2025北京十五中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京十五中初三12月月考数学（时间:120分钟）本试卷共两部分，共28道题，满分100分．考试时间120分钟．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.二次函数的图象的对称轴是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（）A. B. C. D.无法确定4.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A. B. C. D.5.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（）A. B.C. D.6.如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（

）A. B. C. D.7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率(精确到)下列说法正确的是（）A.若移植100棵幼树，成活数一定为90棵B.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为C.移植的幼树越多，成活率越高D.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵8.在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中：①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值；②若时，随的增大而减小，则必有；③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或；④若方程有一根为，且，则必有．所有正确结论的序号是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.①②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．10.圆心角是的扇形的半径为12，则这个扇形的面积为______．11.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________．12.已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式__________．13.如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．14.如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为___________．15.如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为______．16.如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为__________．三、解答题（共68分，其中第17、19、20、21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27、28题每题7分）17.解方程：x2+4x﹣1=0．18.下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．作法：①连接；②以为直径作，交于点A，B；③作直线；则直线即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：是的直径，（___________________________）（填推理依据）．．又是是半径，是的切线（________________________）（填推理依据）．同理，是的切线．19.已知二次函数．（1）将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围．20.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，交于点F．若，求的长．21.已知关于的一元二次方程：．（1）判断该方程的根的情况，并说明理由；（2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围．22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．23.2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组．（1）小东被分配到组是事件(填“必然”，“随机”或“不可能”)；小东被分配到组的概率是．（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．24.如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为3，，求的长．25.通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值：（）（）（1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系；（2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为．①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由；②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围．26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为．（1）求的值，并用含的式子表示；（2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点．①求点的横坐标；②过点作轴的垂线，交抛物线于点（M不与B，C重合），连接，．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围．27.在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．（1）如图1，，点与点重合，①依题意补全图形；②求证：；（2）如图2，点在的延长线上，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，已知的半径为1，点A的坐标为．点B是上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线上，且，则称点P是点A关于的2倍关联点．（1）若点P是点A关于的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为______；（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，．点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，求D点的坐标；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段上存在点A关于的2倍关联点，直接写出b的取值范围．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案BAACACBA第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．10.【答案】解：由题意，圆心角，半径，代入公式得扇形的面积．故答案为：．11.【答案】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：5．12.【答案】解：设二次函数解析式为．∵二次函数有最小值，∴．∵图象经过点，∴当时，，即．取，，则解析式为．故答案为：（答案不唯一）．13.【答案】解：∵是的直径，，∵与对应同一段弧，，，∴，∴．故答案为：．14.【答案】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，故答案为：．15.【答案】解：，，是的切线，，的周长为：，故答案为：12．16.【答案】解：连接、，过点作于点，如图，，，在中，，，，在中，，，，，，，，在中，，（当且仅当、、共线时取等号），的最大值为．故答案为：．三、解答题（共68分，其中第17、19、20、21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27、28题每题7分）17.【答案】方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．18.【答案】（1）解：（1）如图所示；（2）完成下面的证明：证明：是的直径，（直径所对的圆周角是直角），．又是的半径，是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线），同理，是的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．19.【答案】（1）解：；（2）解：列表：x…01234…y…3003…图象如图（3）解：由图象可得，当时，．20.【答案】解：∵在中，，，∴，∵将绕点顺时针旋转得到，且，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在中，．21.【答案】（1）解：根据题意，得，∵，∴，∴原方程有两个实数根，当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根．（2）解：原方程可化为，解得：；由方程有一个根小于3，．22.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半径是．23.【答案】（1）解：由题意得，小东被分配到组是随机事件．小东被分配到组的概率是．故答案为：随机；．（2）解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种，小东和小北被分配到同一组的概率为．24.【答案】（1）证明：如图，连接，∵是的直径，．在中，点P为的中点，，，，，，，，，，∴是的切线．（2）解：，且，，，，，，，，，，在中，，．25.【答案】（1）解：∵时，；时，，∴二次函数的对称轴为直线，∴二次函数的顶点坐标为，∴，把代入得，，解得，∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为；（2）解：①患者存在中毒风险，理由如下：∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，∴血药总浓度，∴，∵，∴当时，有最大值为，∵，∴存在中毒风险；②由①知，当时，存在中毒风险，当时，，此时，当时，有最大值为，刚好中毒，∴，当时，解得，，∵，∴当时，随的增大而减小，∵，∴，综上，的取值范围为．26.【答案】（1）解：∵抛物线经过点，与轴的交点为，；（2）解：①∵直线与抛物线交于两点，解得，∵点B是右侧交点，∴点B的横坐标为7；②当时，设过点作轴的垂线，交直线于点，∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点N，，，∴当时，，设为底边的高，为底边的高，则点B的横坐标的值，∴的面积，∵，∴，∵由题意得，，∴关于的面积的二次函数开口向下，∴当时，关于的面积的二次函数随t变大，，，；当时，如图，假设点B在x轴上，由图象可知，x轴上方的面积为定值，x轴下方的面积也在随点从点运动到点过程中增大，∴的面积一直随OP的长的增大而增大，综上，或．27.【答案】（1）①解：所作图形如图所示：②证明：连接，如图所示，由题意可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：，证明如下：如图，在上取一点G，使得，连接，∵，即，∴，∴，，由旋转的性质可知：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴．28.【答案】（1）解：∵，点B是上的一个动点，，点P在x轴上，∴点，，∴，∴点，故答案为：；（2）解：根据题干画出简图并过点作，在直线l上找一点D，作轴于点，∵，∴，∵，∴，∴，∵点D在直线l上，且点D是点A关于的2倍关联点，∴，∴，，∴，∴，根据对称性，点，综上所述，点坐标为；（3）解：根据题意点B是上的一个动点（点B不与点A重合），延长到点，使得，取