概率论与数理统计(含答案)

1、 概率论与数理统计复习大纲与复习题 09-10第二学期一、 复习方法与要求 学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，概率论与数理统计同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成. 学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目. 如开学给出的学习建议中所讲：作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.考试也有所侧重，期末考试各章内容要求与所占分值如下： 第一章 随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系，约占30

2、分. 第二章 一维随机变量的分布， 约占25分. 第三章 二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定. 约占10分. 第四章 随机变量的数字特征. 约占15分. 第五、六、七、八章约占20分.内容为：第五章：契比雪夫不等式与中心极限定理. 第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（分布、分布）；正态总体样本函数服从分布定理. 第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计. 第八章：一个正态总体期望与方差的假设检验. 二、 期终考试方式与题型本学期期末考试类型为集中开卷考试，即允许带教材

3、与参考资料.题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题占70分，每小题2分；选择题占30分，每小题3分.三、 应熟练掌握的主要内容 1. 理解概率这一指标的涵义.2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断. 3. 理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.掌握事件的运算律.4. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件； 掌握事件的常用变形： （使成包含关系的差）， （独立时计算概率方便） ，（使成为互斥事件的和） （是一个划分） （利用划分将转化为若干互斥事件的和） （即一个划分） 若，则.

4、5. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算.6. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率.7. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律.8. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律. 9. 掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质. 10. 掌握随机变量分布函数的定义、性质.11. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义.12. 掌握随机变量在区间内服从均匀分布的定义，会写出的概率密度.13. 掌握正态分布概率

5、密度曲线图像； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表；理解服从正态分布的随机变量，其概率与参数和的关系. 14. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律.15. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度.16. 有分布律或概率密度会求事件的概率. 17. 理解当概率时，事件不一定是不可能事件；理解当概率时，事件不一定是必然事件. 18. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义； 会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率； 有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数

6、的分布.19. 掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字.20. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系.21了解契比雪夫不等式.22. 会用中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是： 设随机变量服从二项分布，当n较大时，则 ，其中23. 了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义.24. 了解分布、分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上分位点.25. 了解正态总体中，样本容量为n的样本均值与服从的分布.26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义.27. 会计算参数的矩估计.28. 会计算正态总体参数

7、与的区间估计.29. 掌握一个正态总体，当已知或未知时，的假设检验，的假设检验.30. 了解假设检验的两类错误涵义.四、复习题 注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点. 期终试卷中70分的题目抽自复习题.（答案供参考）（一）判断题第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间 （1）袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取1个，观察取到球的号码，样本空间为 . 正确 （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，观察取到球的号码，样本空间为 错误 解析 同时取2个球，不可能取到2个号码相同的球，如

8、，所以是错误的.2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球），（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），（取到2号球），则（1）（取到1、1、2、3、3、5号球） 错误解析 取到1号球是一个结果，即一个样本点，其含在事件中也含在事件中，事件是将，的样本点放到一起构成新的事件，“取到1号球”仍然是一个样本点，不能记为1、1，同理 3、3也是错误的.（2）（取到2号球） 错误解析 事件即，其由属于而不属于的样本点构成，只有“取到2号球”属于，不属于，所以，故是错误的.（3） （取到1、2、3、4、5号球） 错误 解析 事件由属于且属于的

9、样本点构成，（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），共同的样本点为（取到4、5号球），所以（取到4、5号球），故（取到1、2、3、4、5号球）是错误的.（4） （取到3号球） 正确解析 参照对事件的分析，可知 （取到3号球）是正确的.（5）（取到1、2、3、4、5号球） 正确解析 参照对事件的分析，可知（取到1、2、3、4、5号球）是正确的.（6）（取到1、2、3、4、5号球） 错误解析 事件没有共同的样本点，即事件与互斥，故（取到1、2、3、4、5号球）是错误的.（7）（取到4，5号球）； 正确解析 为的对立事件，其由所有属于样本空间而不属于事件的样本点组成。 （8）（取到2、4、5号球

10、）. 正确解析 先确定，由与共同的样本点组成，（取到1、3号球），为的对立事件，所以（取到2、4、5号球）是正确的。（9）不等于样本空间 . 错误解析 先确定的内容，（取到1、2、3号球），（取到3、4、5号球），与的和事件应该为（取到1、2、3、4、5号球）。而样本空间即所有结果的集合就是（取到1、2、3、4、5号球），所以。故称不等于样本空间是错误的。 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设分别为甲、乙命中目标，用事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标） 错误 （2）（甲没命中目标） 正确解析 事件（甲没命中目标），涵义为不考虑乙是否命中，仅考虑甲，故（2）（甲没命中目标）是正确

