高一数学对数函数经典题及详细答案3

1、高一数学对数函数经典练习题一、挑选题：（此题共 12 小题，每道题 4 分，共 48 分，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的）1、已知 3a2 ，那么log3 82log 3 6 用 a 表示是（）a 、 a2b、 5a2c 、 3a1a2d、3aa2答案 a；33 a =2a=log23就: log3 8-2log3 6=log 3 2-2log3 2*3 =3log3 2-2log3 2+log 3 3 =3a-2a+1 =a-22、2logm2 n logmlogn ，就 m 的值为（）naaaa、 1b、4c、1d、4 或 1 4答案 b；2log a m-2n） =l

2、og a m+log a n，22log a m-2n=log a mn），（ m-2n=mn，m2 -4mn+4n2 =mn， 22（两边同除n 2 ） m2m +4=0, 设 x= mm -5mn+4n=0n -5nn222x-5 x+4=0x-2*5 x+25 -2516 =0x-5 2 -9 =0x-5 2 = 34+4242=4222x- 5322x= 53x4n4m即nx1m1又 2log a m2 n log a mlog an ，看出 m-2n>0 m>0 n>0nn m =1 即 m=n舍去，得 m=4n 即 m =4 答案为： 43、已知 x2y21, x

3、0, y0 ，且 log 1xm,log1n,就logy 等于 （）aaa1xa、 mnb、 mnc、 12m nd、 1mn2答案 d；loga1+x=mloga 1/1-x=n，loga1-x=-n两式相加得：loga1+x1-x=m-n loga1-x2=m-n x 2+y 2=1， x>0 ， y>0,y 2=1- x 2logay 2=m-n 2logay=m-nlogay=1 m-n224.如 x 1 ，x 2 是方程 lgx lg3 lg2lgxlg3 · lg2 = 0 的两根，就 x 1 x 2 的值是 a lg3 ·lg2b lg6c6d 1

4、6， 注： lg2答案 d方程 lg 2 x+（ lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为把 lgx 看成能用x，这是二次方程；bx1、x2 x 即（ lgx2 ，这里可lgx1 +lgx 2 = -a= - （ lg2+lg3 ）lg （x1×x 2 ）= -lg（2× 3） lg （ x1×x 2 ） = -lg6=lg1x1 ×611就 x1.x2 的值为 1；x=2665、已知log 7 log 3 log 2x0 ，那么 x2 等于（）a 、 13b 、123c 、122d 、133答案 clog 7 【 log 3 log2 x 】=

5、0 log 3 log2 x=1log 2 x=3x=8311x2 =82 =213132=22 =2 21=2312= 22 =46已知 lg2= a， lg3= b，就lg 12lg 15等于（）a2abb a2bc2abda2b1ab答案 c1ab1ab1ablg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+blg15=lg30 =lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1（注： lg10=1 ）2 比值为（ 2a+b/1-a+b7、函数 ylog2 x 13x2 的定义域是（）a、2 ,13u 1,1b、,12u 1,2c、,31d、,2答案 ayl

6、og2 x 13x2 的定义域是3x20x33212 x10x22 x11x1x2 , x1答案为：2 ,13u 1,8、函数 ylog1 x226x17 的值域是（）a、 rb、 8,c、,3d、 3,1答案为： c ,y=-,-3 x 2-6x+17=x 2-6x+9+8=x-32+8 8 ， log1 = log122=-1 log2 = - log2 -log 2 x单调减log1x单调减log1x-32+8单调减 ., 为减函数22x 2 -6x+17 =x-32+8 ,x 取最小值时 x-32+8 有最大值x-32+8=0 最小 ,x=3,有最大值 8,log1 x-32+8= l

7、og21 8= - log8= -3, 值域 y -3 y=-,-3 注：222y=x-6x+17顶点坐标为（ 3， 8），这个 y 为通用 y9、如 log m 9log n 90 ，那么m, n 满意的条件是（）a、 mn1答案为： cb 、 nm1c 、 0n m1d 、 0mn1对数函数的定义：一般地，我们把函数 y=logax （a 0，且 a 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +），值域是 r；对数函数的解析式： y=logax （ a 0， 且 a 1）；对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1？【在一个一般对数式里 a<0, 或=1 的时候是

