高一辅导分段函数与单调性打印版

1、1.在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法就，这样的函数叫分段函数.2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集学点一分段函数图象已知函数2xf x1 0x0x0 （1）画出函数的图象； （ 2）求 f1,f-3,f f-3 ,ff f-3 的值 .x0【分析】给出的函数是分段函数，应留意在不同的范畴上用不同的关系式.（1）函数fx 在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的图象作图 .（2）依据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值.方法思想 分类争论思想在分段函数中的应用x2 2x 2， x 0， x2， x>0.如

2、ffa 2，就 a 2021 ·高考浙江卷 设函数fx解析 如 a>0，就 fa a2<0， ffa a4 2a2 2 2，得 a2.如 a0，就 fa a2 2a 2a 121>0 ， ffa a22a 22 2，此方程无解答案 21“f fa 2”，其他条件不变，求实数a 的取值范畴解： 由题意得如 本 例 中 的 “ ff a 2” 变 为f（ a）<0，f（ a） >0，或解得 fa 2.f2（ a） 2f（ a） 2 2 f2（ a） 2，a 0，由a>0，或a2 2a 2 2解得 a2.a2 2，名师点评 1 解答此题利用了分类争论思想

3、，分类争论思想是将一个较复杂的数学问题分解 或分割 成如干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略因 fx 为分段函数，由于fa和 a 正负不确定，应分情形争论2 求解过程中，求出的参数的值或范畴并不肯定符合题意，因此要检验结果是否符合要求32021 榆·林模拟 已知 fx12x 1，x 0，（ x 1） 2， x>0，使 f x 1 成立的 x 的取值范畴是3由题意知x 0，1或2x 1 1x>0，（ x 1） 2 1，解得 4 x 0 或 0< x2，故 x 的取值范畴是 4， 2x2 4x 6， x05 设函数 f x x 6， x>

4、;0，就不等式fx< f 1的解集是 a 3， 1 3， b 3， 1 2， c 3， d ， 3 1， 3解析： 选 a. f 1 3，f x<3 ，当 x 0 时，x2 4x 6<3，解得 x3， 1；当 x>0 时， x 6<3，解得 x3， ，故不等式的解集为 3， 1 3， ，应选 a.7如函数 f x在闭区间 1， 2上的图象如下列图，就此函数的解析式为 22解析： 由题图可知，当1 x<0 时， f x x 1；当 0 x 2 时， fx 1x，所以 fxx 1， 1 x<0 1x， 0x 2 .2答案： fxx1， 1 x<01

5、x， 0 x 2 23定义新运算“”：当 a b 时，ab a；当 a<b 时， a b b2.设函数 fx 1 xx2 x， x 2， 2，就函数fx的值域为 x 2， x 2，1 ，解析： 由题意知fxx3 2， x（ 1，2 ，当 x 2， 1 时， fx 4， 1 ；当 x 1， 2 时， fx 1， 6 故当 x 2，2 时， fx 4， 6 答案： 4， 6学点三分段函数的解析式如下列图，等腰梯形 abcd 的两底分别为 ad=2,bc=1, bad=45 ° ,直线 mn ad 交 ad 于 m, 交折线 abcd 于 n,记 am=x ，试将梯形 abcd 位于

6、直线 mn 左侧的面积 y 表示为 x 的函数 ,并写出函数的定义域和值域 .【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键 ,依据题意 ,此题应对 n 分别在 ab ， bc ， cd三段上分三种情形写出函数的解析式 .如下列图 ,在边长为 4 的正方形 abcd 的边上有一点 p,沿着折线 bcda 由点 b 起点 向点 a 终3点 运动 .设点 p 运动的路程为x, abp 的面积为 y.1 求 y 与 x 之间的函数关系式;2 画出 y=fx 的图象 .1.怎样正确地懂得分段函数？对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法就的函数，称为分段函数， 不能认为它是几个函数， 它只是一个函数的

