立体几何解题策略探讨研究

1、立体几何解题策略探讨研究【摘要】数学的解题教学是整个数学教学过程的重要组成部分，它 是数学的概念教学、命题教学的继续与深化，它的优劣会直接影响学生的 数学学习，特别在理解概念、获取技能、掌握方法、培养能力等诸方面所 起到的作用尤为突出怎样开展解题教学、如何上好解题示范课，如何提 高学生的数学思维能力是教师共同的话题笔者试图通过自己的实践，以 “平面的斜线与平面所成角”的习题课为例，阐述了解题策略的重要性.【关键词】策略；线面角笔者主要从两个环节去提高学生的解题策略，第一个环节是分析课前 布置的习题，即文中例1,在学生充分思考的基础上，各抒己见，并归纳 出冇代表性的解法；第二个坏节是在例1的基础

2、上，有选择地应用例1归 纳的方法解决例2.环节一例题研析，探寻本质例1 （2010年浙江省文科样卷19题）如图1,四棱锥p-abcd的底面 abcd是正方形，pa丄底面abcd, e, f分别是ac, pb的中点.（i ）证明：ef平面pcd；（第（i ）小题解法略）（ii ）若pa=ab,求直线ef与平面pac所成角的大小.图1图2图3图4 策略1：垂面法策略【生】如图2所示，因为平面pac丄平面abcd,故将平面abcd向上 “平移”至过点f,即取pc, pd, pa的中点分别为g, h, k,易得平面pac 丄平面kfgh.由面面垂直性质定理，过f作fm丄kg于m,即得fm丄平面 pac

3、.简解:如图2, zfem即为直线ef与平面pac所成的角,sinzfem二 fm fe 二 fm 1 2 pd 二 2 2 kii 1 2 pd 二 1 2 ,故直线 ef 与平面pac所成的角为ji 6【师】依定义，求出斜线1与平面a所成的角,需过斜线1上斜足以 外的一点卩向平面引垂线p0,因此，确定垂足0的位置是关键所谓垂面 法策略，是指找到辅助平面0,满足peg, b丄a的方法，体现了转化 和化归的思想.利用垂面法策略找线面垂直是解决斜线和平面所成角问题的有效方 法但某些时候，满足条件的垂面也未必好找，因此，解题仍可能陷入“僵 局”策略2：等角转化策略【生】本题中，我是利用efpd证明

4、第（i ）小题，故可以考虑将 所求角转化为直线pd与平面pac所成的角，将过f点作平面pac垂线的 问题转化为过d点作平面pac的垂线问题，而且，后者更容易操作.简解：如图3,连接pe, de,易证de丄平面pac,则所求角等于zdpe, sinzdpe二ed pd = 1 2 ,所以直线ef与平|fi| pac所成的角为乳6【师】某些问题中，按部就班地根据条件求斜线和平面所成的角可能会比较困难，线面垂直的垂足较难找所谓等角转化策略，就是利用题冃 中已有的一些平行等条件进行等和转换，将不直观的角转化成直观且易研 究的角，体现了数形结合和转化化归的思想.以下说明两个引理（证明略）.引理1：若直线

5、0直线b,则a与平面a所成角等于b与平面a所成引理2：若平面a平面b,则直线a与平面a所成角等于直线a与 平面b所成角.利用等角转化策略的关键是找到合适的平行关系，转化的原则是把不 直观的角转化为直观、易求的角，从而实现问题从复朵到简单的转化.策略3：距离法策略【生】如图1,只需求出点f到平面pac的距离d,所求角的正弦值 即为d ef .简解1：点f为pb中点，故点f到平面pac的距离为点b到平面pac 的距离的12,即b到平面pac的距离为2d,设pa二ab二bc二1,由 vb-pac=vp-abc,得d二2 4 ,故所求角的正弦值为d ef = 1 2 ,所求直 线与平面所成角为“ 6简

6、解2：如图4,连接be,易证be丄平面pac,则b到平面pac的距 离为2 2 ,故点f到平面pac的距离为2 4 ,以下同解1.【师】策略1、2都需要找到斜线与平面所成角，即必须作出相应的 直线和平面垂直的垂线所谓距离法策略，就是利用斜线上斜足以外的一 点到平面的距离，在不直接作出直线和平面所成角的情况下，间接地求出 所求角的某一个三角函数值该方法若能使用得当，也会使问题大为简化.利用距离法策略的关键是求出点到平面的距离求距离常用的方法主 耍有体积法和原离转化法，这两种方法有时要交替使用距离法策略是无 法找到直线和平面所成角时的有效方法.【师】同学们想一想，本题冇没冇更新颖的解法？策略4：对

