二面角(教师版)

1、二面角的求法一、基本观点(一).求二面角的主要方法：（1） 定义法：找（作）二面角的平面角；【先证】解三角形求出角。 【后算】（2） 公式法：设二面角的度数为，则多用于求无棱二面角。(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角

2、为二面角的平面角. 二、求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题解析题3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。解: ()记AC与BD的交点为O,连接OE, O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE。平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE。()在平面AFD中过A作A

3、SDF于S，连结BS，ABAF， ABAD， AB平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSDF。BSA是二面角ADFB的平面角。在RtASB中，二面角ADFB的大小为60º。（）设CP=t（0t2）,作PQAB于Q，则PQAD，PQAB，PQAF，PQ平面ABF，平面ABF，PQQF。在RtPQF中，FPQ=60º，PF=2PQ。PAQ为等腰直角三角形，又PAF为直角三角形，所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。题5. 如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直， （I）求异面直线AD、BC所成的角。 （II）设P是线段AB上的动

4、点，问P、B两点间的距离多少时,与所在平面成的二面角?； 解：（I） 异面直线AD、BC所成角为。4分 （II）过点P作于E，过点E作于F，连结PF。 。 设，则在中， 在中， 在中，题6.四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，CDEAB（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小的余弦值解：（1）取中点，连接交于点，18题图又面面，面，即，面，（2）在面内过点作的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角的平面角，则，题8. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD

5、和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值.解: （）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60°知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理

6、得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值是题12.如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，°，面ABCD，SAAB，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值解：延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线.又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS，所以是所求二面角的平面角 10分即所求二面角的正切值为 题13. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形

7、，SA底面ABCD，点E是SC上任意一点.（）求证：平面EBD平面SAC；（）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°。解法一：证明（）：ABCD是正方形，BDAC, SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，SABD，SAÇAC=A，BD面SAC，又BDÌ面EBD，平面EBD平面SAC4分解（）：由（）知，BD面SAC，又BDÌ面SBD，平面SBD平面SAC，设ACBD=O，则平面SBD平面SAC=SO，过A作AFSO交SO于点F,则AF面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距

8、离.ABCD是正方形，AB=2，AO=，又SA=4，SAO是Rt，SO=，SO×AF=SA×AO，AF=，点A到平面SBD的距离为9分解（）：作BMSC于M，连结DM，SA底面ABCD，AB=AD，SB=SD，又CBAB，CDAD，CBSB，CDSD，SBCSDC，DMSC，BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.11分要使BMD=120°,只须，即BM2=，而BD2=2AB2，BM2=AB2，BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，BM2×SC2=SB2×BC2，AB2(SB2+BC2)= SB2×

9、;BC2，AB=BC，2SB2+2AB2=3SB2，SB2=2AB2，又AB2=SB2-SA2，AB2=SA2， 故当时，二面角B-SC-D的大小为12014分题14. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中，（）求直线PC与平面PAD所成的角；（）求二面角A-PB-C的大小。I）取AD中点O，连结OP、OC，由已知易知，ABCO为正方形，OCAO，又平面PAD平面ABCD，OC平面PAD，于是CPO为直线PC与平面PAD所成的角。3分OP是等腰三角形底边上的中线，PA=2，OA=，则OP=，又OC=AB=，CPO=45°，即直线PC与平面P

10、AD所成的角为45°。6分 （II）由（I）知，OPAD，则OP平面ABCD，又BCOC，ABOA，BCPC，ABPA，BC=AB，PB=PB，RtPCBPAB。作CEPB，垂足为E，连结AE，则AEPB，AEC为二面角APBC的平面角。9分在RtPCB中，故二面角APBC的大小为120°。12分题15. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成角的余弦值；（）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思

11、维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方案一：（）证明：PA面ABCD,CDAD,得：CDPD.因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,CD面PAD.又CD面PCD,面PAD面PCD.（）解：过点B作BE/CA,且BE=CA,则PBE是AC与PB所成的角.连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=,PB=, （）解：作ANCM,垂足为N,连结BN.在RtPAB中,AM=MB,又AC=CB,AMCBMC,BNCM,故ANB为所求二面角的平面角.CBAC

12、,得CBPC,在RtPCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,AN·MC=,. AB=2,故所求的二面角的余弦值为题17、ABCEDP补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值

13、。分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解: （）延长AD、BE相交于点F，连结PF.ABCEDPFGH过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以

14、，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是题18、已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1底面ABC。（1）求证：AC1BC；（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为45O）A1D1B1C1EDBCA图5题20、如图5，E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大

15、小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明()方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; 如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点.(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面

16、直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.第19题图如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 【答案】解:() ;又因为,在正方形AB CD中,. 在正方形AB CD中,AO = 1 . .(证毕) () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则 . 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 设平面OCB1的法向量为 . 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 如图,在三棱柱中