数学分析第十七章多元函数微分学

1、式并称则称函数在点高阶的无穷小量是较有关的常数是仅与点其中可表示为处的全增量在点若函数中点对于内有定义的某邻域在点设函数)( . ,)( , ,(1) ),( ),(),( : ),(),()( ,)(),(),( .10220000000000000可微可微定义定义poyxpbaoybxayxfyyxxfzzpfyyxxyxppupuyxpyxfz1 1 ).()()()( :)(0000 xfaxoxaxfxxfxxf其中可微在点(2) . ),(| ,ybxayxfzpfybxayxp0000dd记作的在点为函数的线性函数中关于 全微分全微分(3) , )()(),(),( ,d ,|

2、|,| ,d ,)(000021yybxxayxfyxfzzyxzz即充分小时特别地当的线性主部是可知由.limlim,)(),(),(),(),(010000 (4) :yxyxyxybxaz这里式也写做.),(),( .处的可微性在点考察函数00yxxyyxf1 1 例例).(),()()(,)(0000 xfaxoxaxfxxfxxf其中则可微在点若一元函数 .)(,),(),(式成立则可微在点若二元函数100yxyxf|),(|,)(xoxazx y 得到令式中在01)(),(),(limlim|)(|lim50000000 . xyxfyxxfxzxxoxxxzaxxxxx从而.),

3、(处的导数在的一元函数它是关于00 xxyxfzx)(),(),(limlim6000000 . yyxfyyxfyzbyyy同理.),(处的导数在的一元函数它是关于00yyyxfzy也就是说统称为偏导数 ,. ),( , ),( ,(7) ),(),(limlim ,),( ,),( ,)( ),( .),( 0000000000000000yxxxxxxfyxfxyxfxyxfyxxfxzxyxfdyxdx,y yxfz或记作的关于在称这个极限为函数存在时则当极限的某邻域内有定义在且若设函数偏导数偏导数2 2 定义定义. , 1. 是注意yx .),( . 2 0的定义域是注意yxf: 偏

4、导函数(偏导数)偏导函数(偏导数): 几何意义几何意义yxz0 xytoxt0y0m.)2(1,3)( 224的偏导数和关于在点求函数yxyyxxx,yf2 2 例例./ 的偏导数求函数yxzy3 3 例例.)sin( 2的偏导数求三元函数zexyu4 4 例例).,( ),( (1) , ,),(),( )(00000065yxfbyxfafyxyxfyx式中的且的偏导数都存在在该点关于每个自变量则处可微在其定义域内一点若二元函数下定理式和偏导数定义立得如由可微所推出的 17.117.1 定理定理.),(),(|)(),),(yyxfxyxffyxfyxyx000000002d ( ,可唯一

5、地表示为的全微分在因此.d),(d),(|d ,d ,d 0000),(00yyxfxyxfzyyxxyxyx故全微分可写为因.,),( 在原点的可微性考察函数000222222yxyxyxxyyxf3 3 例例.d),(d),(),(d ,d ,d000000yyxfxyxfyxfffyx为并且上在则称函数上可微在区域若函数全微分全微分可微可微. ) ( , :与导数存在等价但一元函数在一点可微在该点可微也不一定存在函数即使在一点偏导数这个例子说明课堂练习课堂练习: p116, 1(8), 4, 9(2).作业作业: p116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1). ,),(

6、 ,),(),( )(在该点可微则函数处连续在点与且的某邻域内存在偏导数在点若函数可微的充分条件fyxffyxyxfyx00007.27.2 1 1 定理定理 . 7)( )0 , 0( ,)0 , 0(0, 0, 0,1sin)()( , :22222222习题处不连续却在点与但处可微在点例如的必要条件并不是函数在该点可微函数在一点偏导数连续注意yxffyxyxyxyxx,yf.),( ,),(),(续可微连连0000yxfffyxyxfyx在点则称连续与的偏导数在点函数(12) . )(,()(,(),(),( 1,0 , )()( , )(,),( :.21201000000000021