11、的；而表示事件（甲没命中目标且乙命中目标），故（1）（甲没命中目标）是错误的.（3）（仅甲命中目标）；错误解析 为甲命中目标，其不管乙是否命中，而（仅甲命中目标）意味乙没有命中目标，所以（仅甲命中目标）。（4）（甲、乙均命中目标） 错误 （5）（甲、乙均命中目标） 正确解析 因为与的和事件表示或或，积事件表示且.分别为甲、乙命中目标，所以表示或甲命中目标，或乙命中目标，表示甲命中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（4）错，（5）正确.4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设（5件中恰有i件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则（1）（5件中恰有0件次品）=（5件中没

12、有次品） 正确解析 由事件的定义，显然（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）是正确的.（2）（5件中恰有1件次品） 错误（3）（5件中至少有1件次品） 正确解析 从这批产品中任取5件检查，从取到次品的数目的角度可以将样本点分为3类，没有次品，有1件次品，有2件次品，有3件次品.为没有次品，其对立事件为有次品，故有1件次品， 2件次品， 3件次品样本点的总和为的对立事件.故（2）（5件中恰有1件次品）是错误的，（3）（5件中至少有1件次品）是正确的.（4）（5件中最多有2件次品）正确解析 注意该批产品中有3件次品，从取到次品数目的角度看，取5件检查次品数最多有3件.因为为5件中恰有3件次品，

13、其对立事件则为没有次品，或有1件次品，或有2件次品，故（5件中最多有2件次品）是正确的.（5） =（5件中至少有3件次品）错误（6） =（5件中至少有2件次品）正确解析 表示或或，则是有2件次品，故（5） =（5件中至少有3件次品）是错误的，（6） =（5件中至少有2件次品）是正确的.5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？（1） 错误 （2） 正确（3） 正确 （4） 错误（5） 错误 （6） 正确（7） 若，则；正确 （8） 若，则； 错误（9） 若，则. 错误（10）；正确 （11）若互斥，则 。正确解析 由下面图示可见，所以（1）是错误的，（2）是正确的.由下面图可见，所以（3）是正确

14、的，（4）是错误的.（5）（6）是考察对事件运算律中德.摩根律的掌握，显然（6） 正确， （5）错误. （7）（8）（9）图（a）事件，即事件的样本点都是事件的样本点，故仍然为，所以是正确的。为事件与共同的样本点构成，因为事件的样本点都是事件的样本点，故，所以是错误的。 （a） (b) (c) 图（b）红色区域为，图（c）绿色区域为，显然绿色区域包含红色区域，即，所以是错误的.（10），式的两边均为与的和事件，由事件和的运算满足交换律也可知该式成立。（11）首先应该清楚事件差的含义，是属于而不属于的样本点构成的事件。看下图，与互斥，事件的所有样本点也只有的样本点满足属于而不属于，所以是正确的。

15、 6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球），（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），（取到2号球），则（1） 正确 解析 等可能概型事件的概率为 随机试验为从1、2、3、4、5的5个球中随机取一个，从取球号数角度看共有5种可能，即样本空间中含5个样本点，且取到每一个球的可能性相等，该随机试验为等可能概型.事件（取到1、2、3号球），含三个样本点，所以是正确的. （2） 正确解析 概率有性质：互斥事件和的概率等于概率的和.事件 （取到奇数号球），（取到2号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥. ，所以是正确的.（3） 错误

16、 （4） 正确解析 方法1 事件（取到1、2、3号球），（取到2号球），与非互斥，与和的概率为 .方法2 因为事件包含事件，故，所以 .总之（3）是错误的，（4）是正确的.（5） 错误 （6） 正确解析 事件（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），事件与有共同的样本点，不是互斥的，与的积事件取到1、3号球），故 ，所以（5） 是错误的；（6）是正确的.（7）； 正确（8）； 错误（9）； 正确（10）. 错误解析 （7）、（8）、（9）、（10）均为计算两个事件茬的概率，两个事件差的概率公式为： 对任意事件有 ， 若事件事件包含事件，则。由题设（取到1、2、3号球），

