2022年6抽象函数的周期性

1、1抽象函数的周期和对称性一、关于周期性的结论1. 型：的周期为。()( )f xtf xf x( )t2. 型：的周期为。fxafxb()()f x( )|ba证明：。f xafxbfxfxba()()( )()3. 型：的周期为。fxafx()( )f x( )2a证明：f xafxaaf xaf x()()()( )2f x( )4. 型：的周期为。)(1)(xfaxff x( )2a证明：。f xafxaafxaf xfx()()()( )( )21115. 型：的周期为。fxafxfx()( )( )11f x( )4a证明：，f xafxaaf xaf xa()()()()21111

2、11111f xf xf xf xf x( )( )( )( )( )。f xafxaafxafxf x()()()( )( )42212116. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。fx( )xaxbfx( )|22ba证明：。fxfaxfxfbxfaxfbxfxf xba( )()( )()()()( )()222222，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - -

3、 - - - - - - -27. 一线一点对称型：函数关于直线及点对称，则的周期为f x( )xa( ,0)bfx( )。|44ba证明：，所以f xfaxfbxfxfaxfbxf xbafx( )()()( )()()()( )222222fxbafxbabafxbaf xf x()()()( )( )442222228. 两点对称型：函数关于点、对称，则的周期为。证f x( )( ,0)a( ,0)bf x( )|22ba明：。faxf xfbxf xfaxfbxf xf xba()( )()( )()()( )()222222二、关于对称性的结论（1）若，则关于对称( )()f xf

4、ax( )f x2ax（2）若，则关于对称()()f axf ax( )f xxa（3）若，则关于对称()()f axf bx( )f x2abx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -3习题1. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知( )yf xr2x时，函数，则时，. 2, 2x2( )1f xx6,2x( )f x2.在上定

5、义的函数是偶函数，且，若在r( )f x( )(2)f xfx( )f x区间上是减函数，则（）2,1( )f xa. 在区间上是增函数，在区间上是增函数1,24,3b. 在区间上是增函数，在区间上是减函数1,24,3c. 在区间上是减函数，在区间上是增函数1,24,3d. 在区间上是减函数，在区间上是减函数1,24,33.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线( )f xr( )yf x12x对称，则. (1)(2)(3)(4)(5)fffff4. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）r( )f x(2)( )f xf x(6)fa. b. c. d. 10125. 已知偶函数满足，且当时

6、，( )yf x(1)(1)fxfx1,0 x，4( )39xfx则的值等于（）13(log 5)fa. b. c. d. 150294510116. 设为上的奇函数，且，若，( )f xr()(3)0fxf x( 1)1f，则的取值范围是. (2)log 2afa7. 函数对于任意实数满足条件，若，( )f xx1(2)( )f xf x(1)5f则等于（）(5) )ffa. b. c. d. 5551518. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：r( )yf x 对于任意的，都有；xr(4)( )f xf x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

7、 - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -4对于任意的，都有；1202xx12()()f xf x函数的图象关于轴对称。(2)yf xy则下列结论正确的是（）a. b. (6.5)(5)(15.5)fff(5)(6.5)(15.5)fffc. d. (5)(15.5)(6.5)fff(15.5)(5)(6.5)fff9定义在上的偶函数满足，且在),( )f x(1)( )f xf x0,1上是增函数，下面是关于的判断：( )f

8、x是周期函数；( )f x的图象关于直线对称；( )f x1x在上是增函数；( )f x1,0( 2)(0).ff其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。10函数满足是偶函数，又，为奇( ) ()yf xxr( )f x(0)2003f( )(1)g xf x函数，则. (2004)f11设是上的奇函数，当时，则f x( )rfxf x()( )201xfxx( )=（）f (. )20055a. 0.5b. 0.5c. 1.5d. 1.512已知定义在r 上的奇函数满足,当时,则( )f x1(1)( )f xfx102xxxf4)(=_ _.)411(f13对于函数( )yf x定义

9、域为r而言 ,下列说法中正确的是_.(填序号 ) 函数(1)yf x的图像和函数(1)yfx的图像关于1x对称 . 若恒有(1)(1)f xfx,则函数( )yf x的图像关于1x对称 . 函数(21)yfx的图像可以由(2 )yfx向左移一个单位得到. 函数( )yf x和函数()yfx图像关于原点对称.14定义在r上的函数,对任意都有,当时,( )f xxr)()3(xfxf)0 ,3(x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

10、 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -5,则_.xxf3)()2014(f15已知是以 2 为周期的函数,且当时,则xf3, 1xxxfx2log41f_ _.16定义在上的函数满足,且当r( )yf x1(0)0,( )(1)1,( )( )52xff xfxff x时,则_.1201xx12()()f xf x1()2013f17已知函数是奇函数 ,且当时,则当时,的解析xf0 x123xxxf0 xxf式为 _ _.18若函数2( )1axf xx的图象关于点(1,1)对称 ,则实数a=_. 19设函数fx是定义在r上的偶函数 ,当0 x

11、时,21xfx.若3f a,则实数a的值为 _;20已知函数的图像过点,则函数的图像关于轴的对称图形一定)1(xfy3 2( , )f x( )x过点 _. 21设函数( )f x是周期为5 的奇函数,当02x时 ,( )23xf x,则(2013)f=_ _.22对于函数( )()yf x xr,给出下列命题:(1)在同一直角坐标系中,函数(1)yfx与(1)yf x的图象关于直线0 x对称 ;(2)若(1)(1)fxf x,则函数( )yf x的图象关于直线1x对称 ;(3)若(1)(1)fxf x,则函数( )yf x是周期函数 ;(4)若(1)(1)fxf x,则函数( )yf x的图

12、象关于点 (0,0)对称 .其中所有正确命题的序号是_.23若函数是周期为5 的奇函数 ,且满足,则=_.( )f x(1)1, (2)2ff(8)(14)ff24已知是定义在r上的奇函数 ,且,当时, ,( )f x(4)( )f xf x(0,2)x( )2f xx则_ _(7)f精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -625设函数 f(x)

13、|x2|xa|的图像关于直线x2 对称，则 a 的值为_26已知函数是定义在r上的偶函数,对任意的都有( )f xxr成立 ,若,则=_.(4)( )(2)f xf xf(1)3f(2013)f27已知定义域为r的函数是奇函数 .2( )2xxbf xa(1)求的值 ;,a b(2)用定义证明在上为减函数 ;( )f xr(3)若对于任意,不等式恒成立 ,求的取值范围 .2,2t22(2 )( 2)0f ttftkk精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -7答案 ： 1、； 2、b；3、0 4、b 5、d 6、或2( )(4)1f xx1a102a7、 d 8、 a 9、；10、2003. 1112、13、14、,分析 :周期为 32291)2()23672()2014(fff15、