第八章参数估计

1、第八章 参数估计参数估计点估计的概述点估计量的评选标准区间估计单侧置信区间一致性有效性最大似然估计矩估计无偏性两个正态总体的均值差和方差比区间估计一个正态总体均值和方差的区间估计统计推断是数理统计的重要组成部分,它包括统计估计和假设检验两类基本问题.统计估计是根据样本的信息对总体分布的概率特性（如分布类型、参数等）作出估计,统计估计又分为参数估计和非参数估计,本章只讨论参数估计问题.在实际问题中,经常遇到随机变量(即总体)的分布函数的形式已知,但它的一个或者多个参数未知的情形,此时写不出确切的概率密度函数.若通过简单随机抽样,得到总体的一个样本观测值,我们自然会想到利用这一组数据来估计这一个或

2、多个未知参数.诸如此类,利用样本去估计总体未知参数的问题,称为参数估计问题.参数估计问题有两类,分别是点估计和区间估计.第一节 点估计的概述用一个数值估计某个参数,这种估计就是点估计.比方说我们要考察某医院新出生婴儿的男女比例,抽查了100个婴儿,按后估计出这个比例值为0.83,这个比值就是“比例”这个未知数的点估计值.定义8.1 设总体的分布函数形式已知,其中是待估计的参数,点估计问题就是利用样本,构造一个统计量来估计,我们称为的点估计量,它是一个随机变量.将样本观测值代入估计量,就得到它的一个具体数值,这个数值称为的点估计值.一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由大数

3、定理知, 当总体的阶矩存在时,样本的阶矩依概率收敛于总体的阶矩.我们假设总体的分布函数为,其中是待估参数.若总体为连续型随机变量,设密度函数为；若总体为离散型随机变量,设分布律为.是来自总体的样本.假设总体的1阶至阶原点矩都存在,则有（为连续型）或 （为离散型）（其中是所有可能取值的集合）.一般来说,他们是的函数.根据样本矩依概率收敛于总体矩,样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函数,我们可以用样本矩作为总体矩的估计量,而样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量.即 得方程组 解得 称为的矩估计量,这种方法称为矩估计法.相应的估计值称为矩估计值,矩估计量与矩估计值统称为矩估计.例8.1

4、 设总体服从区间上的均匀分布,即密度函数为其中未知,是来自总体的样本,求的矩估计量.解 令解之得的矩估计量为例8.2 设总体服从泊松分布,参数未知,是来自总体的一个样本,求参数的矩估计量.解 总体的1阶原点矩即数学期望为用样本的1阶原点矩（即样本均值）代替总体的1阶原点矩得方程所以的矩估计量为. 矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体服从什么分布.缺点是当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩估计法方程时,选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.二、最大似然估计法先通过一个例子了解一下最大似然估计的基本思想.某同学与一

5、位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的?由于只发一枪便打中,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率, 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想 ：一次试验就出现的事件有较大的概率.即在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个作为的估计.下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论.离散型总体的情形: 设总体的概率分布为其中为未知参数.如果是取自总体的样本,样本的观察值为,则样本的联合分布律对确定的样本观察值,上式是未知参数的函数,记为,并称其为似然函数.连续型总体的情形:

6、 设总体X的概率密度为,其中为未知参数,此时定义似然函数.似然函数的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值的情况下, 则应该选择使达到最大值的那个 作为的估计. 这种求点估计的方法称为最大似然估计法.定义8.2 若对任意给定的样本值, 存在,使 则称为的最大似然估计值.称相应的统计量为最大似然估计量. 它们统称为的最大似然估计.由定义可知,求参数的最大似然估计问题,就是求似然函数的最大值点的问题.因此可以对似然函数关于求导.又由于和有相同的最大值点,故只需求的最大值点即可.这样往往会给计算带来很大方便.在一般情况下, 在最大值点的一阶偏导数为零,此时只需解最大似然方程组即可

7、得参数的最大似然估计.例8.3 设随机变量服从泊松分布,即分布律为.其中是未知参数,求的最大似然估计.解 设是样本的一组观测值.于是似然函数为两边取对数得对数似然函数为令解方程得从而得出最大似然估计为.例8.4 设是来自正态总体的样本,其中是未知参数.求的最大似然估计.解 由已知得样本的似然函数为两边取对数得分别关于和求偏导数,得似然方程组解这一方程组得.由微积分知识易验证以上所求为和的最大似然估计.由上例我们可以总结出求最大似然估计的一般步骤如下：(1) 写出似然函数;(2) 写出对数似然函数,及方程组;（3）解上述方程组得最大似然估计值.值得注意的是,通过取对数得到对数似然方程,进而解对数

