高考数学理一轮考点解析：三角函数、平面向量综合题的解答

1、高考数学精品复习资料2019.5专题二专题二三角函数、平面向量综合问题的解答三角函数、平面向量综合问题的解答 对应学生用书对应学生用书 p78p78 考向一考向一三角恒三角恒等变换与化简求值等变换与化简求值(20 xx(20 xx高考湖南卷高考湖南卷) )已知函数已知函数f f( (x x) )sinsinx x6 6 coscosx x3 3 ，g g( (x x) )2 2sinsin2 2x x2 2. .(1)(1)若若是第一象限角是第一象限角，且且f f( () )3 3 3 35 5，求求g g( () )的值；的值；(2)(2)求使求使f f( (x x) )g g( (x x)

2、 )成立的成立的x x的取值集合的取值集合【方法分析】【方法分析】弄清题目条件、解题目标弄清题目条件、解题目标 来源来源:题目条件：题目条件：已知具体函数已知具体函数f f( (x x) )、g g( (x x) )和和f f( () )解题目标：解题目标：求值求值g g( () )；(2)(2)解三角不等式解三角不等式f f( (x x) )g g( (x x) )关系探索：关系探索：条件与目标、已知与未知的转化条件与目标、已知与未知的转化( () )首先化简首先化简f f( (x x) )与与g g( (x x) )( () )f f( () )与与g g( () )是同角关系是同角关系(

3、 () )转化转化f f( (x x) )g g( (x x) )成为简单型成为简单型，sinsinx xa a. .【解题过程】【解题过程】f f( (x x) )sinsinx x6 6 c cososx x3 33 32 2sinsinx x1 12 2coscosx x1 12 2coscosx x3 32 2sinsinx x 3 3sinsinx x，g g( (x x) )2 2sinsin2 2x x2 21 1coscosx x. .(1)(1)由由f f( () )3 3 3 35 5得得 sinsin3 35 5. .又又是第一象限角是第一象限角，所以所以 coscos0

4、.0.从而从而g g( () )1 1coscos1 1 1 1sinsin2 21 14 45 51 15 5. .(2)(2)f f( (x x) )g g( (x x) )等价于等价于3 3sinsinx x1 1 coscosx x，即即3 3sinsinx xcoscosx x1 1，于是于是 sinsinx x6 6 1 12 2，从而从而 2 2k k6 6x x6 62 2k k5 56 6，k kz z，即即 2 2k kx x2 2k k2 23 3，k kz.z.故使故使f f( (x x) )g g( (x x) )成立的成立的x x的取值集合为的取值集合为x x|2

5、2k kx x2 2k k2 23 3，k kz z. .【回归反思】【回归反思】化简化简f f( (x x) )是用差角公式是用差角公式，化简化简g g( (x x) )用降幂公式用降幂公式由由f f( () )求求g g( () )时注意象限符号时注意象限符号化简化简f f( (x x) )g g( (x x) )，用辅助角公式用辅助角公式结合三角函数图象解不等式结合三角函数图象解不等式 sinsinx x6 6 1 12 2. .考向二考向二三角函数图象性质的应用三角函数图象性质的应用(20 xx(20 xx高考四川高考四川卷卷) )函数函数f f( (x x) )6 6coscos2

6、2x x2 2 3 3sinsinx x3(3(0)0)在一个周期内的图象如图所示在一个周期内的图象如图所示，a a为图象的最高点为图象的最高点b b，c c为图象与为图象与x x轴的交点轴的交点，且且abcabc为正三角形为正三角形(1)(1)求求的值及函数的值及函数f f( (x x) )的值域；的值域；(2)(2)若若f f( (x x0 0) )8 8 3 35 5，且且x x0 010103 3，2 23 3 ，求求f f( (x x0 01)1)的值的值【方法分析】【方法分析】题目条件：题目条件：未化简的未化简的f f( (x x) )解析式解析式( (含含) )和图象中的三个关键

7、点和图象中的三个关键点a a、b b、c c. .解题目标：解题目标：待定待定，求求f f( (x x) )的值域的值域给值给值f f( (x x0 0) )，求值求值f f( (x x0 01)1)关系探索：关系探索：(1)(1)f f( (x x) )通过降幂化为通过降幂化为a asinsin( (x x) )型再解型再解abcabc求求f f( (x x) )的解析式的解析式，代代入入f f( (x x0 0) )化简求值化简求值 来源来源:(2)(2)abcabct tf f( (x x) )f f( (x x0 0) )f f( (x x0 01)1)【解题过程】【解题过程】(1)(