8、会有相应 b 的值； 但是， 依据对数定义： log 以 a 为底 a 的对数； 假如 a=1 或=0 那么log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切实数 （比如 log 11 也可以等于2， 3， 4， 5，等等）】分析：依据对数函数的图象与性质可知，当x=9 1 时，对数值小于0，所以得到m 与 n 都大于 0 小于 1，又 log m9<log n9，依据对数函数的性质可知当底数小于1 时，取相同的自变量，底数越大对数值越小，所以得到m大于 nlog m9 0，log n9 0，得到 0m 1， 0 n 1；又 log m9 log n9，得到 m n，m n 满意的条件是0

9、nm 1（注另解： log m9 0， log n90，得到 0 m 1，0 n 1；也可化成logm9=lg 9lg m ，lg 9lg 9lg 911logn9=lg n ，就lg m< lg n<0 由 于 lg9 大 于 0 lg m< lg nn<m,0 n m 1【注：换底公式a,c均大于零且不等于 1】10、2loga31 ，就 a 的取值范畴是（）a、0, 2u 1,2b 、,c 、2 ,1d、0, 2u2 ,33333答案为： a.20<a<1 时就 logax是减函数 , 1=logaa, log a31, 即 loga2/3<lo

10、gaa 2/3>a 此时上面有0<a<1 综述得 0<a<2/3a>1 时就 logax是增函数，loga2/3<1（ 即 log a a）2 2/3<a 此时上面有a>1 综述得取a>1 有效； 0<a< 311、以下函数中，在0,2上为增函数的是（）,a>1a 、 ylog 1 x12b、 ylog2x21c 、 y1log 2xd 、 ylogx2124x5答案为： d；1a、x+1 在（ 0,2 ）上是增函数以 2函数；为底的对数就是一个减函数 复合函数y 就是个减b、x21 在（ 0,2 ）上递增，但又不能

11、取<1 的数， x<1 不在定义域（0,2 ）内不对；这种情形虽然是增，但（0,2 ）内含有 <1 的；1c、x是减函数，以2 为底的对数是个增函数，y 为减函数2d、与 a 相反， x2-4x+5=x-22 +1, 对称轴为2，在（0,2 ）上递减， 以所以 复合函数 是增函数12 的对数也是递减，12已知函数y=log1 ax22x 1 的值域为 r，就实数a 的取值范畴是（）a a 1b0 a 1c 0 a 1d0 a1答案为： c；（注：对数函数定义底数就要>0 且 1 真数 >0）函数 y=log1 ax+2x+1 的值域为r22ax 2 +2x+1 恒

12、>0, 令 gx=ax2 +2x+1, 明显函数gx=ax2 +2x+1 是一个一元二次函数（抛物线） , 要使 gx （即通用的y）恒 >0,必需使抛物线开口向上, 即 a 0同时必需使0（保证抛物线始终在x 轴上方 , 且与 x 轴没有交点 , 这也是不能为0 的缘由） 注：如 <0,抛物线可在x 轴下方 , 且与 x 轴有交点 即 b 2 -4ac=4-4a 0, 解得 a 1；就实数a 的取值范畴是0 a 1；说明：答案是0 a 1, 而不是 0 a1；二、填空题： （此题共4 小题，每道题4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）11log 2 313 运算：

13、log 2.5 6.25 lg100 lne 2=答案为：【注：自然常数e（约为 2.71828 ）是一个无限不循环小数；是为超越数；ln就是以 e 为底的对数； ln1=0 ， lne=1 ；22设 2 1og2 3 =x就由指数式化为对数式可得：logx= log3x=32 1og2 3 =x,又 x=3, 2 1og2 3 =3. 】log 2.5 6.25 lg12100 lne 21log 2 3= log 2.52.5122+ lg103 + lne+2 12 1og2 31=2+-3+21+23=2-3+2+6=5 1；【 注 ： 假 如 是21 1og 2 3， 就1 1og

14、2 3log2 1log 2 32log2 1 3log 2 1 3log 2 32=22=22=22=22 = 3】14、函数ylog x -1 3-x 的定义域是；答案为：（2）要使原函数有意义，就真数大于0，底数大于0，底数不等于1；3x03xx10x11x3, x2函数的定义域为（1， 2）（2， 3）；x11x215、lg 25lg 2glg 50lg 2 2；lg25+lg2· lg50+ （ lg2 ）2答案为： lg2+lg5=1， lg10=12lg25+lg2lg50+lg2=lg52+lg2lg50+lg2lg2=2lg5+lg2lg50+lg2=2lg5+lg