17、（取到奇数号球），（取到4、5号球），（取到2号球）。因为事件包含事件，所以（7）是正确的。而事件不包含事件，所以（8）是错误的，（9）是正确的；同样事件不包含事件，所以（10）是错误的.（11） ； 正确 （12） ；正确（13） ；正确 （14） ；正确 （15） 。正确解析 （11）该随机试验的样本空间（取到1、2、3、4、5号球），由题设（取到4、5号球），显然（取到1、2、3号球），所以，。（12）由题设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），故事件取到1、3号球），所以是正确的。（13）由题设（取到3、4、5号球），（取到2号球），两事件没有共同的样本点，

18、即两事件互斥，为不可能事件，故。（14）的计算有两种方法：方法1条件概率计算公式 由前面的计算结果知道，所以。方法2由条件概率的本质涵义。为在已知事件发生条件下事件发生的概率，由题设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），发生即已经知道取到的是1、2、3号球中的一个，其中只有1、3号球属于，故发生条件下事件发生的概率。（15）为在已知事件发生条件下事件发生的概率，由题设（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），发生了，一定是取到了4、5号球中的一个，无论取到哪一个事件均发生，故。7.（1） 设事件互斥， =0.3 ，则 . 正确 （2） 设事件互斥， 则=0.7 .

19、 错误 （3） 设， 则 . 正确 （4） 设事件相互独立， =0.3，则. 错误（5） 设事件相互独立， =0.3，则. 正确（6） 设事件相互独立， =0.3，则. 正确（7）设事件相互独立 ， ，则。 正确解析 （1）参考6（2）的解析，可知互斥， 所以是正确的.（2）由上面的分析，互斥， ，故所以=0.7 是错误的.（3）没有互斥的前提，与两个事件和的概率 则 ，所以是正确的. （4）（5）（6）均在事件相互独立条件下讨论问题，事件相互独立必然满足，所以 是错误的，是正确的。因为 ，所以 是正确的。（7）参考5题中对“（4）是错误的”的分析，应该有。又当随机事件与相互独立时，与、与、与

20、均相互独立，故，综上有。8. 设事件 ，则（1） 正确（2） 错误（3） 正确 （4） 错误（5） 正确 （6） 正确解析 若事件，如图 事件，可见； 且容易得出结论， 又由概率基本性质，若事件，则.所以（1）是正确的；（2）是错误的，（3） 是正确的；（4）是错误的，（5） 是正确的；（6）因为，是正确的.评注 题目6-8是在考核对概率基本性质（基本关系式）的理解.9. 古典概型(1).箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则恰取出2件次品的概率为 正确 恰取出2件次品的概率为 错误恰取出1件次品1件正品的概率为 正确 恰取出1件次品1件正品的概率为 错误 解析 这是一道等可能概率问题中的

21、超几何概型问题，从5件产品中一次取2件共有种取法，即总的样本点数为.注意不存在次序问题，不应该用. 恰取出2件次品，只有一种可能2件次品全取出，即，所以恰取出2件次品的概率为是正确的；恰取出2件次品的概率为 是错误的.恰取出1件次品1件正品有种可能，所以恰取出1件次品1件正品的概率为是正确的；恰取出1件次品1件正品的概率为是错误的.(2).上中下三本一套的书随机放在书架上，则 恰好按上中下顺序放好的概率为 正确恰好按上中下顺序放好的概率为 错误上下两本放在一起的概率为 正确 上下两本放在一起的概率为 错误解析 上中下三本书摆放共有种可能，恰好按上中下顺序放好仅有一种可能，所以恰好按上中下顺序放

22、好的概率为是正确的，恰好按上中下顺序放好的概率为是错误的.将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有种排法，而上下两本书又有种排法，故上下两本放在一起共有放法，所以上下两本放在一起的概率为 是正确的，上下两本放在一起的概率为是错误的.评注 题目9-10是在考核对等可能概型概率计算的理解.10. 若 则（1） 正确 （2） 错误 （3） 正确 （4） 错误解析 若，事件有资格做条件，事件发生条件下事件的条件概率的定义为；若，事件有资格做条件，事件发生条件下事件的条件概率的定义为.由题设，所以（1）是正确的，（2） 是错误的.（3）是正确的，（4） 是错误的.11. 已知10只电子元件中有2只是次