7、表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用“ ”表示出各段解析式关系.2.如何加强对分段函数的熟悉？第一对分段函数的定义要懂得并把握，其次从简洁的分段函数入手多熟悉、多识记.教材中通过例题的形式给出了“分段函数”的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法就可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时， 既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等.映射两集合a、b函数映射设 a， b 是两个非空的数集设 a， b 是两个非空的集合对应关系f：a b名称假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合a 中的任意一个数 x，在集合b 中都有唯独确定的数

8、fx和它对应称 f： a b 为从集合a 到集合b 的一个函数假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合a 中的任意一个元素 x，在集合b 中都有唯独确定的元素y 与之对应称对应 f：a b 为从集合a 到集合 b 的一个映射记法y fxx a对应 f：a b 是一个映射1易混“函数”与“映射”的概念：函数是特别的映射，映射不肯定是函数，从 a 到 b的一个映射， a、b 如不是数集，就这个映射便不是函数2021 长·春模拟 以下对应关系： a 1 ，4， 9 ， b 3， 2， 1，1， 2， 3 ， f： x x 的平方根； a r， b r， f： x x 的倒数； a r， b

9、 r， f： x x2 2； a 1， 0， 1 ， b 1， 0， 1 ， f ：a 中的数平方 其中是 a 到 b 的映射的是 a bcd答案： c1已知 a， b 为两个不相等的实数，集合m a2 4a， 1 ，n b2 4b 1， 2 ， f： x x 表示把 m 中的元素x 映射到集合n 中仍为 x，就 a b 等于 a 1b 24c3d 4解析： 选 d. 由已知可得m n，a2 4a 2故a2 4a 2 0，.b2 4b 1 1b2 4b 2 0，所以 a， b 是方程 x2 4x 2 0 的两根，故a b4.例5 ： 已 知 ： 集 合 m a,b, c， n1,0,1， 映

10、射f : mn满 足f af bf c0 ，那么映射f : mn 的个数是多少？思路提示：满意f af bf c0 ，就只可能 0000110 ，即f a 、f b 、 f c 中可以全部为 0 ，或 0,1, 1各取一个解：f an,fbn,f cn ，且f af bf c0有 00001 10 当 f af bf c0 时，只有一个映射；当 f a、f b、f c 中恰有一个为 0 ，而另两个分别为 1， 1时，有 326 个映射因此所求的映射的个数为167 评注：此题考查了映射的概念和分类争论的思想例 9集合 a3, 4 ，b5,6 , 7，那么可建立从a 到 b 的映射个数是 ，从 b

11、到 a 的映射个数是 答案： 9 , 8提示：从 a 到 b 可分两步进行： 第一步 a 中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应5 或 6 或 7），其次步 a 中的元素 4 也有这 3 种对应方法 就不同的映射种数n1339 反之从 b 到 a ，道理相同，有n22228种不同映射例 10假如函数f x xa3 对任意xr 都有f 1xf 1x ，试求f 2f 2 的值解：对任意xr ，总有f 1xf 1x ，当 x0 时应有f 10f 10 ，即 f 1f 1f 10又 fx xa 3 ，f 11a 3 故有 1a30（，就 a1 f x x13 f 2f 2213 213265函数相

12、等问题2 下面各组函数中为相同函数的是 a fx（ x 1） 2， gx x 1bf xx2 1， gx x 1·x 1cf x ln ex 与 gx eln x0d fx x0 与 g x 1x解析： 选 d.函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项a ，fx|x 1|与 gx对应关系不同，故排除选项a ，选项 b、 c 中两函数的定义域不同，排除选项b、c，应选 d. fx|x|与 g x x1，（ x0）表示同一函数； 1，（ x 0）1.有以下判定：函数 y fx的图象与直线x 1 的交点最多有1 个； fxx 2 2x 1 与 gt t2 2t 1 是同一函数；1如 fx