7、7yyxfxxyfyxfyx fyyyx-xxx,yyxfyx使得和则存在属于该邻域若的某邻域内存在偏导数在点设函数式立得如下定理的证明过程中的中值公由定理7.37.3 1 1 定理定理偏导数存在连续可微偏导数连续 .)2(1,)(:的全微分求在的可微性考察xyeyxx,yf练习课堂练习课堂练习: 1. 考察二元函数 , 0, 1, 0,)( 22xyxyyxx,yf在原点的偏导数和连续性。 . )0 , 0( ,)0 , 0(0, 0, 01sin)()( , . 222222222处不连续却在点与但处可微在点又如的必要条件并不是函数在该点可微函数在一点偏导数连续yxffyxyxyxyxx,

8、yf. 0sin , 0 : .y ,dh也就是和曲线的夹角应满足当有切线时，相应割线的切线轴在不平行于在几何上反映为曲线存一元函数可微tpq. ,s , 0 ,q .qs , , : ,为切点处的切平面在点为曲面平面则称恒有时上以任何方式趋近于在若当和的距离分别为和到平面到定点上的动点曲面面的一个平为通过点上的一点是曲面若定义我们引入曲面的切平面与此相仿ppdhpshdppsp 3 3 定义定义.),(),(,(),(0000000可微点在的充要条件是函数轴的切平面存在不平行于在点曲面yxpfyxfyxpyxfzz 定理17.4定理17.4 . )()(,()(,(,00000000oyyy

9、xfxxyxfzzzpfyx则由定义可微在点若函数充分性:证明 ),()y)(,()x)(,( z000000000的切平面。在就是的平面下面证明过pyxfzyyxfxyxfzpyx),(),(1)(,()(,( 0020020000000yxfyxfyyyxfxxyxfzzhyxyx事实上，ptn,),(),(1)(002002yxfyxfoyx ,)()()()(202202020zzzzyyxxd.0 , 0),(),(11)(0002002时当yxfyxfohdhyx yxz 3的切平面。在就是，平面根据定义00000000),()(,()(,(pyxfzyyxfxyxfzyx 必要性

10、（略）。的切平面方程为在点则曲面可微在点若函数:说明定理17.4),(,(),( ,),(0000000yxfyxpyxfzyxpf (13) . )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfz zyxptn),(),( 10000yxfyxfyx法向量为(14) ),(),( ),(,(100000000000zzyxfyyyxfxxyxfyxpyx的法线方程为过切点.)2 , 1 , 1 (22与法线方程的切平面方程在点试求抛物面myxz 6 6 例例例例7 7. .计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设,则yxyxf),(,),(1yxyxyxfxxyxfyyln),(取,

11、 2, 1yx,02. 0,04. 0yx则)02. 2 ,04. 1 (04. 102. 2fyfxffyx)2 , 1 ()2 , 1 ()2 , 1 (.08. 102. 0004. 021课堂练习课堂练习: p116, 12小结小结1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性；2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分；3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；4、知道几何意义，会在几何和近似计算上的应用。 作业作业: p116, 7, 11, 13(1).,),( ),( ),(| )( , (2) )( , (1) )( ),( 11ddtstsytsxx,ydxyx,yfzdsts,

12、tytsx且上平面的区域定义在函数上平面的区域定义在设函数., , .(1) (2)( ),( ),(),( 为函数的自变量的中间变量函数称为其中的为，为是以则函数tsfx,yds,ts,ttsftsfz复合函数内函数外函数(4) ., ,),()( ),(z 数复 ,)( ),(),(),(,),()( ),( .),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tsyxtsyxtstsyxtsyxtstyyztxxztzsyyzsxxzsztss,ttsfs,ttsyxyxfdtss,tytsx且偏导数可微在点合函则可微在点可微在点设函数定理17.5定理17.5公式（4）也称为链

13、式法则链式法则. (z ( ( ).0,0,)0,0,)0,0,.22221111时当时当时当由假设可微知，证明yxyxyxtststsytststsxyzxztysytxsx.,)()211212121tytxyzxzsysxyzxztyyztxxzsyyzsxxztsts (8) (z 其中，代入整理得式成立。法则式及可微定义知，链式由从而时当(4) )8(. 0, 0, 0,0,2211yxts. 0 , 0, 0,),( . , (1) :2222222tyxyxyxyxffyxyx例如，可微但要若求偏导数说明nixumkkufxfxxxxguuuuufikinnkkmm, 2 , 1