23、品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）第一次取到正品 正确 （2）第一次取到次品 正确（3）第一次取到正品，第二次取到次品 正确（4）第一次取到正品，第二次取到次品 错误（5）第一次取到正品，第二次取到次品 正确（6）一次取到正品，一次取到次品 错误解析（1）（2）仅考虑第一次取到正品或次品的概率，总的样本点数为10，取到正品的样本点数为8，取到次品的样本点数为2，所以（1）第一次取到正品是正确的，（2）第一次取到次品是正确的.（4）（5）用两种方法计算（第一次取到正品，第二次取到次品）事件的概率.方法1 样本点总数为，（第一次取到正品，第二次取到次品）的样本点数为，所以第一次

24、取到正品，第二次取到次品）. 方法2 设第一次取到正品），第二次取到正品），则第一次取到正品，第二次取到次品）. .综上，（4）第一次取到正品，第二次取到次品是错误的，错在样本点总数计为而不是，没有考虑顺序.（5）第一次取到正品，第二次取到次品是正确的.（6）事件（一次取到正品，一次取到次品）对顺序没要求，可以是第一次取到正品，第二次取到次品，也可以是第一次取到次品，第二次取到正品.方法1 样本点总数为，事件（一次取到正品，一次取到次品）所含样本点数为，所以一次取到正品，一次取到次品.方法2 设第一次取到正品），第二次取到正品）一次取到正品，一次取到次品所以（6）一次取到正品，一次取到次品是错

25、误的.12某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种零件，产量分别占总产量的25%、35%、40%，每个车间的产品中，次品分别占5%，4%，2%。现在从产品中随意抽检一件，设、分别为抽到甲、乙、丙车间的产品，为抽到次品， （1）则在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作 ；正确 ；错误 。错误 则在已知取到次品的条件下取到甲车间产品的概率应该记作 ；正确 ；错误 。错误 解析 条件概率符号的规定为：作为已知发生的事件写在括号中竖线的右侧另一事件写在括号中竖线的左侧。由题设（取到甲车间产品），（抽到次品），故在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作，是正确的，、均是错误的。 （2

26、）则在已知取到甲车间产品的条件下，取到次品的概率。正确 则在已知取到乙车间产品的条件下，取到次品的概率。正确 则在已知取到丙车间产品的条件下，取到次品的概率。正确 解析 首先不言而喻的是每件产品会等可能的被取到。题目中给出各车间的次品率，如甲车间的次品率为0.05，相当于甲车间的产品中次品占全部产品的5%。若已知取到甲车间的产品，此时取到次品的概率即次品占甲车间产品的比率5%=0.05，所以是正确的。其余同理。 （3）则抽到次品的概率为 。错误 。正确 解析 抽到的次品必然属于甲、乙、丙三个车间中的某一个，、即是一个完备事件组也称作划分，即事件可以用、划分为互斥的三部分，。所以 再由乘法公式，

27、如，同理可以计算、。综上分析可知是正确的。 ，简单的将各车间的次品率相加是错误的。 （4）已经计算得抽到次品的概率为0.0345，则在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率为 。正确 。错误在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率记为是对的，条件概率的定义式为，所以正确，是错误的。13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则：（1）两次都取到红球的概率为 正确（2）两次都取到红球的概率为 错误（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为 错误（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为 错误（5）从乙

28、袋中取到红球的概率为； 正确（6）已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率为 . 正确解析 设从甲袋中取到红球），从乙袋中取到红球），（1）（2） 两次都取到红球其中的思路是：从甲袋取到红球事件已经发生了，即将1个红球放到乙袋中，乙袋中有11个球，其中8个红球，故此时取到红球的概率为.所以（1）两次都取到红球的概率为是正确的，（2）两次都取到红球的概率为是错误的.（3）如前面所设，事件“已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球”的概率应该记为，如上面的分析，所以（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为是错误的.（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率是条件概率，即，.所以（4）

29、已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为是错误的.（5）从乙袋中取到红球有两种可能，一为从甲袋取到红球且从乙袋中取到红球，另一为从甲袋取到白球且从乙袋中取到红球，可以用全概公式计算： 所以（5）从乙袋中取到红球的概率为是正确的。（6）根据所设事件，“已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率”应该表示为，即已知事件发生了，求在事件发生条件下，事件发生的条件概率。由逆概公式（贝叶斯公式）有 ，所以（6）是正确的。评注 11-13是在考核对条件概率，乘法公式的理解.14.某人打靶，命中率为0.2，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为0.8； 正确（2）第二枪没打中的概率为0.8； 正确

