(完整版)1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数及其应用导数及其应用基本初等函数的导数公式:1( ),( )f xcfx、若则 2( ),( )nf xxfx、若则 3( )sin,( )f xxfx、若则 4( )cos,( )f xxfx、若则 01nn xcosxsin x5( ),( )xf xafx、若则 6( ),( )xf xefx、若则 7( )log,( )xaf xfx、若则 8( )ln,( )f xxfx、若则 lnxaaxe1lnxa1x常函数幂函数三角函数指数函数对数函数55323.1(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)( ) 1(5)( ) (6)

2、( )3 1(7)( )3 (8)( ) 2(9)( )log xxxf xxf xxf xxf xxf xf xxxf xf xf xx例 用导数公式求下列函数的导数 (10)( )lg f xx导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的

3、导数 ,再除以第二个函数的平方.即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x gxg xg xg x由由法则法则2:( ) ( )( )( )c f xc f xc fxc fx0 x)()(xvxuxy证明：令证明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy .)()()()(vuxvxxvxuxxu.xvxuxy即即 ).()()()(xvxuxvxu ).()()()(xvxuxvxu 法则法则1法则2 .)(vuvuuv证明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy ),()()(

4、)()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu .)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy xy0 x )()(xvxxv ).()()()(xvxuxvxu 即： vuvuuvy )(若c为常数， .)(uccu )0()(2vvvuvuvu, 0 x法则3)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxxvxxvxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuxy)()()()()(2xvxvxuxvxuxy即：)0()(2vvvuvuvu法则1:可以推广到有限个可导函数的和的情形,即.)(2

5、121nnuuuuuu 例 1求函数的导数.3sin12 xxyx解)3sin12( xxyx)3()(sin)1()2( xxx. .c co os sl ln nx xx xx x+1+22=2例 2设 求解根据乘法法则，有),11)(1()(22xxxf ).1(f )11)(1()11()1()(2222 xxxxxf3222)1()11(2xxxx 322xx 所以. 4)1( f还有其它方法么？解根据除法法则，有2)()()()(xaxaxaxaxay 例3 设函数 ,xaxay 求 y . 2)()()(xaxaxa .)(22xaa 还有其它方法么？例4:求下列函数的导数:32

6、2224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用.233sin)3(f，处的切线斜率为故曲线在点23)21,3(p. 033123yx即 求在曲线y=cosx上点p( ) 的切线的直线方程.21,3 例5),3(2321xy所求的直线方程为,sin)(,cos)(xxfxxf解：题型二：利用导数求函数的切线方程应用 若直

7、线y=4x+b是函数y=x2图象的切线,求b以及切点坐标.),4, 2(即切点坐标例6),(:00yxp设切点解xxxf2)()(2, 2, 4200 xx4220 y上线由题意得此切点也在直bxy 44,244bb（1）若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点p(x0,y0),则有:由,得3x0+1=ax03,所以a(-1/2)2=1,即:a=4例7y0=3x0+1, y0=ax03, 3ax02=3. 由得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0, x0=1/2.(2) 曲线y=x2的一条切线方程为6x-y-9=0,求切点的

8、坐标.处的切线方程求曲线在点）已和（2,log32xxy(3,9)2(2ln2221xy212ln12ln22xy即题型三：导数的综合应用题型三：导数的综合应用例3.已知曲线s1:y=x2与s2:y=-(x-2)2,若直线l与s1,s2均 相切,求l的方程.解:设l与s1相切于p(x1,x12),l与s2相切于q(x2,-(x2-2)2).对于 则与s1相切于p点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,2,1xys 对于 与s2相切于q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xys因为

9、两切线重合,.02204) 2( 222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.0001205%( )(15%) .0110.0tpp tpptp例 ：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）0( )1.05ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以

10、0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0( )1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 3:5284(80100).100 xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%; (2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284 (100)5284 (100)( )100(100)xxc xxx=(25284(100)x20 (100)5284 (