8、似然方程组求最大值点的方法并不总是有效的,因此应该具体问题具体分析.例8.5设总体服从均匀分布,即概率密度函数为 求参数的最大似然估计.解 设是来自总体的样本,似然函数为显然关于单调,要使达到最大,就要使达到最小,由于所以的最大似然估计值为的最大似然估计量为. 习题8-1A组1.设总体的分布律为-102其中,求的矩估计.2.一批灯泡的使用寿命的抽取样本如下（单位:h）: 1458, 1395, 1565, 1614, 1351, 1490, 1478, 1382, 1536, 1496试用矩估计法针对这批灯泡的平均寿命及寿命方差做出矩估计. 3.设是来自总体的样本,服从参数为的几何分布,即的分

9、布律为其中未知,求的最大似然估计.4.已知总体的密度函数为 求:(1)参数的矩估计；(2)参数的最大似然估计.B组1. 设总体的分布律为,未知.求的矩估计和最大似然估计.2.设总体的密度函数为 求的最大似然估计.3.已知总体是离散型随机变量，的可能取值为0,1,2,且, (为未知参数).求:(1)的概率分布；(2)对抽取容量为10的样本，其中5个取1,3个取2,2个取0.求的矩估计值和最大似然估计值.4.已知总体的密度函数为 是来自总体的样本,.(1)求的期望（记）;(2)求的矩估计量和最大似然估计量(3)利用上述结果求的最大似然估计量.第二节点估计量的评选标准对于总体的同一个未知参数,由于采

10、用的估计方法不同,可能会产生多个不同的估计量.这就提出了一个问题,当总体的同一个参数存在不同的估计量时,究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题,对此,我们介绍几个常用的评价标准：无偏性、有效性和一致性.一、无偏性在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量与被估参数越接近越好,但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数.于是有无偏估计量的概念.定义8.3 设是未知参数的估计量,若对任意有，则称是的无偏估计量.例8.6 设是来自总体的样本,作为总体均值的估

11、计有, , ,试证,都是无偏估计量.证 因为相互独立且服从同一分布,故有由数学期望的性质知因此,都是无偏估计量.由此可见一个未知数可以有多个不同的无偏估计量.例8.7 设总体的方差存在,试证样本二阶中心矩是总体方差的有偏估计,而样本方差是总体方差的无偏估计.证明 所以是总体方差的有偏估计.而 所以 即而样本方差是总体方差的无偏估计.二、有效性由例8.6可以看出一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数有两个无偏估计量和,我们认为其观测值更密集在参数真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了评价估计量好坏的另一标准有效性. 定

12、义8.4 设和都是的无偏估计量,若对,有,且至少有一个使不等式严格成立,则称比更有效.例8.8 在本节例8.6中,设总体的方差存在,试问,哪一个更有效？解 注意,此处利用了不等式得到了所以是三个估计量中最有效的估计量.三、一致性无偏性和有效性都是针对无偏估计而言的,且都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这样,对一个好的估计量又有下面一致性的要求.定义8.4 设是的估计量,若对于任意,满足对任意,有,则称是的一致估计量.一致估计量的意义在于：只要样本容量足够大,就可以使一致估计量与参数真实值之间的差异大于的概率足够地小,也就是估计

13、量可以用任意接近于的概率把参数真实值估计到任意的精度.一致性是点估计的大样本性质,这种性质是针对样本容量而言,对于一个固定的样本容量,一致性是无意义的.与此相对,无偏性和有效性的概念是对固定的样本而言,不需要样本容量趋于无穷,这种性质也称为“小样本性质”. 习题8-2A组1.设总体的阶矩存在,是来自总体的样本,证明：不管服从什么分布,是的无偏估计量.2.设总体的密度函数为 是来自总体的样本.证明：样本均值是的无偏估计量.3设是的无偏估计,且有.证明：不是的无偏估计.4. 是来自总体的样本,其中未知,令,试证是的一致估计量.B组1. 是来自总体的样本,设.(1)确定常数,使是的无偏估计量.(2)

