高中数学 加练 专题1　第3练　柯西不等式与权方和不等式

第3练柯西不等式与权方和不等式(分值：41分)一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当(2)a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当(3)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc3.二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立).4.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立.二、权方和不等式1.二维形式：已知x，y，a，b∈R+，则有ax+by≥(a+b)2x+y(当且仅当x∶2.一般形式：设ai，bi∈R+(i=1，2，…，n)，实数m>0，则nΣi=1aim+1bim≥(nΣi=1ai)m+1一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.若a12+a22+…+an2=1，b12+b22+…+bn2=4，则a1b1+a2A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)·(b12+∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2，当且仅当ai=12bi(i=1，2，…，n)时，等号成立2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y满足a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=byA.16 B.25 C.36 D.49答案D解析因为正数a，b，x，y满足a2x+b2y≥(a+又0<x<13，即1-3x>0，于是得f(x)=323x+当且仅当1x=41-3x，即x=1所以函数f(x)=3x+161-3x3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4A.13 B.4 C.21 D.5答案C解析由柯西不等式得(4a+1+4b+1+4c+1)2=(1·4a+1+1·4b+1+1·4c+1)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21，当且仅当a=b=c=134.若sinx+cosy+sin(x+y)=2，则sinx的最小值是()A.0 B.2-3C.3-7 D.1答案C解析由已知得sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2，整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny，由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(1+sinx)=2+2sin当且仅当(sinx+1)siny=cosycosx时取等号，所以(2-sinx)2≤2+2sinx，即sin2x-6sinx+2≤0，又-1≤sinx≤1，解得3-7≤sinx≤1，所以sinx的最小值为3-7.5.已知正实数x，y满足x+y=1，则1x2+8y2A.10 B.15 C.24 D.27答案D解析设x=cos2α，y=sin2α，α∈0由权方和不等式，可知1x2+8y2=13(co当且仅当1cos2α=2sin2α，即x=13，y二、多项选择题(共6分)6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12 B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2答案ABD解析由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2，得a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；利用分析法：要证2a-b>12，只需证明a-b>-1即可，即a>b-1.由于a>0，b>0，且a+b=1，所以a>0，-1<b-1<0，故B正确；利用基本不等式log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C错误；由于a>0，b>0，且a+b=1，利用柯西不等式(a+b)(1+1)≥(a+当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7.若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则p+q+答案2解析由柯西不等式得(p2+q2+m2)(r2+s2+t2)≥(pr+qs+mt)2，当且仅当pr=qs=mt时令pr=k(k∈R)，则p+q将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，解得k=23，所以p+8.对任意x>1，y>12，x2a2(2y-1)+4答案22解析因为x2a2(2y-1)所以a2≤x22y-1+4y2x