经济数学-函数的微分

1、一、一、微分的定义微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则与微分运算法则五、小结五、小结 思考题思考题第五节第五节 函数的微分函数的微分四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义(differential)1.1.实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数A

2、x .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?

3、2 2. 定义定义.d),(dd,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数.d的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;d)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xy ;)

4、(d)2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxoyy ;d,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当yyA yyd xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(d,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当yyx 3. 可微(differentiable)的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A

5、 ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(d),(,)(xxfyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxy )(d3.32xx 02. 02202. 0

6、23d xxxxxxy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附

7、近在点在点很小时很小时当当 ( geometrical meaning of the differential )三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则xxfyd)(d 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cot(dd11)(a

8、rctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2dd)(ddd)(dd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvuCCuvuvu arc例例2 2解解.d),ln(2yexyx求求设设 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例3解解求函数求函数的微分的微分. .xexy23 因为因为23)(xexy xxexex232223 )23(22xexx 所以所以dxxexdxydyx)23(22 例例4解解求函数求函数的微分的微分. .xx

9、ysin 因为因为sin xxy2sincosxxxx 所以所以dxydy .sincos2dxxxxx )d)(d,),(uufyuufy 是是自自变变量量时时当当对对于于函函数数:)(,)()(的的微微分分为为则则复复合合函函数数都都可可导导及及设设函函数数xgfyxguufy xxgufxyyxd)()(dd ,dd)(uxxg 又又因因为为的的微微分分公公式式也也可可写写成成所所以以复复合合函函数数)(xgfy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 微分形式的不变性微分形式的不变性uufyd)(d 3. 复合函数的

10、微分法则复合函数的微分法则;ddd)(duyyuufyu 或或例例5解解设设),12sin( xy求求.dy设设,sinuy , 12 xu则则)(sinuddy uducos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 注注: :与复合函数求导类似与复合函数求导类似, ,可不写出中间变量可不写出中间变量, ,这样更加直接和方便这样更加直接和方便. .求复合函数的微分也求复合函数的微分也例例6解解设设),1ln(2xey 求求.dy)1ln(2xeddy )1(1122xxede )(11222xdeexx xdxeexx2122 .1222dxexexx

11、例例7解解设设,2sin xey 求求.dy应用微分形式不变性有应用微分形式不变性有xdedyx2sinsin2 dxxexcossin22sin .2sin2sindxxex xxdexsinsin22sin 例例8 8解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)co

12、s4()(sind22xxxxx 例例9解解求由方程求由方程32yxexy 所确定的隐函数所确定的隐函数)(xfy 的微分的微分.dy对方程两边求微分对方程两边求微分, ,得得),2()(3yxdedxy ),()2()(3ydxdxydexy ,32)(2dyydxxdyydxexy 于是于是.322dxyxeyedyxyxy 四、微分在近似计算中的应用, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy .)(0 xxf 00dxxxxyy ;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf 000()()().yf xxf xf xx .)()()(000

13、 xxfxfxxf )(很小时很小时x ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令例例1010.0360coso的近似值的近似值计算计算 .23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx解解?,05. 0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrAA

14、 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 例例1111常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例1212.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .

15、995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 五、小结 思考题微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(d),()(. 100000它是无穷小它是无穷小实际上实际上的定义域是的定义域是它它的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导

16、数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxxfyxfxxf )(limdlim0000 xxxfyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的纵坐标增量的纵坐标增量线方程在点线方程在点处的切处的切在点在点是曲线是曲线而微分而微分处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00dxxxxyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x思考题思考

17、题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 思考题思考题 某家有一机械挂钟, 钟摆的周期为1秒. 在冬季, 摆长缩短了0.01厘米, 这只

18、钟每天大约快多少?,(2为摆长为摆长单摆的周期公式为：单摆的周期公式为：lglT )980,:2scmgcm取单位gllTglTdd,2 可得可得由由解：lglTTll d,时时当当据题设, 摆的周期是1秒, 由此可知摆的原长为于是周期于是周期现摆长的改变量现摆长的改变量,01. 0).()2(2cmlcmg 的改变量为)(0002. 0)01. 0(2)01. 0()2(d22sgggTT 也就是说, 由于摆长缩短了0.01cm, 钟摆的周期便相应缩短了大约0.0002秒, 即每秒约快0.0002秒, 从而每天约快. )(289.176060240002. 0s练练 习习 题题 一一练习题一答案练习题一答案二二、 利利用用微微分分计