7、称策略【生】本题涉及的图形关于平面pac对称（如图2）,点f关于平面 pac的对称点为pd的中点ii,因此zfeii为所求角的2倍.简解：由计算可得，afeh为正三角形，所以所求直线与平面所成角 为n 6【师】策略1与策略2都要作出直线与平面所成角，策略3可以做到 不作角而求出角，策略4更从图形的整体特征考虑显得尤其方便，但是思 维要求更高.以后对于类似的问题，上述方法我们要有选择地加以应用，下面给出 例2,看你选择哪个策略來解决.环节二高考再现，以题论道例2 （2010年浙江省文科卷20题）如图5,在abcd中，ab=2bc, z abc二2 ji 3 , e为线段ab的中点，将zsade沿

8、直线de翻折成de, 使平面a' de丄平面bcd, f为线段a' c的中点.（i ）求证：bf平面a' de；（第（i ）小题解法略）（id设m为线段de的中点，求直线fm与平面a，de所成角的余弦 值.图5图6图7图8 此题的关键是过f点作平面a，de的垂线，难度较大.【生1】由题知，平面a' de丄平面abcd,故可考虑将平面abcd向上 “平移”至过点f.如图6,取a' d, a' e的中点分别为g, h,连接gh,hf, gf,易得平面gfh丄平面a' de.只需过f作出gh的垂线，便是所探 求的线面垂直.简解 1： 设 ab二

9、2ad二2,则 gh= 1 2 , gf=1, hf= 1 2 ec= 3 bc 2 = 32 ,故hf丄gh,所以fh丄平面a，de, zfmh为所求角，coszfmh二hmfm =1 2 .【生2】如图7,取dc屮点n,连接fn, nb,则由平面fnb平面a' de,可将所求角转化为直线mf与平面fnb所成角.简解2：因为平面a' de丄平面abcd,且平面fnb平面a' de,所以 平面 fnb丄平面 abcd.由 dn二 1, dm二 1 2 , zedc二 n 3 ,则 mn丄de, mn 丄nb, mn丄平面f7b,直线mf与平面f7b所成角即为zmfn,

10、coszmfn= 1 2【生3】木题的关键是求出点f到平面a，de的距离及mf的长度，故 可以考虑距离法策略来解决将点f到平面a' de的距离转化为点c到平 面a' de的距离（如图8）.简解3：设点f到平面a' de的距离为d,则点c到平面de的距 离为2d.如图8,连接ce,可以证明ce丄de,进而ce丄面a' de, 2d二ce二3 , *32 连接 a' m 和 cm,则 mf二 1 2 a' c.a' m二 3 2 , cm二 13 2 , a' c=2,所以mf二,因此所求角的余弦值为1 2 .说明：点c到平面n de

11、的距离也可以用体积法來求，即可由va，-cde=vc-a7 de 求得.【师】应用策略4能不能解决木题？答案是肯定的请同学们课后去 思考.本堂课学生学习积极性空前高涨，思维活跃，发言踊跃，达到了解题 示范课的效果.教学建议及感悟“平面的斜线与平面所成的角”是立体几何中的一个重点和难点，有 些学生虽然课后也做了不少相关习题，但一遇上略有变化或稍有难度的问 题，就束手无策、无所适从，解题能力显得薄弱，究其原因错综复杂,但 其中带教老师的解题示范存在欠缺也不是没有可能因此，施行“授人以 渔”式的教学已刻不容缓.数学解题示范课是课堂教学中师生最能互动的课型，要使它变得优 质，除了学生的因素外，愚以为教师还须做好如下四点：（1）课前：构思 精到，程序合理；（2）课内：多点倾听，少点替代；（3）课后：及时检测, 不忘反思；（4）策略：一题多解，回归通法.总z,高中数学的解题策略对于学生来讲是非常重要的，教师在教学 中不能轻视，而教学中如何让学生掌握策略性知识显得尤为重要，教师应 该始终坚持新课程理念，让学生成为学习的主人，教师所发现的各种策略 性知识，在教学屮切不要直接告知，要慢慢渗透，让学生亲身经历，感悟, 体验解题的快乐以及成功喜悦