30、（3）第二枪没打中的概率为0.16 错误（4）第一枪与第二枪全打中的概率为 错误（5）第一枪与第二枪全打中的概率为 正确（6）第三枪第一次打中的概率为. 正确（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为.解析 题目给出“命中率为0.2”，相当于每次打靶命中与否都是相互独立的.既然各枪打中的概率为0.2，各枪没打中的概率也就均为0.8，所以（1）第一枪没打中的概率为0.8，（2）第二枪没打中的概率为0.8，都是正确的，（3）第二枪没打中的概率为0.16，是错误的. (第一枪与第二枪全打中) 是第一枪打中且第二枪打中的积事件，又两事件相互独立， P(第一枪与第二枪全打中) ，所以（4）第一枪与第二枪全打中的

31、概率为是错误的，（5）第一枪与第二枪全打中的概率为是正确的. “第三枪第一次打中”当然是第一、二抢没打中，第三枪打中，所以（6）第三枪第一次打中的概率为是正确的. 射击三枪中仅打中一枪，可以是第一枪打中第二、三枪未打中，也可以是第二枪打中第一、三枪未打中，还可以是第三枪打中第一、二枪未打中，即有三种可能，所以（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为是错误的，正确的是。15 .几点概率思想 （1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标. 正确（2）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数. 正确（3）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生. 正确（4）实际推断原理为：一次

32、试验小概率事件一定不会发生. 错误第二章 随机变量及其分布16.随机变量的分布律为，则（1） 正确 （2） 错误 解析 分布律有性质：所有概率和为1.故应该有，所以（1）是正确的，（2） 是错误的. 17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设为5次中取出的次品数，则 （1）第3次取到次品的概率为0. 错误 （2）第3次取到次品的概率为. 正确（3）5次中恰取到2只次品的概率 正确（4）5次中恰取到2只次品的概率 错误（5）最少取到1只次品的概率 正确（6）最少取到1只次品的概率 错误（7）随机变量的分布律为； 错误（8）随机变量的

33、分布律为. 正确解析 由题设每次取出产品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均为，共取5次，每次两个结果，次品或正品，该随机试验为5重伯努利实验，5次中取到的次品数服从二项分布，的概率，即5次中 恰取到只次品的概率为，所以（1）第3次取到次品的概率为0是错误的，（2）第3次取到次品的概率为是正确的.（3）5次中恰取到2只次品的概率是正确的，（4）5次中恰取到2只次品的概率 是错误的.（5）（最少取到1只次品）的对立事件是5次中没取到次品，（没取到次品）即的概率，故（5）最少取到1只次品的概率是正确的，（6）最少取到1只次品的概率是错误的.为5次中恰取到1只次品的概率，即的概率.求随

34、机变量的分布律，应该将的所有可能取值与取值的概率列出，由前面的分析知道的概率为是正确的，（7）错在没有列出的范围，（8）是正确的。 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数服从参数为3的泊松分布，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率. 错误（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率. 正确（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率. 错误（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为. 正确 解析 泊松分布的分布律为，例如，的概率为.所以（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率为，故是错误的.（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率是正确的.（3）（

35、4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率，即的概率， ， 故（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为 是正确的，而称交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为是错误的.19.袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令，取到白球令，则（1）称为服从分布. 正确 （2）为连续型随机变量. 错误（3）的分布律为. 错误 （4）的分布律为. 正确（5）的分布函数为 错误 （6）的分布函数为 正确解析 由题设仅取数0与1，且取0与1的概率均大于0，所以（1）称为服从分布是正确的.分布是离散型随机变量的分布，服从分布，显然不会是连续型随机变量，所以（2）为连续型随机变量是

36、错误的.因为的概率即取到红球的概率，故，所以（3）的分布律为是错误的，（4）的分布律为是正确的.随机变量的分布函数的定义为。当时分布函数的函数值，即随机变量取值小于或等于0的概率，应该为，即，而（5）定义，显然（5）是错误的。再分析时分布函数的函数值，即随机变量取值小于或等于1的概率，应该为1，（5）定义，显然（5）也是错误的。而（6）是正确的。20. 设随机变量X的分布函数为 ，则（1） 错误 （2） 正确（3） 正确 （4） 错误（5） 正确 （6） 错误（7）X的分布律为 . 正确 （8）X的分布律为 错误解析 分布函数的定义为，例如就是的概率，.该题分布函数为分段函数，例如当，因为，所

