2019届高三数学二诊试题

1、.精品文档.2019届高三数学二诊试题2019 年高三年级第二次诊断性测试理科数学（问卷）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合，则（）A.B.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可.【详解】,贝农故选B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐 标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式， 我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数

2、不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端 点的取舍.2. 设是虚数单位，则复数（）A.B.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算以及的运算性质化 简求值即可.【详解】，故选A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础 的计算题3. 若变量满足约束条件，则的最大值是（）A.0B.2.5D.6【答案】【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当 于直线的纵截距，由几何意义可得结果.【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，解得，则的最大值是，故选.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函 数的最值，属

3、简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚 线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内 平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最 优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值4. 执行如图所示程序框图的输出结果是（）A.3B.5.7D.9【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结 构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中 各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，,满足条件，执行循环体，,此时，不满足条件，退出

4、循环，输出的值为7,故选.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模 拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下 列命题正确的是（）A. 若,，则B. 若,，贝U.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】对于A, B选项均有可能为线在面内，故错误；对于选 项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性 质定理可得D正确.【详解】若，则有可能在面内，故 A错误；若，有可能在面内，故 B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面 平行，故错误.若,则由直线与平面平行的性质知，故D正确.故选D.【点睛】本题考查的知

5、识点是，判断命题真假，比较综 合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6. 已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列，则()A.B.D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化 为，代入即可得出.【详解】设等差数列的公差，且，成等比数列， 贝农故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公 式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. 设，则的大小关系为（）A.B.D.【答案】B【解析】【分析】不难发现从而可得【详解】，故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比 较数大小.8. 已知椭圆的焦点分别为，点，在椭圆上，于

6、，则 椭圆方程为（）A.B.D.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，求解，然后推出椭圆 方程.【详解】椭圆的焦点分别为，点A, B在椭圆上， 于，可得，解得，所以所求椭圆方程为：，故选.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方 程的求法，是基本知识的考查.9. 函数的图象大致为（）A.B.D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可.【详解】，排除，D;排除B,故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数 的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选 择其正确图象是高考中的高频考点，主要米用的是排除法，最常见的排出方式

7、有根据函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值 或其符号，其中包括等.10. 已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（）A.B.D.【答案】D【解析】【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时， 函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数 的最值得应用求出结果.【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以，由于，故：时，取最大值.故:，解得：，即，由于，故的最小值为，故选 D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.11. 我国古代数学著作九算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，

8、斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问 次一尺各重几何？ ”意思是：“现有一根金杖，长 5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端 截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖 由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相 等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A.4B.5.6D.7【答案】【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设 公差为，贝畀解得，所以该金杖的总重量，解得，故选.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项 公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中 档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型， 数

9、列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握 等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中， 还应善于运用整体代换思想简化运算过程12. 如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是.与平面所成的角是D.与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判 断，即可得出结论.【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND,与EF交于点，连接A，则A的长即点到的距离，A，故A错误；对于B，三棱锥的体

10、积是，故 B错误；对于，F点到平面DN的距离为，与平面所成的角的正弦值为，故错误；对于D,与所成的角即与所成的角，显然是 60 °,故D 正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的 立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.第口卷（非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分 .第13题第21题为 必考题，每个试题考生都必须作答 .第22题第23题为选 考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13. 有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有 种（用数

11、字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为 2, 2, 1型或3,1,1 型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每 个地方至少1人，其方案为2, 2，1型或3,1,1型.其选法 有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种.故答案为：150.【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题.14. 已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1,则双曲线的方程为.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1,可得，根

12、据三角形的面积为 1可求出的值，然后求解双曲线方 程.【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与 另一条渐近线交于点，若(是坐标原点)的面积为1,可得，解得，贝畀所以所求的双曲线方程为：，故答案为.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形 的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15. 已知，则.【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin ()的值，利用同角三角函数间的基本关系求出s ()的值，进而求出 tan ()的值，tanA变形为tan()，利用两角和与差的正切函数公 式化简，计算即可求出值.【详解】解：(,),(, n ), sin (),二 s (), ta