13、 |x 1| |x|，就 f f 2 0.其中正确判定的序号是 解析： 对于 ，由于函数f x |x |的定义域为 x|x r且x 0 ，而函数gx x1，（ x0） 1，（ x 0）的定义域是r ，所以二者不是同一函数；对于 ，如 x 1 不是 y fx定义域内的值， 就直线 x 1 与 y f x的图象没有交点， 如 x 1 是 y f x定义域内的值， 由函数的定义可知， 直线 x1 与 y fx的图象只有一个交点， 即 y fx的图象与直线 x 1 最多有一个交点；对于 ， fx与 g t的定义域、值域和对应关系均相同，所以 fx与 gt表示同一函数；对于 ，由于 f 1 211 1

14、21 0，2 f f2 f0 1.综上可知，正确的判定是 ， .答案： 6一函数？为什么？x 1f1： yx； f2： y 1.以下给出的同组函数中，是否表示同2f1： y f2：1， x 1，2， 1<x<2，3， x 2；xx 11<x<2x2y1233f1： y 2x； f2：如下列图解1 不同函数 f1x的定义域为 xr|x 0 ， f2x的定义域为r.2同一函数， x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式3同一函数理由同2规律方法 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完

15、全相同时，才表示同一函数另外， 函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：fx2x 1， gt 2t 1， hm2m1 均表示同一函数7函数单调性问题1单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数fx的定义域为i，假如对于定义域i 内某个区间d 上的任意两个自变量的值x1， x2定义当 x1<x2 时，都有 fx1<f x2，那么就说函数fx在区间 d上是增函数当 x1<x2 时，都有fx1>f x2，那么就说函数fx在区间 d 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的【摸索辨析】判定下面结论是否正确请在括号中打“”或“×”1

16、 函数 y 1的单调递减区间是， 0 0， × x2 对于函数fx，x d，如 x1，x2d ，且 x1 x2 · fx1 fx2>0，就函数fx 在 d 上是增函数 3 函数 y |x|是 r 上的增函数×4 函数 y fx在 1 ， 上是增函数，就函数的单调递增区间是1 ， ×5 函数 fx log5 2x1的单调增区间是0， × 1 x26 函数 y 1 x2的最大值为1.1 2021 ·北京 以下函数中，在区间0， 上为增函数的是 a yx 1b y x 12 xc y 2答案ad y log 0.5x 1解析a 项，函

17、数yx 1在 1， 上为增函数，所以函数在0， 上为增函数，故正确； b 项，函数y x 12 在 ， 1上为减函数，在1 ， 上为增函数，故错误； x 1x 在 r 上为减函数， 故错误； d 项， 函数 y logc 项，函数 y220.5x 1在 1， 上为减函数，故错误4已知函数fx x2 2ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，就实数a 的取值范畴为 答案， 1 2 ， 解析函数 f x x2 2ax3 的图象开口向上，对称轴为直线x a，画8出草图如下列图由图象可知函数在 ，a 和 a， 上都具有单调性，因此要使函数fx在区间 1,2上具有单调性，只需a1 或 a 2，从而 a

18、， 1 2 ， .题型一函数单调性的判定例 11 判定函数fxaxx2 1a>0 在 x 1,1上的单调性2 求函数 yx2 x6的单调区间解1 设 1<x1<x2<1，就 fx f x ax1 ax2x22121 1x2 1ax1x2 ax1 ax2x2 ax2a x2 x1x1x 2 1212222.x1 1x2 1 1<x1<x2<1，x1 1x2 1x2x1>0， x1x2 1>0， x2 1x2 1>0.12又 a>0， fx1 fx2>0 ，函数 fx 在 1,1上为减函数2 令 ux2 x 6， yx2 x

19、6可以看作有yu与 u x2 x 6 的复合函数由 u x2 x 60，得 x 3 或 x 2.u x2 x 6 在 ， 3 上是减函数，在2 ， 上是增函数，而yu在0 ， 上是增函数yx2 x 6的单调减区间为 ， 3 ，单调增区间为2 ， 思维升华1 对于给出详细解析式的函数，证明或判定其在某区间上的单调性方法：利用定义 基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论求解；仍可以利用图象敏捷解决部分客观题目2 复合函数y f g x的单调性规律是“同就增， 异就减 ” ，即 yf u与 u gx如具有相同的单调性，就y f gx为增函数，如具有不同的单调性，就y f gx必为减函数1判定