37、以，即；当因为，所以，即；当 因为，所以，即.利用上面知识分析（1）（2）：由分布函数定义，而，所以，故（1） 是错误的.（2） 是正确的. 该分布函数值仅在与两处有变化，即当由小于0变到等于0时，分布函数值由0增加到，增加了，故增加的即的概率，也即；当由小于1变到等于1时，分布函数值由增加到1，增加了，故增加的即的概率，也即. 分布函数的图像更清楚地展示了上述规律，见图分布函数仅在与两处有跳跃，所以随机变量的分布律为，在其他各点的概率为0.故（7）的分布律为 是正确的， （8）的分布律为是错误的.（3）是正确的， （4）是错误的. 由分布函数的定义可以知道所以，故（5）是正确的， （6）是错

38、误的.评注 这是一道考核分布函数概念，分布函数与分布律关系，由分布函数计算概率的题目.21.设随机变量X的概率密度 ， 则 （1）由积分可以计算常数A. 错误（2）由积分可以计算常数A. 正确 （3）常数A =2 . 正确 （4）常数A =1 . 错误解析 概率密度有性质，当中有未知参数时，其即是含的方程，故可以通过计算常数。问题是积分中的在不同区间的具体内容要与定义相符，该题目的定义为在区间上为，其他处均为0，所以应该是 ， 其中，不为0的积分仅有.故（1）是错误的，（2）是正确的。 完成式的计算，所以（3）常数=2 是正确的，（4）常数 =1是错误的. 22.设随机变量的概率密度 ， 则（

39、1） 正确 （2） 正确（3） 错误 （4） 错误 解析 随机变量的概率密度与概率之间有如下关系 ，关键在的内容要与区间对应.由题设仅在上为，其他处均为0.故（1）是正确的.（2） 是正确的.（3），故是错误的.（4），故是 错误的.23.设随机变量的分布函数，则的概率密度（1） 正确 （2） 错误（3） 错误 （4） 错误 解析 连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系：在概率密度的可导点，.故在内，；在内，；在内，.又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算，所以只要满足概率密度的非负性，在与处，概率密度可以任意定义.综上仅有（1）是正确的，其他均是错误的.24.公共汽车站每隔10

40、分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为. 正确（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为. 正确（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为. 正确（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为. 错误解析 因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等车，相当于乘客到车站的时刻服从内的均匀分布. 均匀分布的概率计算公式为：设随机变量服从区间的均匀分布，则其中，如图.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间不超过5分钟，故乘客候车时间不超过5分钟），所以（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为是正确的. 当乘客在内任意时刻到达时

41、，乘客候车时间超过5分钟，故乘客候车时间超过5分钟），所以（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为是正确的. 当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间才不超过3分钟，故乘客候车时间不超过3分钟），所以（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为是正确的.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间才超过3分钟，故乘客候车时间超过3分钟），所以（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为是错误的.25. 随机变量 则(1) 正确 （2） 正确 （3） 正确 （4） 错误解析 为标准正态分布，其概率密度为偶函数，概率密度图像如图故的概率与的概率相等，均为，所以（1）（2）（3）均是正确的，（4）是错误的. 26. 随机变量

42、，为标准正态分布的分布函数， 则 （1）； 错误 （2）； 正确(3)= ； 错误(4) =。 正确解析 正态分布有定理：设，则.该题设，相当于，故，所以（2）是正确的，（1）是错误的。标准正态分布的分布函数一般用表示，既然服从标准正态分布，则.又标准正态分布的分布函数有性质：.由题设，故 所以(3)= 是错误的. 所以(4) = 是正确的.27. 随机变量的概率密度为 则称服从参数为的指数分布. 正确解析 其为指数分布的定义，应该记住。28设，则（1）的分布律为 正确（2） 的分布律为 正确解析 求离散型随机变量的分布律即应该将该随机变量的所有取值与取值的概率列出.（1）可以取到0，1，则只

43、能取到0，2，且所以的分布律为是正确的.（2）试用列表方式求解的取值为 0 1的取值为 1 3可见的概率即的概率，的概率即的概率，所以的分布律为是正确的.29.设随机变量的概率密度为 ,则的概率密度为（1） 错误 （2） 正确解析 求连续型随机变量函数的概率密度应该先求分布函数，再对分布函数求导即得到概率密度.随机变量的分布函数为.当，故 ；当，故；当，故；综上 ，所以（1）错误，（2）正确.第三章 二维离散型随机变量及其分布30. 设二维随机变量的分布律为 判断下述结论是否正确？ （1） 正确 （2） 错误（3）的边缘分布律为 错误（4）不独立 错误（5）概率 错误（6）的分布律为 正确分析