14、确定常数,使是的无偏估计.2.设和是的两个独立的无偏估计量,假定,求常数,使为的无偏估计量,并使得达到最小.3.设总体,总体,设是来自总体的样本,是来自总体的样本,两样本独立.(1)求参数的一个无偏估计.(2)证明：是的无偏估计.4. 设是来自均匀总体的样本,证明的最大似然估计满足一致性要求.第三节 区间估计前面,我们讨论了参数的点估计,它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数,这个估计值仅仅是未知参数的一个近似值,但其精度如何点估计本身不能回答.实际中，度量一个点估计的精度的最直观的方法是给出一个未知参数的一个区间,这就是我们常常用到的参数的另一种估计形式：区间估计.如估计某人的身高在之间,

15、估计,某项费用在之间等等.一、区间估计问题定义8.5 设总体的分布中含有一个未知参数,和由样本确定的两个统计量.对给定的,如果对参数的任何值,都有 则称随机区间为参数的置信水平为的置信区间,分别称为的双侧置信区间的置信下限和置信上限,称为置信水平或置信度. 当为连续型随机变量时,对于给定的,我们总是可以按要求给出随机区间,使得.而当为离散型随机变量时,对于给定,常常找不到区间,使得恰好为.此时我们去找区间,使得至少为,且尽可能的接近.置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等,均为）,每一组样本值确定一个区间,每个这样的区间要么包含的真值,要么不包含的真值.按伯努利大数定理,在这么多的

16、区间中,包含真值的约占,不包含真值的约仅占.例如：若,反复抽样1000次,则得到的1000个区间中,不包含真值的约为10个.在对参数作区间估计时,常提出以下两个要求：（1）可信度高,即随机区间要以很大的概率包含真值；（2）估计精度高,即要求区间的长度尽可能的小.而这两个要求往往是矛盾的,区间估计的理论和方法的基本问题就是在已有的样本信息下,找出较好的估计方法,以尽量提高可信度和精度.奈曼提出的原则是：先保证可信度,在这个前提下尽量提高精度.例8.9 设总体,已知,未知,是来自总体的样本,求的置信水平为的置信区间.解 我们知道样本均值是总体均值的无偏估计量,的取值大部分集中于附近,显然以很大概率

17、包含的区间也应包含,因此,我们从出发,构造的置信区间.又因为 8.1所以 即 其中是标准正态分布的上侧分位点（如图8.1）,这样我们得到了的置信水平为的置信区间 . 8.2 图8.1由此,我们给出求未知参数的置信区间的具体做法如下：（1）寻找一个样本和的函数,使得的分布不依赖于和其他未知参数,称具有这种性质的函数为枢轴量.（2）对于给定的置信水平,定出两个常数使得 .将 变形为 ,即是的置信水平为的置信区间.需要注意的是,置信水平为的置信区间并不是唯一的.如例8.9中,如果取即,查表可得.于是,我们得到一个置信水平为0.95的置信区间 . 8.3 事实上,对于任意给定的,只要,记相应的上侧和分

18、位点分别为,则所确定的区间都是的置信水平为的置信区间.例如,得置信区间为 . 8.4 那么在众多的区间中,我们应该使用哪一个呢？注意到置信水平相同的区间的长度往往是不同的,例如区间8.3的长度为,区间8.4的长度为,根据我们对置信区间的要求,我们应该在置信水平一定的前提下,选取区间长度最短的那一个区间.二、单个正态总体的区间估计 由于我们遇到的很多总体都是服从或是近似服从正态分布的,且很多统计量的极限分布也是正态分布,因此,我们专门介绍正态总体中的参数和的区间估计.设已给定置信水平,是来自总体的样本.和分别是样本均值和样本方差.1.均值的区间估计（1）已知时,由本节例1中的枢轴量已得到的一个置

19、信水平为的置信区间为. 8.5例8.10 对50名大学生的午餐费进行调查,得样本均值为4.10元,假如总体的标准差为1.75元,求大学生的午餐费的置信水平为0.95的置信区间.解 的置信区间为,.由8.5式得的置信水平为0.95的置信区间为 .（2）未知时,此时不能用8.2式给出的区间,因为其中含有未知参数.考虑到是的无偏估计量,因此将8.1式中的换成,有抽样分布定理知 . 8.6 使用作为枢轴量可得(参见图8.2) 图8.2即 于是得到的一个置信水平为的置信区间为 . 8.7例8.11 为估计一物体的重量,用天平秤了5次,得结果（克）：5.52, 5.48, 5.64, 5.51, 5.43