14、 ,1 复 ,),(),(,),(),( (2) 1111数偏导数合函则存在偏导数在点可微在点若. , , , ),ln( 222tzsztsyexyxzts求设 1 1 例例.dd ,cos , ,sin xztveutuvzt求其中设 3 3 例例22222 1 ,sin ,cos ),( yuxuurruryrxyxuu证明设 2 2 例例.cossinln)( (2) ; (1) : xxxxyxyx21求一元函数的导数 4 4 例例注意注意: 多元复合函数求导, 关键是理顺复合步骤,分清中间变量与自变量. 当自变量只有一个时,因变量对自变量的导数为全导数.当自变量多于一个时,因变量对

15、自变量的导数为偏导数.复习一元微分法(p100)! quiz:y=e-xarcsin2x,求y.dd),(),(),(),( . 3.dd),(),(),( 2.,),( 1. xuxttxhyyxgzzyxfuxuxzzxyyzyxfuzfyfxfxyzxyxff求设求设求设：补充例题. , , . 1 332321fxyzffxzfxyffyzfyfxf：答案.dddddd . 2 321xzfxyffxu. dd . 3 dxdthygzfxhygzfxgzfdxdthyfxhyfxfdxdthxhygxgzfdxdthxhyfxfxu.ddd ,),(),(yzxzzyxyxfyx得到

16、可微在点一方面，.dd)dd()dd( d)(d)( ddd ,),()( ),(z复 ,),(,),()( ),(syzxztysyztxsxztyzxzsyzxztzszztss,ttsfyxftss,tytsxyxtsytsxtytxsysxt可微在点数合函故可微可微在点另一方面，又这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分，并进而求出偏导数. 例如，.,d ),sin( yzxzzyxezxy求设 5 5 例例课堂练习课堂练习: p123, 1(1)(5), 2.小结小结1、熟练掌握复合函数的求导法；2、了解一阶全

17、微分形式不变性。 作业作业: p123, 1(3)(6), 3, 5. x).,( )(, 00000zyfpflfllprrr或记作 . ,)(),( , ,)(),( .000300000pppulzyxpplrpuzyxpfrr两点间的距离与表示以的任一点内上且含于为出发的射线为从点有定义内的某邻域在点设三元函数1 1 定义定义, ,0lpfrr的沿方向在点则称此极限为函数方向导数方向导数 lim )()(lim 000fpfpfl存在若极限 ; lfxllfxlrrrr轴负向，则为若轴正向，则为若.xfxf.cos,cos,cos,cos)(cos)(cos)()( , ,),( 的方

18、向余弦为方向其中且的方向导数都存在在该点沿任一方向则可微在点若函数lpfpfpfpflfzyxpfzyxlrrr00000000 17.617.6 定理定理.,cos),(cos),()( ),(00000的方向角为平面向量其中则相应地对于二元函数lyxfyxfpfyxfyxlrr.)3 , 1, 3() 1 , 0 , 1 (),( 22的方向导数到从点求qpzxyxzyxf 1 1 例例).,(),2 , 1, 2(,2,23231320pqpqzzfxyfyxxf)cos,cos,(cos. 22)() 1(2)(3231320pflr., 0,0, 1),( 2其它部分考虑xxyyxf

19、 2 2 例例 . ,0lfr但在原点不连续:此例说明. , (2). )(也不是充分条件要条件该点方向导数存在的必函数在一点连续不是在分条件该点方向导数存在的充函数在一点可微只是在1导数。在原点的偏导数和方向：考察22),(yxyxf思考题。存在和各方向导数都为答：在原点的偏导数不1).(),(),(grad . )(),(),(),(),( .00000000000pfpfpffpfpfpfpfzyxpzyxfzyxzyx记作的梯度在点为偏导数，则称向量存在对所有自变量的在点设函数2 2 定义定义.cos)(grad)(grad)cos,cos,(cos 0000pflpfflll，则方向