44、 要回答该题目，首先应该清楚联合分布律的涵义.该表表示的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，取各对数值的概率分别为 ， ，.（1） 正确解析 从前面对联合分布律表的阐述可知是正确的。（2） 错误解析 为且的概率，根据所给联合分布律，应该求取0或1，且取0，即取的概率，故 ，所以（2）是错误的。（3）的边缘分布律为 ； 错误 解析 求的边缘分布律，即求的分布律，应该先确定的取值，为0，1，再确定取各值的概率.求的概率，应该将上述概率中所有无论取任何值的概率相加，即，类似可以计算的概率，所以的边缘分布律为. 题目给出的分布律，是的边缘分布律，非的

45、边缘分布律，所以是错误的.将各取值的概率写在联合分布律的边上，各自的边缘分布律一目了然：.（4）不独立 错误解析 解答该题目应该先清楚离散型随机变量相互独立的条件： 如果相互独立，要求取每一对数都满足积的概率等于概率的积。此题即要求 ， ，.是否满足上述6个等式，应该一一验证：例如 ； ；对每一对取值的概率都作如上验证，可知都有积的概率等于概率的积，故是相互独立的.（5）概率 错误解析 由联合分布律知道的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，其中当与都使，且取其他任何数值，故 ，所以是错误的。（6）的分布律为 正确解析 要判断的分布律为是否正确

46、，只能将的分布律求出，首先确定由的各对取值计算的的值，不妨列表完成： 表中间的数值即是由算得的值，可知的取值有-1，0，1，2。再确定各取值的概率：，显然的分布律为是正确的。31. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为则 （1）相互独立； 错误 （2）的分布律为 ； 正确 对（3）的分布律为 。 正确 解析 （1）在30题（4）中已经讲过相互独立的条件，先将与的边缘分布律求出列在表中，如下表 可见 ， ，所以相互不独立。注意只要有一对数积的概率不等于概率的积，即相互不独立。（2） 为二维随机变量，每次试验有一对取值，此题目取值为，等等. 表示取每对数中最大的，例如当时，则；当时，则；当时，则.以

47、此类推.为确定取值可以列表分析，表为 表的中间即为对应的每一对取值，随机变量的取值.由此可知取到0，1，2三个数.的概率即为取概率的和，为.同理可以分析与的概率，所给结果是正确的.（3）表示取每对数中最小的，例如当时，则；当时，则；当时，则.以此类推.同样可以列表分析的所有取值，并确定所有取值的概率.请自己分析第四章 随机变量的数字特征32. 设随机变量的分布律为 ，判断下述结论是否正确？（1）=； 正确 （2） ； 错误 （3）； 正确（4）的方差 . 正确 解析（1）判断是否正确，只能通过计算。离散型随机变量数学期望的计算：是将分布律中所有取值与概率相乘加起来，即： 所以是正确的。（2）

48、这种求的数学期望的方法显然是错误的，应该是 ， 所以（2）是错误的，（3）是正确的。 （4）由方差的计算公式，的方差，由上面的分析知道 ，由上面（1）的分析知道 ， ，所以 是正确的。 33.设随机变量的概率密度，则（1）； 错误（2） ；正确 （3）；正确（4） ；错误（5）.正确解析 判断（1）、(2)一个思路，即掌握数学期望的计算方法，如果随机变量X的概率密度为，则 ，由题设，该题目的数学期望计算为 所以（1）是错误的，（2）是正确的。 随机变量的函数的期望的计算为所以（3）是正确的。 同31题的分析，的方差的计算公式为，由上面（1）的分析知道 ，所以（4） 是错误的，（5）是正确的。 注 即使不计算也应该知道（4）是错误的，因为方差的定义为，其不可能为负数。34.设随机变量的概率密度 ，判断下述结论是否正确？（1）； 错误 （2）； 正确 （3）； 正确（4）= ； 正确（5）的方差 。 错误解析 同33题（1）、(2)的分析，当随机变量的概率密度为，则 ，具体到这道题概率密度是分段定义的，积分也必须分段进行，正确的做法是：=，所以（1）=是错误的，（2）的计算是正确的。随机变量的函数的期望的计算为所