15定积分的概念2

1、求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为d dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)d dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积s为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1xixd1lim( )ninisfxx=d1( )niisfxx=d (1)分割分割:在区间在

2、区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban-= 11211,iina xx xxxxb-一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx=-d =小矩形面积和s=如果当n时，s 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 baf (x)dx，即f (x)dx =f (x i)dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积s的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1

3、( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即oabxy)(xfy = s=baf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为

4、 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 s=bav(t)dt。 oab( )vv t=tv定积分的定义：1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即112001( )3sf x dxx dx=根据定积分的定义右边图形的面积为1x yof(x)=x213s =1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt=- =根据定积分的定义左边图形的面积为1.dxxf)(与badxxf)(的差别3定积分的值与积分变量用什么字母表示

5、无关，即有=bababaduufdttfdxxf)()()(4规定： -=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数 是函数badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数注：2 .当xfinid=)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及xi点的取法无关。f(x)a,b(2)定积分的几何意义：ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=

6、b 时，有baf (x)dx=0。 当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yodxxfsba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfsba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-s上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-sab y=f (x)ox y( )yg x=探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中如何用定积分表示图中阴影部分的面积阴影部

7、分的面积?ab y=f (x)ox y1()basfx dx=( )yg x=12( )( )bbaas s sf xdxg xdx= -=-2( )basg x dx=三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x( g)x(fba = =babadx)x( gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x

8、(fdx)x(fdx)x(fox yab y=f (x)性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 130 x d x例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12=xfaxxf解：

9、dxxaa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22-=xfxxf解：dxxa221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3=xfbaxf解：dxaba=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可

10、得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42-=xfxfxxf解：dxxdxxa-=- 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21aaxxxxf=-=0)(1222=-=-aadxxf2-22a1axyf(x)=sinx1-1 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。20sinxdx-212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x21 20 x