20、的单位向量为若记梯度的意义：。.)2 , 1, 1 (grad),( 222及其模，求设fzyxzyxf 3 3 例例. 62)2 , 1, 1 (grad,4 , 2, 2)2 , 1, 1 (grad ,2 ,2 ,2,gradffzyxffffzyx解：作业作业: p127, 2, 4.以前的部分作业问题以前的部分作业问题: p104, 1(1)(3)(5),3.;,23,2:),tan().1 ( 12222其它点连续只在无定义点间断yxyxf.0. 0)0 ,( ,sinlimsinlim,)0 ,(0 .sin0 .0, 0| ),( . 0 , 0, 0,sin).3(000)0

21、 ,(),()0 ,(),(000时连续仅在处上点在连续上在事实上，间断点：xxfxxyxyxyxyxyyxyfyyxyxyyyxyfxyxxyx .0,0 ., 0).5( 1事实上，上间断在上连续在为有理点为无理点yyxyxf.),(0),(lim0 0,0lim),(lim ,lim),(lim 00),(),(0 ),(),(0 ),(),(00000000连续时即当且仅当无理点有理点fyxfyxfyyxfyyyxfyxyxyyxyxyxyyxyxyx.)0 , 0(),0 , 0(0),(lim210 .| )1 (lim)(lim21 ).0 , 0(),( , 0)()()(0

22、210 0).( , 0 , 0, 0,)(. 3)0 , 0(),(22022 )0 , 0(),(2/122222222222222点连续在时当且仅当不存在时，当时，当ffyxfpxkxyxxpyxyxyxyxyxxppyxyxyxxfyxpxpkxyyxpppp.(0,0) 0 , 0, 0,1sin),(.17,51222222处的可微性在考察yxyxyxxyyxfp. 0)0 , 0(, 000lim )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(:00yxxxfxxfxff同理解22221sin )0 , 0()0 , 0( yxyxyxyfxffyx).0( , 0222yx),

23、()0 , 0()0 , 0(oyfxffyx.(0,0) 处可微在f一、高阶偏导数一、高阶偏导数).,( ),( ),( ),( :yxfyzyzyyxfxyzyzxyxfyxzxzyyxfxzxzxyyyxxyxx222222二阶偏导数有四种情形.),(),( ),(),( :yxfyxfyxzxzyyxfyxfxzxzxyxxxyxxxx2323223322三阶偏导数有八种情形.)2sin(),(232xyzyxyxfz 的所有二阶偏导数和求函数 1 1 例例.arctan 的所有二阶偏导数求函数xyz 2 2 例例: . , 例如立并不是对所有函数都成这个结论二阶混合偏导数在这两个例子

24、中xyzyxz22 : :注意注意),(),(,),(),(,),(000002222yxyxyxyxxyyxf),(),(,),(),(,)()(),(0000042224224yxyxyxyyxxyyxfx),(),(,),(),(,)()(),(0000042224224yxyxyxyyxxxyxfy,lim),(),(lim ),(10000000yyyfyffyxxyxy1.lim ),(),(lim ),(xxxfxffxyyxyx0000000yxyxfyxxfyyxfyyxxfxyxfyxxfxyyxfyyxxfyyyxfyyxfyxfxyxxyxxyxy),(),(),(),

25、(limlim),(),(lim ),(),(lim1lim),(),(lim ),(0000000000000000000000000000.),(),(),(),(limlim ),( , yxyxfyyxfyxxfyyxxfyxfyxyx000000000000同理 ).,(),(,),(),(),(000000yxfyxfyxyxfyxfyxxyyxxy则连续都在点和若 17.717.7 定理定理. )()(),().,(),()(),(),(),(),(),(000000000000 xxxyxfyxfyyxfxyxfyxxfyyxfyyxxfyxf于是，证明：令). ( 1,0(,