15、2lg5022=2lg5+lg2lg100=2lg5+lg2lg10=2lg5+lg22lg10=2lg5+2lg2=2lg5+lg2=2lg10=216、函数f xlgx21x 是（奇、偶）函数；答案为：第种解： f-x=lgx21 +x=lg （x21 +x）*x21xx21xx2 1x x2 1 x2x2 1x2 x2 1x2=lgx2 1x=lgx2 1x=lgx2 1x= lg1x2 1x =lgx 21 -x1 = -lg（x 21 -x ） = -fx, f-x = -fx是奇函数第种解：f （-x ）+f （x ）= lgx 21 +x+ lg （x21 -x ）= lgx 2

16、1+x（x 21 -x ）=lg （ x 2 +1-x 2 ）= lg1=0, f-x-f x=0,f-x与 f x互为正负数f-x= -fx， f （ x ）为奇函数三、解答题： （此题共3 小题，共36 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）17 已知 y=log a2 ax 在区间 0 ， 1 上是 x 的减函数，求a 的取值范畴答案为：【对数函数含义：一般地，假如 a（ a>0，且 a1）的 y 次幂等于 x，那么数 y 叫做以 a 为底 x 的对数，记作 log ax=y，其中 a 叫做对数的 底数 ， x 叫做 真数 ；y 叫对数 即是幂 ；留意： 负数和 0 没有

17、对数；底数 a 就要 >0 且 1，真数x>0；并且，在比较两个函数值时：a1时假如底数a一样 ，真数 x越大 ，函数值y越大 ；是增函数 ；0a1 时假如底数a一样 ， 真数 x越小 ，函数值y越大 ；是减函数 ；对于不同大小a 所表示的函数图形：关于x 轴对称：以上要熟记】解题： y=log a2 ax 在区间 0 ，1 上是 x 的减函数， a>0，真数（ 2-ax ）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数, 那么对数底a 要是增函数，增减复合才得减，由 函数通用定义知要使函数成增函数必a>1；2又函数定义域：2-ax >0得 ax 2, x a又 a

18、是 对 数 的 底 数a 0且a 1 ； 0,1 区 间 内2-ax递 减 , 当x1取最大时 即-ax最大时， 2-ax 取得最小值，为2-a ；a取最大时2x=1 x a2可得a1, a2. a 的取值范畴1<a<2 ；18、已知函数f x23lg2x，x261 求f x 的定义域； 2 判定f x的奇偶性；解题：【注： 定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数；假如定义域是 全体实数 , 那确定就是关于原点对称了，那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数；假如定义域不是全体实数，比如是全体 正实数 ，那定义域在x 轴的负半轴上都不能取值，当然更谈不上是对称了；再比如定义域是全体负实

19、数 ，那定义域在x 轴正半轴也不能取值，所以定义域也不是关于原点对称；1举个例子： f（ x）= 1 x此题的定义域是x1，那么假如定义域要是关于原点对称，x 也-1 ；再举个例子： f （ x ）=x 的偶次方根，此题的定义域是x 非负， x 非负这个取值 , 关于原点的对称区间是x 非正（没有） ；所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的；】解题：（即 y 值的取值方向固定）（1）设 x 2 -3= t （ t -3 ），f x23lg2xx26x233lg2x33， ft=lgt3t3 ，又x2t由0t33 >0, t>3x233 注：这里x 2 非负 ，x 26f x的定

20、义域为3,；（2）f x 的定义域不关于原点对称x 2 非 负 ，f x为非奇非偶函数；19、已知函数解题：mx2f xlog 3x28 xn1的定义域为r ，值域为0,2 ，求m,n 的值；f （ x ） =logmx 28 x2n 的定义域为r， x 2 +1 0， mx2 +8x+n0 恒成立3x1mx28 xnmx28 xn令 y=x21，函数f （ x）的值域（即log 3x 21）为 0 ， 2 ， 1 y（即mx28 xx21n） 9 ； yx2 +1=mx 2 +8x+nyx 2 +y -mx 2 -8x-n=0（ y-m）.x 2 -8x+y-n=0成立；x r，可设 y-m

21、0，方程的判别式=64-4 （ y-m）（y-n ） 0-16 + （y-m）（ y-n ）0即 y 2 - （ m+n） y+mn-16 0y=1 和 y=9 是方程 y 2 - （ m+n）y+mn-16=0 的两个根，by 1 +y 2 = -a=m+n=10， y 1+y 2 =mn-16=9；m=10-n,10-n n-16=910n-n 2 -25=0n 2 -10n +25=0n-52 =25m=n=5；如 y-m=0，即 y=m=n=5 时，对应的x=0 ，符合条件；综上可得，m=n=5；xx20. 已知 x 满意不等式2logx 2 +7log121 x +3 0，求函数f