20、函数fx xaa>0 在0， 上的单调性x解1设 x1， x2 是任意两个正数，且0<x1<x2，a就 fx1 f x2 x1 x1x1x2x1x2 x1x2 aa x2 x2当 0<x1<x2a时， 0<x1x2<a，又 x1 x2<0，所以 f x1 f x2>0，即 fx1>f x2，9所以函数fx在0，a 上是减函数； 当ax1 <x2 时， x1x2>a，又 x1 x2<0 ，所以 f x1 f x2<0，即 fx1<f x2，所以函数fx在a， 上是增函数综上可知，函数fxx aa>0在

21、0，a上是减函数，在a， 上为增函数x题型二利用单调性求参数范畴例 21 假如函数fx ax2 2x3 在区间 ， 4上是单调递增的，就实数a 的取值范畴是11a a> 4b a 41c 4 a<0d2 a x1， x<1 ，1a 04f x1 f x22 已知 fxax， x 1，满意对任意x1 x2，都有x1 x2>0 成立，那么a 的取值范畴是 ，答案1d2 322解析1当 a 0 时，fx 2x 3，在定义域 r 上是单调递增的，故在 ，4上单调递增；，当 a 0 时，二次函数f x的对称轴为x 1a由于 f x在 ， 4上单调递增，所以 a<0，且 1a

22、4，解得 14a<0.综合上述得 1 a 0.42 由已知条件得fx为增函数，2 a>0 ， a>1，2a × 1 1a，3解得 a<2， a 的取值范畴是 23， 22思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范畴要留意以下两点： 如函数在区间 a，b上单调， 就该函数在此区间的任意子区间上也是单调的； 分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，仍要留意连接点的取值1如 fx x2 2ax 与 gx a在区间 1,2 上都是减函数，就a 的取值范畴x 1是10a 1,00,1b 1,0 0,1c 0,1d 0,1axx>1 ，2 已知 fxa42 x 2x

23、1是 r 上的增函数，就实数a 的取值范畴为 a 1， b 4,8c 4,8d 1,8答案1d2b解析1由 fx x22ax 在 1,2上是减函数可得1,2. a， ， a 1.y1在 1， 上为减函数，x 1由 gxa在1,2 上是减函数可得a>0，x 1故 0<a 1.2 由于 fx是 r 上的增函数，所以可得a>1 ，a 4 2>0，aa 42 2.解得 4 a<8，应选 b.题型三利用函数的单调性求最值例 3已知定义在区间0， 上的函数fx满意 f x1x21 求 f1 的值；2 证明： fx为减函数；fx1 f x2，且当 x>1 时， fx<

24、;0.3 如 f3 1，求 f x在2,9 上的最小值1 解令 x1 x2>0 ，代入得 f1 fx1 fx1 0，故 f 1 0.x12 证明任取 x1， x2 0， ，且 x1>x2，就 x2>1，由于当 x>1 时， fx<0，所以 f x1x2<0，即 fx1 f x2<0 ，因此 fx1<f x2，所以函数fx在区间 0， 上是减函数3 解fx在0， 上是减函数f x在2,9 上的最小值为f9 11x1由 f x29 fx1f x2得，f 3 f 9 f3 ，f 9 2f3 2.即 fx在2,9 上的最小值为2.思维升华1 抽象函数的单

25、调性的判定要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1， x2 在所给区间内比较f x1 fx2 与 0 的大小，或 f x1f x2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如xx1 1 x2·x21 x2x1 x2 等； 2求函数最值的常用方法：或 x单调性法； 基本不等式法；配方法； 图象法12 函数 fx在区间 a， b上的最大值是1，最小值是 1，就 ab x 132 易知 fx在a， b上为减函数，f a 1，1 1，1f b ，a 1即11a 2，b 4. a b6.33 ，b 1利用函数的单调性解不等式典例： 14 分 函数 fx对任意的 m、nr