8、1)由已知可得由已知可得，f f( (x x) )3 3coscosx x 3 3sinsinx x2 2 3 3sinsinx x3 3 . .又正三角形又正三角形abcabc的高为的高为 2 2 3 3，从而从而bcbc4.4.所以函数所以函数f f( (x x) )的周期的周期t t4 42 28 8，即即2 28 8，4 4. .函数函数f f( (x x) )的值域为的值域为 2 2 3 3，2 2 3 3 (2)(2)因为因为f f( (x x0 0) )8 8 3 35 5，由由(1)(1)有有f f( (x x0 0) )2 2 3 3sinsinx x0 04 43 3 8

9、8 3 35 5，即即 sinsinx x0 04 43 3 4 45 5. .由由x x0 010103 3，2 23 3 ，知知x x0 04 43 32 2，2 2 . .所以所以 coscosx x0 04 43 3 1 14 45 52 23 35 5. .故故f f( (x x0 01)1)2 2 3 3sinsinx x0 04 44 43 32 2 3 3sinsinx x0 04 43 3 4 42 2 3 3sinsinx x0 04 43 3 coscos4 4coscosx x0 04 43 3 sinsin4 42 2 3 34 45 52 22 23 35 52 2

10、2 2 7 7 6 65 5. .【回归反思【回归反思】(1)(1)求求f f( (x x) )a asinsin( (x x) )的值域时的值域时，要注意要注意x x的范围的范围(2)(2)中有技巧中有技巧： 整体代换整体代换， 切不可切不可求求x x0 0的值的值 而是整体而是整体求求 sisin n4 4x x0 03 3 及及 coscos4 4x x0 03 3 . .并注意并注意4 4x x0 03 32 2，2 2 ，否则易增解否则易增解考向三考向三三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形(20 xx(20 xx高考四川卷高考四川卷) )在在abcabc中中，角角a a，b

11、b，c c的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，且且 coscos( (a ab b) )coscosb bsinsin( (a ab b) )sinsin( (a ac c) )3 35 5. .(1)(1)求求 sinsina a的值；的值；(2)(2)若若a a4 4 2 2，b b5 5，求向量求向量baba在在bcbc方向上的投影方向上的投影【方法分析】【方法分析】题目条件：题目条件：已知三角等式已知三角等式，其中含有角其中含有角a a，b b，c c及正弦、余弦及正弦、余弦解题目标：解题目标：(1)(1)求求 sinsina a；(2)(2)在在abcabc中中，baba

12、在在bcbc上投影上投影关系探关系探究：究：(1)(1)由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得a ac cb b，即即 sinsin( (a ac c) )sinsinb b，然后利用然后利用两角和的余弦公式求得两角和的余弦公式求得 coscosa a. .(2)(2)借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解【解题过程】【解题过程】(1)(1)由由 coscos( (a ab b) )coscosb bsinsin( (a ab b) )sinsin( (a ac c) )3 35 5，得得 coscos( (a ab b) )coscosb

13、bsinsin( (a ab b) )sinsinb b3 35 5，则则 coscos( (a ab bb b) )3 35 5，即即 coscosa a3 35 5. .又又 0 0a a，则则 sinsina a4 45 5. .(2)(2)由正弦定理由正弦定理，有有a asinsina ab bsinsinb b，所以所以 sinsinb bb bsinsina aa a2 22 2. . 来源来源:由题意知由题意知a ab b，则则a ab b，故故b b4 4. .根据余弦定理根据余弦定理，有有(4(4 2 2) )2 25 52 2c c2 22 25 5c c3 35 5 ，解

14、得解得c c1 1 或或c c7(7(负值舍去负值舍去) )故向量故向量baba在在bcbc方向上的投影方向上的投影为为| |baba|cos|cosb b2 22 2. .【回归反思】【回归反思】题目题目条件中含有条件中含有 3 3 个角个角a a，b b，c c，一般需要一般需要a ac cb b转化转化由正弦定理求由正弦定理求b b角时角时，必须判定解的个数必须判定解的个数，即即b b3 34 4. .考向四考向四平面向量与三角函数性质综合平面向量与三角函数性质综合(20 xx(20 xx高考辽宁卷高考辽宁卷) )设向量设向量a a( ( 3 3sinsinx x，sinsinx x)

