函数的单调性89233

1、函数的单调性在2003年抗击非典型性肺炎时,卫生部门对疫情进行了通报.下图是北京市从4月21日至5月19日期间每日新增病例的变化统计图.5月13日以后,形势在逐步好转.实例分析从初中学过的函数y=x2的图象看到：(1)图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大.y=x2xy(2)图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间(-,0上取值时，随着x的增大,相应的y值反而随着下降.对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变量x值的变化情况吗?思考交流怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上,如

2、果对于任意两个数x1,x2a, 当x1x2时, 都有f(x1)f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间a上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间a上是递增的.归纳概括在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上,如果对于任意两个数x1,x2a, 当x1f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间a上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间a上是递减的.怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?归纳概括如果y=f(x)在区间a上是增加或是减少的，那么称a为单调区间单调区间在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1,x2a,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),称函数y=f

3、(x)在区间a上是增加的.在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1,x2a,当x1f(x2),称函数y=f(x)在区间a上是减少的.单调函数如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或减少的,称这个函数为增函数增函数或减函数减函数,统称为单调函数单调函数.如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性单调性.例1 说出函数 的单调区间,并指明在该区间上的单调性.1( )f xx解 (-,0)和(0,+)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数 减少.1( )f xx例题讲解函数 是减函数吗?1( )f xx不是,

4、当x1=-1,x2=1时，有f(x1)f(x2)例2 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以证明.解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图在r上是上升的,函数是r上的增函数.证明:任取x1,x2r,且x1x2,则x1-x20所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)0,即 f(x1)f(x2)由单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是r上的增函数.o 1 2 x21543yy=3x+2例题讲解函数的单调性证明方法练习判断下列函数在给定集合或区间上的单调性:(1)y=-5x,x2,7;(2)f(x)=3x2-6x+1,x(3

5、,4);t12345678t-3-6-9-12-15-18-21 -24t1,2,3,4,5,6,7,8;递减递增递减(3)(4)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点、水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系,那么水流喷出的高度h(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为:2552,0,42hxxx 练习11x/mh/moh00,1递增的51,2递减的补充练习1.求下列函数的单调区间22(1) ( )32;(2) ( )3|;(3) ( )2| 3;9(4) ( )(0).f xxxf xxf xxxf xxxx ,3(1)在 -,上是增函数,23在上是减函数;2(,0,0,)(2)在上是减函数在上是增函数;(3)在(- ,-1,0,1上是增函数;在(-1,0),(1,+ )上是减函数;(0,3(4)在上是减函数(3,+ )上是增函数.补充练习2.证明 在定义域上是减函数.( )f xx 证121221211221( )0,)0,()()()()0()()( )0,).f xxxxxxf xf xxxxxf xf xf x 的定义域为设则在它定义域上是减函数小结函数单调性增函数减函数单调函数函数增减性的证明在y=f(x)的定义域内的一个区间a上，对任意两数x1,x2a,当x1x