20、. 假定测量值是正态的,求的一个置信水平为0.95的置信区间.解 由已知 , 所以由8.7式得的一个置信水平为0.95的置信区间为 .2. 方差的区间估计根据实际问题的需要,只介绍未知的情况.是的无偏估计量,因此有抽样分布定理知 . 8.8取作为枢轴量,即得(参见图8.3) 图8.3即 .这就得到方差的一个置信水平为的置信区间为.例8.12从某厂生产的滚珠中随机抽取10个,测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8若滚珠直径服从正态分布,若未知,求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间.解 未知,计算样

21、本方差,置信水平,自由度,查表可得,.则方差的置信水平为95%的置信区间为 即(0.0177,0.1243).三、两个正态总体的区间估计在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布,但由于原料、设备条件、工艺过程的改变等因素,引起总体均值、总体方差有所改变.我们需要知道这些变化有多大,这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计.设与分别来自于两个相互独立的正态总体和的样本,分别是两个样本的均值和方差,给定置信水平.1.两个总体均值的区间估计（1）和均已知因为,分别为和的无偏估计,故是的无偏估计.由于,且和相互独立,所以继而 取为枢轴量,即得到的一个置信水平为的置信区间为 8.

22、9（2） ,未知. 由上一章抽样分布定理知 其中 取为枢轴量,可得的一个置信水平为的置信区间 8.10例8.13某工厂一条生产灯泡的流水线,在工艺改变前后分别抽检若干件产品的寿命,得数据为 改变前：改变后：假定灯泡寿命服从正态分布,且工艺改变前后方差不变,试求工艺改变前后平均寿命之差的置信度为95%的置信区间. 解 所以由8.10式得的一个置信水平为0.95的置信区间为2.两个总体方差比的区间估计我们仅讨论和都未知的情况,由抽样分布定理知 取为枢轴量得(如图8.4) 图8.4即 于是得到的一个置信水平为的置信区间 .例8.14两个相互独立的正态总体,各取样本,求 的置信度为95% 的置信区间

23、.解 的置信区间为习题8-3A组1.设某种油漆的9个样品，其干燥时间（以为单位）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布.(1)若由以往经验，求的置信水平为0.95的置信区间;(2)若未知，求的置信水平为0.95的置信区间.2. 用两种工艺（或原料）A和B生产同一种橡胶制品为比较两种工艺下产品的耐磨性,从两种工艺的产品中各随意抽取了若干件,测得如下数据： 工艺 A：185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40工艺 B：152.10, 139.89, 121.50, 129.96, 154.82,

24、165.60 假设两种工艺下产品的耐磨性和都服从正态分布： (1)建立的置信度为0.95置信区间；(2)建立的置信度为0.95置信区间.3.设某自动包装机包装洗衣粉,其重量服从正态分布,随机抽查12袋,测得重量分别为：1001 1004 1003 997 999 10001004 1000 996 1002 998 999求这批洗衣粉重量方差和标准差的置信区间（）.4.某大学从A、B两市招收的新生中分别抽5名、6名男生,测得身高值如下：A市：172 178 180.5 174 175B市：174 171 176.5 168 172.5 170 设两市学生身高分别服从.求的置信水平为0.95的置

25、信区间.5. 为比较，两种型号步枪子弹的枪口速度,随机的取型号子弹10发,得到枪口速度的平均值为,标准差为；随机的取型号子弹20发,得到枪口速度的平均值为,标准差为.假设两总体都可认为近似的服从正态分布,且方差相等.求两总体均值差的一个置信水平为0.95的置信区间.B组1.一次等级考试,因急于评估试卷质量,教师先随机抽取36份试卷批改,平均分为72分,标准差13.2分,系主任要求在的可信度下,对全体考生的平均成绩做一个区间估计.2.某公司要对下一年职工医疗费情况作个预算,通常医疗费的标准差为120元.现要求在的置信度下,保证所估计的总体平均值在加减40元的范围内.问应该取多大的样本？3.假定吸

26、烟者买烟的月支付近似服从正态分布,一机构随机抽取了容量为26的样本进行调查,得到样本平均值为80元,样本标准差为20元.试以的把握估计全部吸烟者月平均烟钱支出的置信区间.4.随机地从A批导线中抽4根,又从B批导线中抽5根,测得电阻值为:A批导线:0.143 0.142 0.143 0137B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测定数据分别来自分布，且样本相互独立.均未知,(1)未知时,求 的一个置信水平为0.95的置信区间. (2) 求方差比的置信水平为0.95的置信区间.第四节 单侧置信区间前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的,但在有些实际问题,人们所关心的只