22、（ x ） =log 242log 22 的最大值和最 小值；（换元法是必需要有的）求多种方法；解题：第种解 ：设 a = log1 x ，就原不等式22log1 x+7log221 x +3 0 可化为： 2a+ 7a + 3 022a + 3 2a + 1 0a30a2a10aa30a2a10a3无解121313a222 3 a 1 3 log1 x 212 3 log2 x 13log 2log 2 xx123loglog 2 x1122 x2log 2 x322 1 log2 x 3 ；解以上不等式的全部方法中, “因式分解法”较为简便.xf （ x ） =log 24xlog 22=

23、 log2 xlog 2 4× log2 x log 2 2=log2 x 2× log2 x 1设 m = log2 x ,2 1 log2 x 3（已证）2 m 1 ,3 于是问题转化为：求函数 y = fx = m 2 × m 1 的最大值和最小值.这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = fx = m 2 × m 1 y = fx = m2 3m 2 = m2 -6 m+9 - 12442y = fx = m3 2 1其中 m 1 ,3 42考察二次函数y = fx = m32 14224b24开口向上、对称轴为m = 2 a =3

24、、最小值为1 、关键是定义域为m 1 ,3 .2画出二次函数y = fx = m3 2 1 的图像 ,由图知：对称轴在定义域范畴之内,24故当 m = 3时, 函数 y = fx取到最小值1 ；当 m = 3时, 函数 y = fx取到最大值 , 把 m = 3代入二次函数表达式求得该最大值为：22 1 =（ 6 -3 2 1 = 9 14224443 3=2.第种解 ：设 a = log1 x2就原不等式2log1 x+7log221 x +3 0 可化为：22a 2+ 7a + 3 0 （这种基本化解要熟）a + 3 2a + 1 02 3 a 1 同上化得 3 logx 1 同上化得 2

25、122 1 log1222 x 3log 2 log2 xlog122 32 2 x 2 32 x 8 x 2 ,8xf （ x ） =log 24xlog 22=log2 x log 2 4× log2 x log 2 22= log2 x 2× log2 x 1=（ log 2 x） 3 log2 x 2= （ log2 x 3 2 9 2= （ logx 3 2 1242224x 2 ,8而 对称轴 3/2 在定义域 2 ,8 之内；当x =当 x = 8时,fx有最大值 ,3 时,fx有最小值1最大值为：（ log2 8 3 2 1 =332 1= 2.；24242

26、421. 已知 x>0,y0, 且 x+2y=1, 求 g=log解题：第种解 由 x+2y=1, 得：1 8xy+4y2+1 的最小值2y=1-x,8xy+4y 2 +1=4x2y+2y2 +1=4x1-x+ 1-x2 +1=4x-4x 2 +1-2x+x 2 +1= -3x2 +2x+2= -3x2 -2 x+ 1 + 1 +2393= -3x-1 2 + 7 ,333,3当 x= 1 时, 有最大值：7而 y=log1 x 在定义域上是减函数,23,32 当 x= 1 ,y= 1 时log8xy+4y 2 +1 有最小值： log127 =-log1 322 7 - log3 1

27、=log2 3-log2 7.第种解 x+2y=1,8xy+4y 2 +1= x 2 +4xy+4y 2 +4xy-x 2 +1=（ x+2y 2 +4xy-x2 +1=1+4xy -x2 +1= -x2 +4xy+2= -x2 +4x1- 1 x+ 2= -x2 + 2x -2x2 +222=-3x2 +2x+2= -3x22 -31x+ 91+ 3 +21= -3x-37 2 + 3 ,3,3当 x= 1 时, 有最大值：7而 y=log1 x 在定义域上是减函数,2332当 x= 1 ,y= 1 时,log8xy+4y 2 +1 有最小值： log121 7 =-log322 7 - l

28、og3 1 =log2 3-log2 7.22. 已知函数 fx=10x10x10 x；10 x（1）判定 fx的奇偶性与单调性；（2）求f1x【注：反函数一般地，设函数y=fxx a 的值域是c，如找得到一个函数gy 在每一处gy 都等于x，这样的函数x= gyy c叫做函数y=fxx a 的 反函数 ，记作y=f1 x；反函数y=f1 x 的定义域、值域分别是函数y=fx的值域、定义域；一般地，假如x 与 y 关于某种对应关系f （ x ）相对应， y=f （x ），就 y=f （ x ）的反函数为 x=f1 y ；存在反函数 默认为单值函数）的条件是原函数 必需是一一对应的（不肯定是整个数域内的） ；留意：上标 " - 1" 指的并不是幂；在微积分里，f n x 是用来指f 的 n