15、)，b b( (coscosx x，sinsinx x) )，x x0 0，2 2 . .(1)(1)若若| |a a| | |b b| |，求求x x的值；的值； 来源来源:(2)(2)设函数设函数f f( (x x) )a ab b，求求f f( (x x) )的最大值的最大值【方法分析】【方法分析】题目条件：题目条件：前提前提a a与与b b的坐标用的坐标用x x的正、余弦表示的正、余弦表示(1)|(1)|a a| | |b b| |；(2)(2)f f( (x x) )a ab b. .解题目标：解题目标：(1)(1)求角求角x x；(2)(2)f f( (x x) )maxmax.

16、.关系探究：关系探究：已知与未知转化：已知与未知转化：由由| |a a| | |b b| |转化为含转化为含x x的三角方程的三角方程由由a ab b转化为含转化为含x x的一角一函数型的一角一函数型【解题过【解题过程】程】(1)(1)由由| |a a| |2 2( ( 3 3sinsinx x) )2 2sinsin2 2x x4 4sinsin2 2x x，| |b b| |2 2coscos2 2x xsinsin2 2x x1 1，及及| |a a| | |b b| |，得得 4 4sinsin2 2x x1.1.又又x x0 0，2 2 ，从而从而 sinsinx x1 12 2，所

17、以所以x x6 6. .(2)(2)f f( (x x) )a ab b 3 3sinsinx xcoscosx xsinsin2 2x x3 32 2sinsin 2 2x x1 12 2coscos 2 2x x1 12 2sinsin2 2x x6 6 1 12 2，当当x x3 30 0，2 2 时时，sinsin2 2x x6 6 取最大值取最大值 1.1.所以所以f f( (x x) )的最大值为的最大值为3 32 2. .【回归反思】【回归反思】由由 sinsinx x1 12 2得得x x时时，必须注意必须注意x x0 0，2 2 ，否则易错否则易错求求f f( (x x) )

18、最大值时最大值时，不要忽略后面的常数不要忽略后面的常数1 12 2，即最大值为即最大值为 1 11 12 2. . 对应学生用书对应学生用书 p79p79 来源来源:1 1(20 xx(20 xx高考湖南卷高考湖南卷) )已知已知a a，b b是单位向量是单位向量，a ab b0.0.若向量若向量c c满足满足| |c ca ab b| |1 1，则则| |c c| |的最大值为的最大值为( () )a.a. 2 21 1b.b. 2 2c.c. 2 21 1d.d. 2 22 2解析：解析：将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解a a

19、，b b是单位向量是单位向量，| |a a| | |b b| |1.1.又又a ab b0 0，a ab b，| |a ab b| | 2 2. .| |c ca ab b| |2 2c c2 22 2c c( (a ab b) )2 2a ab ba a2 2b b2 21.1.c c2 22 2c c( (a ab b) )1 10.0.2 2c c( (a ab b) )c c2 21.1.c c2 21 12|2|c c|a ab b| |coscos( (是是c c与与a ab b的夹角的夹角) )c c2 21 12 2 2 2| |c c| |coscos2 2 2 2| |c

20、c|.|.c c2 22 2 2 2| |c c| |1 10.0. 2 21 1| |c c| | 2 21.1.| |c c| |的最大值为的最大值为 2 21.1.2 2(20 xx(20 xx高考重庆卷高考重庆卷) )在在oaoa为边为边，o ob b为对角线的矩形中为对角线的矩形中，oaoa( (3 3，1 1) )，obob( (2 2，k k) )，则实数则实数k k_解析：解析：画出矩形草图画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解利用向量加减运算及数量积运算直接求解如图所示如图所示，由于由于oaoa( (3 3，1 1) )，obob( (2 2，k k) )，所以所以ababoboboaoa(1(1，k k1)1)在矩形在矩形中中，由由oaoaabab得得oaoaabab0 0，所以所以( (3 3，1 1) )(1(1，k k1)1)0 0，即即3 31 11 1( (k k1)1)0 0，解解得得k k4.4.答案：答案：4 43 3(20 xx(20 xx高考陕西卷高考陕西卷) )已知向量已知向量a acosc