2025北京十四中高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京十四中高三（上）期中数学2025.11班级：______姓名：______出题人：高三备课组审核人：高三备课组注意事项1．本试卷共6页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用28铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则（）A. B. C. D.且2.若复数z满足，则（）A.1 B.5 C.7 D.253.已知，则（）A. B. C. D.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.25.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A. B.C. D.6.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若实数满足，则（）A. B. C. D.8.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值29.已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：①对任意的，都有；②数列可能为常数列；③若，则当时，；④若，则数列为递减数列．其中正确结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)12.设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为__________.13.抛物线的准线l的方程为__________．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为__________．14.已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为______．15.已知函数，给出下列四个结论：①函数的图象关于原点中心对称；②存在，使得；③函数的图象与函数的图象没有公共点；④函数极值点个数为3．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求二面角的余弦值．17.已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.（1）求函数的解析式：（2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.18.在中，.（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值.19.已知椭圆经过点．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．20.已知函数.（1）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.21.已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案ABACCCDDDC第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.【答案】二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故答案为：6012.【答案】设等比数列的公比为，因为等比数列的前项和为，、、成等差数列，所以，则，因此，所以，解得或.故答案为：3或.13.【答案】抛物线即的准线l的方程为；l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大，设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得.∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为.故答案为：；.14.【答案】由向量，存在实数x，使得与的方向相同，则，即，可得，所以，则,取.故答案为：15.【答案】对于①：定义域为，对，，所以是偶函数，关于轴对称，①错误；对于②：令，，由零点存在性定理，，，即，②正确；对于③：令，因为，所以当时，，即函数的图象在函数的图象上方；当时，，即函数的图象在函数的图象下方；所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③正确；对于④：，令，当时，因为，所以在单调递增，又，所以，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取得极小值，是一个极小值点.当时，，所以在单调递减，又，所以，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，是一个极大值点.又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点，所以函数至少有个极值点，④错误；故答案为：②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）证明：因为E为AC中点，G为B1C中点．所以EG∥AB1．又因为EG⊄平面AB1D，AB1⊂平面AB1D，所以EG∥平面AB1D．（2）证明：取B1C1的中点D1，连接DD1．显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）．所以，，．又因为，，所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．又因为DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．（3）解：显然平面B1CB的一个法向量为=（1，0，0）．设平面AB1C的一个法向量为：=（x，y，z），又，，由得设x=1，则，，则．所以．设二面角A-B1C-B的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以．17.【答案】（1）选条件①②：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，.所以.选条件①③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，.所以.选条件②③：因为，，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，.所以.（2）由题意得.函数的单调递减区间为.由，得.因为函数在区间上单调递减，且，此时.所以，所以的最大值是.18.【答案】（1）因为，所以.因为，所以.所以.（2）因为，由正弦定理得，所以.因为的面积为，即，所以所以.19.【答案】（1）解：由椭圆经过点，可得，即，解得，所以椭圆的方程为，又由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率为.（2）解：联立方程组，整理得，设，则且，又由椭圆的左顶点为，则直线的方程为，令，可得，即，所以直线的斜率为，且，所以直线的方程为，令，则，所以直线恒过定点.20.【答案】（1）当时，（ⅰ），又，所以切线方程为.（ⅱ），，因为，所以,所以，所以所以在单调递增，所以；（2），当时，所以，,由（1）知，，所以在上单调递增.所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增.所以在单调递增.所以，.所以使得.所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增.故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.21.【答案】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若