27、是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说,平均寿命过长没什么问题,过短就有问题了.这时,可将置信上限取为 +,而只着眼于置信下限,这样求得的置信区间称为单侧置信区间.定义8.6 给定,若有样本确定的统计 ,对于任意满足 称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间,称为的置信水平为的单侧置信下限. 又若统计量,对于任意满足 称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间,称为的置信水平为的单侧置信上限.例8.15 设总体,均未知,设是来自总体的样本.试求和的置信度为的单侧置信区间.解 由有 即 于是得到的置信度为的单侧置信区间 .的置信度为的单侧置信下限为 .又由 有 即 于是得到的置信水平

28、为的单侧置信区间.的置信水平为的单侧置信上限为 .习题8-4A组1.设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入进行调查,现抽取20个家庭,所得的月平均收入（元）,试以的置信度估计该区域职工家庭人均月收入的最低下限为多少？2.从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损实验,直到轮胎行驶的磨坏为止,测得他们的行驶路程（千米）如下： 41250, 41010, 42650, 38970, 40200 42550, 43500, 40400, 41870, 39800.设汽车轮胎行驶路程服从正态分布.求：的置信水平为95%的单侧置信下限.3.设两位化验员A、B独立的对某种聚合物含氯量用相同的方法

29、各做10次测定,其测定值的方差分别为,.设,分别为A、B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态分布,且两样本独立.求方差比的置信水平为0.95的单侧置信上限.B组1. 设总体服从指数分布,其密度函数为 其中未知.从总体中抽取一容量为的样本.若已知. (1)求的置信水平为的单侧置信下限;(2)某种元件的寿命（以小时计算）服从上述指数分布,现从中抽得以容量为16的样本,测得样本均值为5010（），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限.2. 松江A、B两所大学某学期期末高等数学考试采用同一套题目，校认为该校学生高数考试成绩比校学生成绩高10分以上。为了验证这个说法，主管部门从A校随

30、机抽取75人作为样本，测得其分数平均值为78.6分，标准差为8.2分；B校抽取了80个同学作为随机样本，测得分数平均值为73.8分，标准差为7.4分，试在99的把握下确定两校平均分之差的置信区间，根据此置信区间主管部门能够得到什么结论？第八章小结与案例选讲参数估计分为点估计和区间估计.点估计是适当的选取一个统计量作为未知参数的估计.若已经取得样本,将样本值代入估计量,就可以得到估计量的值,用估计量的值作为未知参数的近似值.本章介绍了两种点估计法：矩估计法和最大似然估计法.矩估计法是以样本矩作为总体矩的估计量,而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量,从而得到未知参数的估计.最大似

31、然估计的基本思想：若已观察到样本的样本值,因而取到这一样本值的概率应该是最大的,依此在未知参数的存在空间内挑选未知参数使得取最大值,由此可得到未知参数的最大似然估计.对于一个未知参数可以有多个估计量,因此自然引出比较估计量好坏的问题.本章我们给出评选估计量好坏的三个标准：无偏性、有效性、一致性.点估计不能反映估计量的精度,为此我们引出了区间估计.它的基本思想：预先给定置信水平,求出一个随机区间,使得.意指“随机区间包含未知参数”这一陈述的可信度为.本章还介绍了单侧置信区间.在求矩估计量时,关键是总体矩的计算和样本矩的代入. 总体矩的计算时用到了随机变量的期望及随机变量函数的期望.这就要求我们熟

32、练掌握期望的计算公式.样本矩代入时一定是样本原点矩代替总体原点矩，样本中心矩代替总体中心距,不能混淆.在求最大似然估计时,当似然函数对连续可导时，可由似然方程 求未知参数的最大似然估计;当似然函数对不是连续可导时可从函数的单调性求的最大似然估计,这是容易被忽略的;更要注意的是,似然函数是的函数,我们要选择使得或者取最大值，而是已经给出的观测数据，它是已知的数据，不是选使使得或者取最大值.关键词 矩估计量 最大似然估计量 估计量的评选标准 置信区间 枢轴量 单侧置信上限 单侧置信下限 单个正态总体均值、方差的置信区间 两个正态总体均值差、方差比的置信区间案例分析：案例1 设有外形完全相同的两个箱

