 厘米，宽2 厘米，高1 厘米；（ 4）长6 厘米，宽4 厘米，高1 厘米（ 5）长6 厘米，宽2 厘米，高2 厘米（ 6）长4 厘米，宽3 厘米，高2 厘米；注： 上面每一种摆法假如转变摆放的状况，都可以摆出另外的长方体，但它们只是长、宽、高互换，整个长方体的外形仍是相同的；例 3：用棱长 1 厘米的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？动手摆一摆看；解析

57、：这道题主要考查同学们的分析才能和空间想象才能；同学们在摸索分析之余，可以实际摆一下，以验证自己的想法；解：由于一个小正方体的边长是1 厘米，要摆成稍大一些的正方体，摆成的正方体的边长至少要是2 厘米；因此，最少需要：2×2×2=8（个） 答：至少需要8 个小正方体 .例 4：一个长 25 厘米、宽12 厘米、高8 厘米的小纸盒，按下图那样的捆绑方式捆绑起来（不计接头） ，一共要用多长的绳子？解析：观看图形（也可以找一个纸盒自己实际捆绑一下）发觉，绳子的长度实际上是纸盒的长度实际上是纸盒的两个侧面与一个前面的长方体的周长之和，所以一共要用绳子的长度是：解：（ 25+8）&#

58、215; 2+（12+8）× 2× 2=146（厘米） 答：一共要用146 厘米长的绳子；巩固练习 ：1 做一个棱长12 厘米的正方体模型，至少需要多少厘米的铁丝？2 做一个长12 厘米、宽8 厘米、高6 厘米的长方体模型，至少需要多少厘米的铁丝？3 摆一个长6 厘米、宽 5 厘米、高 8 厘米的长方体，至少需要多少块棱长1 厘米的小正方体？4 预备用一些长3 厘米，宽 1 厘米，高 1 厘米的小长方体摆成一个比较大的正方体，最少需要这样的小正方体多少块？5 一个长 7 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的木箱，用三个铁丝捆起来，每打结处要用1 厘米的铁丝，那么这三根铁丝总长

59、至少为多少厘米第十二讲与表面积有关的运算探究目标：1、进一步懂得和把握长方体和正方体的表面积运算方法；2、能娴熟的应用表面积的运算方法来敏捷的解决生活中的实际问题；探究过程：例 1：把 2 个相同的正方体拼成1 个长方体，表面积削减了80 平方厘米，原先每个正方体的表面积是多少平方厘米？解析：把 2 个相同的正方体拼成1 个长方体，表面积削减了2 个面，题中告知我们拼成后长方体的表面积比原先2 个正方体的表面积和削减了80 平方厘米，依据这个条件，就可以求出原先正方体1 个面的面积；解：原先正方体每个面的面积是：80÷3=40（平方厘米） 原先每个正方体的表面是是：40×6=240（平方厘米）答：原先每个正方体的表面积是240 平方厘米；例 2：有一个长方体，长是12 厘米，宽是8 厘米，高是6 厘米，把它截成棱长是2厘米的小正方体， 这些小正方体的表面积之和比原先长方体的表面积增加了多少平方厘米？解析： 要知道这些小正方体的表面积比原先长方体的表面积增减了多少平方厘米，第一要算出截之后全部小正方体的表面积之和是多少，用全部小正方体的表面积之和点去原先长方体的表面积，就是