26、，都有 f m n f m f n1，并且 x>0 时，恒有fx>1.1 求证： fx在 r 上是增函数；2 如 f3 4，解不等式fa2 a 5<2.思维点拨1对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义 应当构造出fx2 fx1并与 0 比较大小 2将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性 “ 去掉 ” 是此题的切入点要 构造出 fm <fn的形式规范解答1 证明设 x1， x2 r，且 x1<x2， x2 x1>0， 当 x>0 时 ， f x>1 ， f x2 x1>1. 2 分 fx2f x2x 1 x1f x2 x1 fx1 1

27、， 4 分 f x2 fx1 fx2 x1 1>0 . fx1< fx2，f x在 r 上为增函数 6 分2 解m，n r，不妨设 m n 1，f 1 1 f1 f1 1. f2 2f1 1， 8 分 f3 4. f2 1 4. f2 f1 1 4. 3f1 2 4，12f 1 2， fa2 a5<2 f1 ， 11 分f x在 r 上为增函数， a2 a 5<1 . 3<a<2 ， 即 a 3,2 14 分解函数不等式问题的一般步骤：第一步： 定性 确定函数fx在给定区间上的单调性； 其次步： 转化 将函数不等式转化为fm <f n的形式；第三步：

28、去 f 运用函数的单调性“去掉 ” 函数的抽象符号“ f” ，转化成一般的不等式或不等式组；第四步： 求解 解不等式或不等式组确定解集；第五步： 反思 反思回忆查看关键点，易错点及解题规范温馨提示此题对函数的单调性的判定是一个关键点不会运用条件x>0 时， fx >1，构造不出 f x2 f x1 fx2 x1 1 的形式， 便找不到问题的突破口其次个关键应当是将不等式 化为 fm <fn的形式解决此类问题的易错点：忽视了m 、n 的取值范畴，即忽视了fx 所在的单调区间的约束.利用定义证明或判定函数单调性的步骤1 取值； 2 作差； 3定量； 4 判定 2判定单调性的常用方

29、法：定义法、图象法 失误与防范1 区分两个概念：“ 函数的单调区间” 和 “函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的 “ 最大 ” 的区间，后者是前者“ 最大 ” 区间的子集2如函数在两个不同的区间上单调性相同，就这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f x在区间 1,0上是减函数，在0,1上是减函数，但在 1,0 0,1 上却不肯定是减函数如函数f x 1.xa 组专项基础训练时间： 40 分钟 1以下函数中，在区间0， 上为增函数的是 a y ln x 2b yx 1c y12xd y x1x答案a解析 函数 y ln x 2在 2， 上为增函数，13在 0， 上也是增函数2已知

30、函数fx 2ax2 4a3 x5 在区间 ， 3上是减函数， 就 a 的取值范畴是44a 0， 3b 0， 3c 0 ， 3d 0， 34 4答案d解析当 a 0 时， fx 12x5，在 ，3上是减函数，当 a 0 时，由a>0， 4 a 34a 3，得 0<a 3，4.综上 a 的取值范畴是0 a 3414已知 fx为 r 上的减函数，就满意f x >f1 的实数 x 的取值范畴是 a ， 1b 1， c ， 0 0,1d ， 01， 答案d解析依题意得 1<1，即 x 1>0，xx所以 x 的取值范畴是x>1 或 x<0.6已知函数fxx2 2x 3，就该函数的单调增区间为 答案3 ， 解析设 t x2 2x 3，由 t 0，即 x2 2x 30，解得 x 1 或 x 3.所以函数的定义域为 ， 1 3 ， 由于函数t x2 2x 3 的图象的对称轴为x 1，所以函数在 ， 1 上单调递减，在3 ， 上单调递增又由于yt在0 ， 上单调递增所以函数fx的增区间为 3 ， 7已知函数 f x为0， 上的增函数， 如 fa2 a> fa 3，就实数 a 的取值范畴为 答案 3， 1 3， a2 a>0，解析由已知可得a 3>