极限的运算法则

1、第四节第四节 极限运算法则极限运算法则一、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设证（略）证（略）推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2注意：注意： ”“ )1(0 xx 极极限限过过程程为为, (0 xx或或,0 xx, x, x).x例例1：求求)123(lim21 xxx解解

2、1lim2lim3lim1121 xxxxx)123(lim21 xxx1lim2lim3121 xxxx2123 二、计算函数极限举例例例2 求求21lim22 xxx解解 43)2(lim)1(lim21lim22222 xxxxxxx结论结论1对初等函数求极限时，对初等函数求极限时，能能代尽量代代尽量代例例3 求求221lim2xxx 解解222lim(1)0lim(2)0 xxxx221lim2xxx 0a分子极限不为分子极限不为0 ，分母为无穷小量分母为无穷小量，称之为，称之为 型。型。0a结论结论2），极限为，但并没有到达型（分母为趋于000a例例4 求下列函数的极限求下列函数的极

3、限2221(1)lim31xxxx 2451(2)lim31xxxx 32221(3)lim51xxxxx分析分析: (1)(2)(3)分子分母都是多项式，且都是分子分母都是多项式，且都是无穷大量，属于无穷大量，属于 型未定式。型未定式。 型型未未定定式式可用分子分母可用分子分母同除以同除以未知量中的最高次幂。未知量中的最高次幂。22332351151(3)limlim0112+12xxxxxxxxxxx 解解2222211211(1)limlim13133xxxxxxxx 2244345151(2)limlim011313xxxxxxxxx 32221lim51xxxxx 32221(3)l

4、im51xxxxx注意：注意：为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , , , 0, ,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当当以自然数当以自然数n代替代替x 时也有同样的结论时也有同样的结论!由具体到一般：由具体到一般：用4个字概况这公式：抓大放小抓大放小结论结论3练习练习).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.22143lim65x

5、xxxx 例例5 求求2211143(1)(3)limlim65(1)(5)31lim52xxxxxxxxxxxxx 解解因式分解，消去零因式因式分解，消去零因式 思考题思考题：已知：已知232lim4,3xxxkx 求求 k 的值的值 分子分母都是多项式，且当分子分母都是多项式，且当 分子分分子分母都是无穷小量，不能用商的极限的运算法则。母都是无穷小量，不能用商的极限的运算法则。分析：分析：1x型未定式型未定式 00方法方法:先因式分解，再约分消去先因式分解，再约分消去“零零”因式。因式。3 k, 03232 k结论结论4型未定式对于00例例6 求下列函数的极限求下列函数的极限312(1)l

6、im3xxx 分析分析:3(12)(12)1=lim(3)(12)xxxxx( ) 原式33lim(3)(12)xxxx 312lim412xx解：解：4213(2)lim22xxx 型未定式型未定式含根式的含根式的00对于含有根式的对于含有根式的0/0型，没有相同的零因子，型，没有相同的零因子，创造条件也要整出一个相同的创造条件也要整出一个相同的“零零”因子出来因子出来创造条件方法：创造条件方法：根式有理化根式有理化2231(1) lim (11)31(2)lim()11xxxxxx 4( 213)( 213)(22)(2)=lim(22)(22)( 213)xxxxxxx原式4(2x8)(

7、22)2 2lim3(x4)( 213)xxx例例7 求下列函数的极限求下列函数的极限)( (型未定式型未定式 小结：小结：00首先分子、分母有理化首先分子、分母有理化,再约分再约分4213(2)lim22xxx带根式的带根式的型，型，222222(11)(11)(1)= lim11xxxxxxx原式222lim011xxx2312=lim1xxxx ( 2) 原式2211(1)(2)2limlim1(1)(1)1xxxxxxxxxx2231(1) lim (11)31(2)lim()11xxxxxx 结论结论5对于对于0/0型和型和型先做（2） 通过通过根式有理化根式有理化和和通分通分的的方

8、法创造条件方法创造条件整出整出“0”因子，然后再约分因子，然后再约分。练习练习 求极限求极限xxx11lim) 1 (30.42lim)2(22xxx计算.214121lim42lim)2(222xxxxx.11lim 7.431xxexx计算solution.txxxx1211lim43111lim341 ttt1)1)(1(lim221 ttttt.34 练习练习.lim333axaxax 求求解解:)()(lim3233232aaxxaxaxaxax0 )()(lim3233232aaxxaxax原式原式.lim 8.xxxxexx计算solution. .limxxxxx xxxxxx

9、x lim.21 .lim 9.xxxxnnnnnex计算solution.xxxxnnnnnlim 0 , 1 x0 , 1 x0 , 0 x., , 22lim 10.222baxxbaxxexx求设solution., 024 , ba依题意依题意.24 ab 即即224lim2lim222222 xxaaxxxxbaxxxx则则)1)(2()2()2)(2(lim2 xxxaxxx12lim2 xaxx34a 2 , 2 a. 8 b练习练习., 2)12(lim2babaxxxx、求求设设 解解1112lim2xxbxaxxx左边121lim2xbxbaxax商的商的极限存在，必须极

10、限存在，必须01 a2ba，解得解得1a3b，. .复合函数的极限复合函数的极限二二定理定理2：,)(lim),() 1 ( 00uxgxguxx设,)(lim),()2(0aufufyuu ,)(,) 3(00uxgx的某一去心邻域在).(lim)(lim 00ufaxgfuuxx 则则注：注：.)(lim)(lim :00)(aufxgfuuxguxx 令令应应用用过过程程为为条件（3）的必要性：等号右边没考察u=u0等号左边也不考察u=u0如果条件（3）不成立，则左边考察的情况是u=u0，右边是u不等于u0.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(0000aufxfxxxfa

11、ufauufaxaxxxuauxxauxx 时时的的极极限限也也存存在在，且且当当，则则复复合合函函数数又又，有有定定义义在在点点，而而函函数数即即，时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当运运算算法法则则）设设函函数数定定理理（复复合合函函数数的的极极限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：例例8 8.lim333axaxax 求求解解:)()(lim3233232aaxxaxaxaxax0 )()(lim3233232aaxxaxax原式原式三、小结 思考1. 极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2. 极限求法极限求

12、法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3. 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由