13、n ()=,则 tanA = tan().故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两 角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键.16. 已知，是函数(其中常数)图象上的两个动点，点， 若的最小值为0，则函数的最大值为 .【答案】【解析】【分析】先推出f (x)的图象关于直线 x = a对称，然后得出直 线PA PB分别与函数图象相切时，？的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a= 1,结合图象可得x=1时，f (x)的最大值为.【详解】解：A, B是函数f (x)(其中a>0)图象上的 两个动点，当 x v a 时，f (x) = f (2a -

14、x )= - e (2a - x) - 2a =e - x,函数f (x)的图象关于直线 x = a对称.当点A, B分别位于分段函数的两支上，且直线PAPB分别与函数图象相切时，？的最小值为0,设 PA与 f (x) =- e- x 相切于点 A (x0 , y0),2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创13 / 22.精品文档. f'( x) = e - x , kAP= f'( x0) = e,解得 x0 = a -1 , ?的最小值为0,.丄，- kPA= tan45 °= 1 , el , x0 = 0, a= 1 , f (x) ax.

15、故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几 何意义，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题：第1721题每题12分，解答应在答卷 的相应各题中写出字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角的对边分别为，已知，(1) 若，求；(2) 求的面积的最大值.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正 弦定理即可求得；(2)利用三角形面积公式结合余弦定理得， 结合二次函数的性质即可得结果 .【详解】(1(2),2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创14 / 22.精品文档.当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要

16、点：正弦定理和余弦定理及 三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型.18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点， 分别是和的中点.(I)求证平面；(H) 求二面角余弦值.【答案】(I)详见解析；(H).【解析】【分析】(I) 利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；(H)以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直 角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即 可得到结果.【详解】(I)如图，取的中点，连结，贝畀.平面平面，.平面；(H)以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，贝畀得,得，.设平面的法向量为，贝畀得，

17、同理可得平面的法向量为，,二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角 的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常 用的方法，考查的知识面较广，难度中等.19. 某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽 样的方法抽取了容量为 50的样本，用茎叶图表示如下： 学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的 教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学 生成绩中与其中位数相差在范围内(含)的为合格，此时相 应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优

18、秀，此时相应的给教师赋分为 2分；与中位数之差小于-10的为 不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.(I)问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值 哪个大？(H)是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老 师有关”.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（I）王老师；（H）没有.【解析】【分析】（I）分别计算王老师和赵老师教学绩效考核成绩的期望值，比较即可；（H）可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出 k 值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案.【详解】（I）第一学期的数据为：43 , 44,49,52,53, 56, 57, 59, 62,64,65

19、, 65,65, 68, 72,73,75,76, 78, 83, 84, 87,88,93, 95,其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合 格有5个. 王老师的教学绩效考核成绩的分布列为：-112第二学期的数据为：44 , 49,52,54,54, 58, 59, 60, 61,62,63, 63,65, 66, 67 ,70 ,71,72 , 72 , 73 , 77 , 81 ,88 ,88 , 94 ,其“中位数”为65 ,优秀有5个，合格有15个，不合格有5个,2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创17 / 22.精品文档.赵老师的教学绩效考核成绩的分

20、布列为：-112,所以，王老师的教学绩效考核成绩的期望值较大;(H)由题意得：第一学期第二学期合计优秀8513非优秀172037合计252550,没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”【点睛】本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法 及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方 法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识.20. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1) 求抛物线的方程；(2) 如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】(I) ; (H) 16.【解析】【分析】(I)由抛物线的定义求出，然后求解抛

21、物线的方程;(H)设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式， 以及点到直线的距离求解三角形的面积.【详解】(I)由轴时，抛物线的方程为：；(H)由，可设：，与联立得：,设，贝V，rh.匚口 ，即，与联立得， 点到直线的距离，当(即轴)，取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用， 弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力， 属于中档题21. 已知函数.(1) 求函数的单调区间；(2) 若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】(I)详见解析；(H).【解析】【分析】2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创仃/ 22.精品文档.(I)求出函数的导函数，对 a分类讨论，解不等式即 可得到结果；(n)，构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值 即可.【详解】(I)令,， 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即或时，有两个实数根，若，贝y, ,当时，当时，上单调递减；在上单调递增，若，贝y, ,当或时，当时在，上单调递增；在上单调递减；(n),令，由，得,或(舍去), 令，在上单调递减，,且当时，也取得最小值， 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与 最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题.选考题：共10分，请考生在