26、),(),(),(),(21201001001010yxyyxxfxyxxfyyxxfxxxyxfxyxx理，得到利用一元函数的中值定). 1,0(,),(),(434030yxyyxxfyxfyx同理，得到取极限，定理得证。从而，, ),(),(40302010yyxxfyyxxfyxxy., . ),(: .:121表示法以及注意原理：求复合函数高阶偏导数ffvfufxfvuffxuvxuuuuu 重点重点. , ),( 222yxzxzxyxyfz求设函数例3例3.,),2( 222yxzfxyxfxz求具有二阶连续偏导数设例3例3.2422222 223 21222 22 2122fx

27、yxyfyfxyffxyyfxyfxzzzzyxxyyxxy 2连续，就有和利用：解法. )5( 1 141 习题p : :课堂练习.348 p见 : :答案二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式.,)(),( ,1 , 0,),(),( ,121121222111 凸区域凸区域为则称都有且对于为区域若ddyyyxxxpdyxpyxpd)8( .),(),( ),(),( ),1 , 0( ,int),(),( , , 2kkbhafhkbhafbafkbhafdkbhaqbapdrdfyx使得则对于内点都可微的所有在上连续在凸开域设二元函数中值定理) )( ( 1 17 7. .8 8

28、 定定理理.10)( (0)(1) ,0,1)(),( )( ），（得到上满足中值定理在则令ttkbthaft 证明定理得证。，以及注意到，kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),( )( ),(),( (0)(1). 10 ,)()()(hhafafhaf.)8( ),1 , 0( ,),(),( ,int ,.int)(),( ),1 , 0(,),(),( , 121121222111成立使得则对于内可微在上连续在而函数都有且对于是闭凸域若dkbhaqbapddfdyyyxxxpdyxpyxpd 推推广广)8( .),(),( ),(),( kkbhafhkbhafbafk

29、bhafyx即注意定理17.8和推广情形的区别，如d为闭圆(闭凸)和闭矩形()。公式（8）也称为二元函数在凸域上的中值公式中值公式；注意它与p.112定理17.3的中值公式（12）的差别: . )(,()(,(),(),(00000yyxfxxyfyxfyx fyx. , , 上为常量在区域则且存在偏导数在区域若函数dfffdfyx0 推论推论.10)(! 21(0)(0)(1) taylor1n)(),( )( ），（中值定理：时的满足假设令 ttkbthaft，以及代入22),(),(2),()(),(),( )( kkbhafhkkbhafhkbhafkkbhafhkbhafyyxyxx

30、yx ).,(),( ),(),(),(2),(! 21 ),(),( ),(),( 2! 2122kbhafkhbafkhbafkkbhafhkkbhafhkbhafkbafhbafbafkbhafyxyxyyxyxxyx就有其中记号其中记号),(bafykxh),(),(bakfbahfyx表示表示),( 2bafykxh),(),(2),( 22bafkbahkfbafhyyxyxx一般地, ),(c)(000)(t kyt hxyxkhtpmpmpmpmppmm),()()0(00)(yxkhmyxm .)( nn-iiinbacniba0二项式定理：将导数公式代入即得二元函数的n阶泰

31、勒公式. 由 的麦克劳林公式, 得 )(t)()0()0()0()0() 1 () 1(!) 1(1)(!1!21 nnnn) 10(11) ).,()!( ),(!),(! ),(),(),( ),( ),(),( ,)(),( kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfpukyhxnpuyxpfnn00100002000000000000011121101使得则对阶的连续偏导数到内有直的某邻域在点若函数泰勒定理) )( ( 17.917.9 定理定理 .),(0),( ,)11(00000m-iiimimimmkhyxfyxcmiyxfykxhnpf其

32、中阶的在点式称为二元函数 泰勒公式泰勒公式.(1.08) ,)(1,4),( 3.96并用它计算泰勒公式二阶的在求yxyxf 4 4 例例, 0)4 , 1 ( ,ln),(, 4)4 , 1 (,),( , 1)4 , 1 (,),( (1,4),( 100yyyxyxyfxxyxffyxyxffxyxfyx，： 解, )(),(!),(),( ),(),( ,)(000000000011oyxfykxhnppyxfkyhxfpukyhxnpufnp则当阶的连续偏导数内有直到在设, 0)4 , 1 (,)(ln),( , 1)4 , 1 ( ,ln),( ,12)4 , 1 (,) 1(),

