题目：讨论平面静电场中的复变函数方法PPT课件

1、 对于一般的平面静电场，我们选取一个有代表性的平面作为z平面，设D是电场中的一大单连通区域，如果D内每一点电场强度 的散度： (1)以C表示一光滑曲线，是D所围的有界区域， 且 ，由格林公式： 上式表示沿闭曲线C的电通量，确定单值函数： (2) 称为电场的力函数，等值线 =a（常数）叫电力线。xyEEiE0yxEEdivExyD () 0yxyxcEEQE dx Edyxy 0( , )zyxzx yE dx Edy( , )x y( , )x y电场的旋度 ： (3) 类似有： 上式表示沿闭曲线C所作的功，确定单值函数： (4) 称为电场的势函数，其等值线 =b（常数）叫 电势线。0yxEE

2、rotExy() 0yxxycEEEdx Edyxy0( , )zxyzx yE dxE dy ( , )x y( , )x y由(1)(3)得 (5) 满足C-R方程，故 是D内的全纯函数同理，复势 是D内的全纯函数且知 与E满足如下关系: (6) ()yxEExy ()yxEEyx xyEEiE( )( )( )f zziz( )( )yxf ziEiEiE zxx( )f z应当指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于 此区域内任意一条光滑曲线C,有 (7)其中 Q分别是平面静电场沿C的所做的功与电通量.()()( )xycciQEiE dx idyE zdz（一）考虑一足够长

3、(可以看成无限长)的均匀带电直线所产生的电场,以表电荷的线密度,任取垂直于的一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场的电场强度和复势.分析如下:库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生的电场: 则本题中 其中是点电荷的线密度，dh是直线上的长度微元， 是真空介电常数所以， |dE|在z平面的投影为214qEr 221|4()dhdErh22cos()dhkrh推出由于E的方向与z相同，其单位向量为 所以电场强度E的初等复变函数的表示为: -(8) 222|cos()kEkdhrrh|zz2222| | |kzk zkErzzz 而根据(6)复势为： (9) 为了方便,上式中取常数c=0.

4、这不影响电场强度E所以 为力函数. （常数）表示电力线(虚线).为势函数. 表示等势线（实线）.（如右图所示）( )Re ( )2argzf zkzarg za( )Im ( )2lnzf zkz|zb002( )( )2lnzzzzkf ziE zdzidzk iz cz以C表示一原点为中心的一个圆周,则由(7)式得 令 ，则 即易知: 因此,该点电荷C的环量为0,沿C的电通量为这与电场的环路定理和高斯定理相吻合.2( )cckiQE z dzdzz iEre2024iikiQrei dkiire iQ i0 , Q (二)在Z平面的点 . 处分别有电量为 的点电荷.求这些点电荷所形成的电场

5、的电场强度和复势.分析如下:由上计算知根据电路的叠加原理,上述电荷所组成的电场的电场强度为: 复势为： 12,z z,nz12,q qnq2,1,2.,jjjkqEjnzz ( )2ln(),1,2.,jjjf zkq izzjn112nnjjjjjkqEEzz11( )( )2ln()nnjjjjjwf zf zkiqz z特别地,当 ， （即电偶极子），且在的点 电荷的电量为 ，则由这两异性的点电荷所形成的复势为： 而力函数 ，当( 为常数)，电力线是经过 的圆周又势函数 ，当 （b为常数），等势线是以 为对称的 圆周.（见下图）1(0)zia a21,zzia ()2ziawfzkiq

6、L nzia 1,2z zAppolonius12z z, qq( )2argziazkqziaargziaaziaa12( )2|zzzqLnzz12| |,zzziabzzzia1,2z z考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近的静电场,那么可以近似的把电场看成是均匀的.在两端附近是不均匀的.但我们考虑一端附近的静电场,可以忽略另一端的影响,那么可以把平行板电容器表示成两个半平面的形状,下图就是垂直与一平行板的剖面图.以表示平行板间的距离2h,又设它们的电势分别为(0).b b因此,要求出此平面静电场的复势 ,只有解如下边值问题.即上图中所示区域内的解析函数,使它满足边界条件： 且使 实际

7、上,这只要找出区域D到W平面上宽为2b的带形区域G的共形映射（见下图） ( )wf z,( )Im ( ) b z CEAb z CBAzf zlim ( ),lim ( ), ( )Re ( ).z CzAz Dz Dzzzf z1( )bWfLn? ? ? 1( )wbfwe21( )11()zfhhdhhLn 施瓦兹-科利斯多费尔定理()( )wbhwhzeg wb1( )( )wf zgz这样我们就找到了从映射G到D的单叶解析函数：将上式分成实部和虚部得：分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线的参数方程(1)wbhzewbb(cos1)(sin)bbhxebbhyebbab由上式及(6)还求的电场强度：在此平行板电容器的内部,即z接近A点，又w接近 ，故电