概率统计课件

1、2.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样, 以指定它取每以指定它取每个值概率的方式个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的的方式方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.一一. 连续型连续型随机变量随机变量定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得xttfxFx

2、d)()(其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF ( x )分布函数与密度函数 几何意义)(xfy p.d.f. f ( x )的性质的性质q 0)(xfq 1)(d)(Fxxfq 在 f ( x ) 的连续点处，)()(xFxf判定函数判定函数 f (x)是否是否为为r.vX的概率密度的概率密度函数的充要条件函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1注意: 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)连续型连续型r.v取任一指定值的概

3、率为取任一指定值的概率为0即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0aXxaPaXPxaxaxdxxf)(lim00需要指出的是需要指出的是:由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B = S对于连续型 r.v. X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf ( x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)()()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a，的密度函数若已知连续型随机变量)(xfX取

4、值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX GdxxfGXP).1()3()()2(1)0, 00,e)(3XPxFkxxkxfXx；分布函数；系数求：的密度函数为设随机变量例0)()(,0 xdttfxFx时当313)() 1 (03kkdxkedxxfx所以得由于解xdttfxF)()()2(2592. 013)() 1 . 0()3(3 . 01 . 0031 . 0edxedxxfXPx0, 00,1)(3xxexFx于是所求分布函数为xxtxedtedttfxFx30313)()(,0时当2592. 01) 1

5、. 0() 1 . 0(3 . 0eFXP或者.)3();31()2(;) 1 (),(arctan)(的概率密度及求的分布函数为已知随机变量例XXPBAxxBAxFX121,0212, 0)(1)() 1 (BABABAFF即可得及由解 xxxFarctan121，则的密度函数为设)()3(xfX)()(xFxfxx2111127) 1()3()31()2(FFXP 二二. . 常见常见连续连续型随机变量的分布型随机变量的分布(1) 均匀分布均匀分布若 X 的 d.f. 为其他, 0,1)(bxaabxf则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布均匀分布),(baUX记作X 的分布函数为

6、1,0abaxbxbxaax,xttfxFd)()(, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.xf ( x)abxF( x)ba上的均匀分布，服从区间设随机变量6 , 1 X试求方程012xXx有实根的概率解：的密度函数为随机变量X 其它06151xxf方程有实根设：A )2()2()04(2XPXPXPAP则05162dx54(2) 指数分布指数分布若 X 的d.f. 为其他, 00,)(xexfx则称 X 服从 参数为 的指数分布)(EX记作X 的分布函数

7、为0,10, 0)(xexxFx 0 为常数1xF( x)0 xf ( x)0应用场合应用场合 用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布常作为各种“寿命” 分布的近似若 X (),则故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命题)1751(20101 . 0PX教材分钟之间的概率钟到分话间，求你需等待好在

8、你前面走进公用电如果某人刚为参数的指数随机变量以（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时解：的密度函数为X 00010110 xxexfx)2010( XP则201010101dxex21ee有没有更简便方法？)10()20()2010(FFXP(3) 正态分布正态分布若X 的 d.f. 为xexfx222)(21)(则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ),为常数，0 亦称高斯(Gauss)分布 正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布. . 德莫佛最早发现了二项概率德莫佛最早发现了二项概率

9、的一个近似公式，这一公式被认的一个近似公式，这一公式被认为是为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面. 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 位置参数 形状参数f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线 x = 对称, 即在 x = 时, f (x) 取得最大值21在 x

10、 = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 21)()(1)()(XPFFXP各种测量的误差； 人体的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；正态分布是应用最广正态分布是应用最广泛的一种连续型分布泛的一种连续型分布 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到

11、诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布态分布.标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布一种重要的正态分布一种重要的正态分布xexx2221)(是偶函数，分布函数记为xtexxtd21)(22其值有专门的表供查. 标准正态分布N (0,1)密度函数5 . 0)0(-3-2-11230.1

12、0.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4 标准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理, ,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题概率计算问题. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数xttex

13、Fd21)(222)(作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(；，试求：，设随机变量212110XPXPNX解： 1221 XP84134. 097725. 013591. 0 1221XP 11284134. 0197725. 081859. 0 附表4例例 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0 附表4；，试求：，设随机变量0)2(6292XPXPNX解：例62162) 1 (XPXP6261XP841XP)324()328(1 221 2120455. 097725. 012010)2(XPXP)320(13217486. 032例例 3 原理设 X N ( , 2), 求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987. 029974. 0一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小由3 原理知，1)(3,0)(3b