33、( 2111yyyyyxyyyxyxxyxxfxxyxffxyxxyxffxyyyxf),()4(0)4)(1() 1(6)4(0) 1(41222oyyxxyxxy.3552. 1)04. 0(08. 008. 0608. 041(1.08)23.96解解: 因此,例例5. 求函数的三阶泰勒公式. )0 , 0()1ln(),(在点yxyxf,11),(),(yxyxfyxfyx2)1 (1yxfffyyyxxx,)1 (!2333yxyxfpp3,2, 1 ,0p,)1 (!3444yxyxfpp4,3,2, 1 ,0p)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh)0

34、, 0()(2fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh2)(kh其中)0, 0()(3fkhyx)0 , 0(c333303ppppppyxfkh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx33)(31ryx),()(43khfkhryxykxh44)1 ()(41yxyx) 10(作业作业: p141, 1(2)(7), 2, 6, 7(3).三、极值问题三、极值问题值点.值点.小小极大极大值值小小极大极大 定义定义)( , )( ),()( ),()( ),(),( .)(),( 称为点取得在点则称函数

35、或都有若对于内有定义的某邻域在点设函数000000000ppfpfpfpfpfpuyxppuyxpf例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;2243yxz在点 (0,0) 无极值.yxz 在点 (0,0) 有极大值;22yxz易得和的邻域内考察一元函数的极值点在 ),(),()y,(0yxfyxfxf000. (16), ,(16) .),( ,),( , ,),( )( 稳定点稳定点7.107.10 1 1 定理定理的为则称满足在若函数反之则取极值且在存在偏导数在点设函数极值的必要条件fppfyxfyxf pyxpfyx000000000000证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.

36、取得极值 ,取得极值取得极值故),(),(00yxyxfz在点因00),(xxyxfz在00),(yyyxfz在.)hesse(,)()()()()( ,)(0000000矩矩阵阵黑黑赛赛的称为并记有二阶连续偏导数在假设函数fffffpfpfpfpfppufpyyyxxyxxyyyxxyxxfh. ,)( ; ,)( ; ,)( . ,)(),( 00000000000不取极值在是不定矩阵时当取得极大值在是负定矩阵时当取得极小值在是正定矩阵时则当的稳定点是并且连续偏导数内具有二阶的邻域在点设二元函数pfppfppfpfppuyxpffffhhh定定理理1 17 7. .1 11 10)(1 (

37、)()( 222222yxoqyxoyxqx.xaxxamin,则正定若).(),)(),( )(),(),(2),(! 21 ),(),( 22021222000020000yxoyxpyxyxoyyxfyxyxfxyxfyxfyxftfyyxyxxh证：的极值。讨论：课堂练习)0, 0(22)2( ,32) 1 ( 2222qpqypxzyxz就有规则称矩阵的主子式的符号根据半正定或半负定对 ,. ,0)( )iv(; ,0)( (iii); ,0)( , 0)( (ii); ,0)( , 0)( ) i ( . ,)(),( 0020020020002000000是否取得极值在不能肯定时

38、当不能取得极值在时当取得极大值在时当取得极小值在时当则的稳定点是并且连续偏导数内具有二阶的邻域在点设二元函数pfpfffpfpfffpfpfffpfpfpfffpffppuyxpfxyyyxxxyyyxxxyyyxxxxxyyyxxxx推论推论.200120012001 ，如： . 3),( 33的极值求xyyxyxf 6 6 例例).1 , 1 (),0 , 0(, 033, 033 22得稳定点：由解：xyfyxfyx.)0 , 0( , 090)(. 3,6,6)0 , 0(2不是极值点xyyyxxxyyyxxffffyfxf . 1) 1 , 1 (0,611, 0936)(min)