33、子,甲箱子有99个白球,1个红球,乙箱子有1个白球，99个红球,现随机的抽取一箱,并从该箱子中任取一个球，结果发现是白球，试推断该球是来自哪个箱子的？分析：我们这里做的是统计推断而不是逻辑推断.所谓统计推断,就是根据已知的部分数据对总体的进行估计的一种推断方法.从部分推断总体,必然伴随着一定的犯错误的概率.因此从逻辑上认起死理来,统计推断似乎因为不太严谨而被排斥在“科学推断”之外了.但是在实际生活中,如果都要按照逻辑推断来思考,那么将会给你的生活带来很大的麻烦.比如出门,则难免会有一定的概率出一定的意外,因此所谓“安全回家”在逻辑上便不再是绝对可靠的，故而你只能选择闭门不出.现在的问题是,仅仅

34、从取出的球是白球这一点是无法从逻辑上严格加以判定该箱究竟是甲箱还是乙箱的.但是如果现在一定要我们做出选择,那么我们只能这样来考虑：从箱中取出的球是白球这一点来看,甲箱和乙箱哪个看上去更像是真正从中取球的箱子？我们这样来分析：如果该箱是甲箱则取得白球的概率为0.99;如果该箱是乙箱,则取得白球的概率0.01.因此,用“该箱是甲箱”来解释所取的球是白球这一事件更有说服力一些,从而我们判定甲箱比乙箱更像一些.最后我们做出推断,这球是从甲箱取出的.案例2 今天社会舆论调查在报纸和其他新闻媒介中已经扮演了一个非常重要的角色,他们收集公众对各种社会、政治和经济问题上的信息,出版摘要报告.这样的舆论调查在民

35、主政治社会中能起到积极的作用.他们可以告诉政治领导人和官僚们什么是公众的需要,什么是公众的爱好.他们也向公众报告新闻,通告公众的想法,或许可帮助在某个重要的问题上明确表现公众的观点.通常以某种特定的统计形式宣布公众舆论调查的结果,同时需要一定的解释.例如,播音员说：赞成总统外交政策的人占42%，正负误差界限为4%.代替给出单个数字,这里播音员给出一个区间（42-4,42+4）=（38,46）.这是如何得到的？如何解释呢？假设所有美国成人中,实际赞成总统外交政策的比率为数值.为了了解的大小,必须接触每一个美国成人,得到他们对“你赞成总统的外交政策吗”这个问题的反映.如果必须要得到一个限时的、迅速

36、的答案,这是不可能的.最好的方法是求出一个接近的估计值.新闻媒介对某一数量的任意选择的个体进行电话采访,得到他们的答案.如果接触了数量为的个体，其中有个人回答赞成，则的估计值可为.当然这样的估计是有一定误差的,因为我们所取的仅仅是某个集合中的样本（美国成人中很小的一部分）.如果接触另外的个人,可能得到不同的估计值.如何求出估计值得误差呢？基于两个统计学家奈曼和阿皮尔森发展起来的理论,我们可以算出一个数字,使得的真实值以很高的概率,一般为95%（或99%）,落于区间之内.也就是说,这个区间不包含真实值的概率仅为5%（或1%），这是小概率事件,在一次实验中几乎不可能发生.第八章总复习题一、填空题1

37、. 总体,是来自总体的样本,则的矩估计量为_,样本的似然函数为_.2.是来自总体的样本,则似然函数为_.3. 在进行区间估计时，若要求的置信水平为95%，则其相应的临界值为_.4. 正态总体方差未知时，在小样本条件下，总体均值在置信水平下的置信区间为_.5. 对于非正态总体，在大样本条件下，总体均值在置信水平下的置信区间可以写为_.二、选择题1. 是来自总体的样本,则可以作为的无偏估计量的是（ ）A B. C. D. 2.设是取自总体的样本,则下面四个均值估计量（ ）最有效.A B.C D. 3.设总体,未知,设总体均值的置信度为的置信区间长度为,则和的关系为（ ）A. 增大,减小 B. 增大,增大C增大,不变 D. 和关系不确定4. 设总体,已知,现在以置信度估计总体均值,下列做法一定能使估计更精确的是（ ）A提高置信度,增加样本容量B提高置信度,减少样本容量C降低置信度,增加样本容量D提高置信度,减少样本容量5.一个95%的置信区间是指（ ）A.总体参数有95%的概率落在这一区间内B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内C.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数三、