39、1 , 1 (2ffffffxxxyyyxx），（解解: 显然 (0,0) 都是它们的稳定点 ,并且在 (0,0) 都有 例例7.讨论函数及是否取得极值.在点(0,0)33yxz222)(yxz0)()0 , 0(2xyyyxxfff在(0,0)点邻域内的取值33yxz, 因此 z(0,0) 不是极值.正正负负0可能为因此为极小值.,022时当 yx0)()0 , 0(222zyxz0)()0 , 0()0 , 0(222yxz将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1

40、( p,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 函函数数在在p有有极极值值.将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值. , , ,)( . ,区域的界点上的函数值无偏导点在一切稳定点必须考察与一元函数一样值小上的最大区域在为了求多元函数值一定取得最大值和最小的多元连续函数还知道有界闭区域上部性质极值是函数在某点的局我们知道fdff , ,

41、解解先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxd解方程组解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域d内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f

42、为最小值为最小值.xyo6 yxd解解水箱表面积从而已知设长、宽、高分别是,z,.,xyvxyzvzyx).0 ,0(),11(2)22(yxyxvxyyxxyvxys）唯一稳定点（33222,2 0202vvyvxsxvysyx.4, 1,433yvssxvsyyxyxx. 02)2,2(, 03116v)(332,23322,223333vvsyxsssxxvvvvxyyyxx）（）（,2,2s33）取极小值在（故vv.也是最小值小结小结:1、掌握高阶偏导数的求法；2、了解中值公式和泰勒公式；3、掌握利用极值的必要条件和充分条件求极值。作业作业: p141, 8(3), 9(1), 11.

43、) ,( 自学最小二乘法 1010 例例1、 理解可微和全微分的概念，了解可微的必要条件和充分条件， 了解全微分的几何意义。2、 会求曲面的切平面和法线，会用全微分作近似计算。3、 熟练掌握复合函数的求导法，会用一阶全微分形式不变性。4、 会计算方向导数，梯度及其模。5、 掌握高阶偏导数的计算。6、 掌握中值定理，会用泰勒公式， 掌握极值的必要条件和充分条件，及其应用。: , . 1如偏导连续之间的关系偏导存在连续说明可微. 0, 0, 0,)( 222222yxyxyxxyx,yf.,)0 , 0(但在该点不可微点连续且偏导存在在., 0,0, 1),( 2其它部分xxyyxf.,0)0 ,

44、 0(更不可微但在该点不连续，点各方向导数为在. 0, 0, 0,1sin)()( 22222222yxyxyxyxx,yf.,)0 , 0(该点偏导数不连续但在点可微在. ,),(,),(,)( : .仅在原点连续且可微为其它点为有理点函数试证yxyxyxx,yf0222.,)0 , 0(),(:不可微不连续在解yxf.)0 , 0(, 000 22连续在fyxf, 0)0(0, 0)0 , 0()0 ,(lim)0(0 0,fxfxf,fyxx.),0 , 0(),( , 0)0 , 0()0 , 0( 0 2222在原点可微yxyxyxyfxffyx.),( ,),(,),( .000可

45、微在点求证存在在点连续在点设yxfyxfyxfxy0003, )(),(),( ),(),(),(),(000000000000 xoxyxfyyyxxfyxfyxxfyxxfyyxxffxy :证),(),(),(),(),(00000000 xoyyxfyyxxfyyxfxyxffyyyxyyxfxyxffyx),(),( 0000).0( , 0)(),(),(0000 xoyxfyyxxfyy).(),(),(0000oyyxfxyxffyx.),(00可微在点故yxf.,0, 0| ),(, 0, 0, 0.),(,),( , 0),(.232irdyxyxidyxxx,yfyxfdyxyxfrdx,yfy其中中其它点请考察下例对吗无关与则且内有定义在区域设函数 ,)( ? y ,)( 4., 0) 1, 1 (1,(1,1), 0有关与但连续可微且上答：在yfffffdy. 0, 0, 0),)ln()( ),( ),(),()( . 522222222000000yxyxyxyxx,yfyxfyxfyxx,yfyxxy能否相等。考虑与都不连续，问的混合偏导数在若, 0lnlim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0220022xxxxfxffyxxxx时，当不连续。在和易知时，当)0