自动控制理论：第5章 频域分析法

1、机械工业出版社机械工业出版社自动控制原理25.1 概述概述5.2 频率特性的概念频率特性的概念5.3 频率特性的图示方法频率特性的图示方法5.4 频域稳定性判据频域稳定性判据5.5 控制系统的稳定裕度控制系统的稳定裕度5.6 控制系统的闭环频率特性控制系统的闭环频率特性5.7 频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系第5章 频域分析法自动控制原理3IntroductiontsinA) t (rr 设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1

2、 =0.5=1=2=2.5=4不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。输入输入输出输出输入输入输出输出决然不同的输入，决然不同的输入，为什么为什么尽会得到如此相似的输出尽会得到如此相似的输出! !？40一个系统的一个系统的频率响应特性频率响应特性被定义为系统对被定义为系统对正弦输入正弦输入信号的信号的稳态响应稳态响应。正弦信号是一种独特的输入信号。正弦信号是一种独特的输入信号, 对于对于线性系线性系统统而言，在而言，在稳态情况下正弦稳态情况下正弦信号产

3、生的信号产生的输出输出信号信号,以及以及整整个系统的信号个系统的信号都是都是正弦信号正弦信号；与输入波形相比只；与输入波形相比只振幅振幅和和初初相位相位的的不同不同。 The frequency response of a system is defined as the steady-state response of the system to a sinusoidal input signal. The sinusoid is a unique input signal, and the resulting output signal for a linear system, as we

4、ll as signals throughout the system, is sinusoidal in the steady state; it differs from the input waveform only in amplitude and phase angle.自动控制原理4n1 研究的问题仍然是系统的稳定性stability、快速性rapidity、准确性accuracy 。n但在时域分析中：独立变量independence variable为时间t, 1(t)为基本输入信号n而在频域分析中：独立变量为输入信号的频率, sint 为基本输入信号n2 研究的依据是又一种数学

5、模型频率特性frequency response。Introductionn3 研究的方法是通过系统的开环频率特性，用图解graphical的方法间接地分析闭环系统的性能performance。频率特性有确切的物理意义physical meaning ，它不仅可通过解析analytical的方法得出，也可通过实验experimental的方法得出（对稳定系统），因此工程上获得广泛应用。自动控制原理55.2 频率特性频率特性Frequency Response5.2.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 首先以图RC网络为例，说明频率特性的概念。 RC网络的输入和输出的关系可由下面微分方程描

6、述 式中，T=RC为时间常数。网络的传递函数为 11)()(TssUsUrcrccuutuTddRC tur tuc自动控制原理6设输入是一个正弦信号sinusoidal signaltAtursin)( 可得2211)(11)(sATssUTssUrc取拉普拉斯反变换，得输出信号 )arctansin(1e12222TtTATTAuTtc式中第一项为输出的瞬态分量，第二项为稳态分量。随着t 趋于无穷大，瞬态分量趋于零，于是)arctansin(1lim22TtTAuct)arctansin(1)(22TtTAtucRC tur tuc0 tr tc自动控制原理7如果取s=j代入，则)arct

7、ansin(122TtTAucTjTTjTjTjarctan22e11111111 该式能完全描述RC网络在正弦函数作用下稳态输出的幅值和相位随输入频率变化的情况。因此，将 称做该RC网络的频率特性。 表列出了表列出了RC网络幅频特性和相频特性的计算数据网络幅频特性和相频特性的计算数据11Tj根据表中数据绘制的幅频特性曲根据表中数据绘制的幅频特性曲线和相频特性曲线如下：线和相频特性曲线如下：11)()(TssUsUrc自动控制原理85.2.2 频率特性的求取频率特性的求取假定输入信号r(t)为tAtrsin)(一般线性定常系统如图)()()(sGsRsC系统的传递函数为)(sin)(22jsj

8、sAsAtALsR)()()()()(2121nmsssssszszszsKsG式中-z1， -z2 ,-zm是传递函数G(s)的零点，-s1, -s2 , -sn 是传递函数G(s)的极点。这些极点可能是实数，也可能是共轭复数，对于稳定系统，它们都具有负实部。)()()()()(2121jsjsAsssssszszszsKnmC(s)=G(s)R(s)= 系统输出c(t)的拉普拉斯变换为n m 自动控制原理9nnssbssbssbjsajsasC2211)(展成部分分式为进行拉普拉斯反变换，可得系统对正弦输入信号r(t)的响应为nitsitjtjibaatc1eee)(稳态响应tjtjssa

9、atcee)(aa式中的系数和求得如下。即jAjGjsjsjsAsGajs2)()()()(jAjGjsjsjsAsGajs2)()()()()()()()()(2121jsjsAsssssszszszsKnmC(s)=G(s)R(s)= 自动控制原理10)sin()sin()(2ee)(e )(e )(2)()()(tBtjGAjjGAjGjGjAtctjtjtjtjss系统对正弦输入信号的稳态响应特性，称为频率特性。jjGjjGjGjGe)(e)()()(系统的频率特性G(j)可以通过系统的传递函数G(s)来求取，即jssGjG)()(这里的结论与RC网络讨论的结果一致。代入：tjtjss

10、aatcee)(jAjGa2)(jAjGa2)(频率特性The frequency response幅频特性 The amplitude frequency response)()(jGABA相频特性 The phase frequency response)()(jGrctAtrsin)(均为角频率 的函数自动控制原理11)(jG)j ( 结论结论 ,)()()(sRsCsG ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定)(jG)(jG)(jG)(jG ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定)j ( sinAro25t tsinAr ) t (r)25tsin(Aor ) t ( rtsi

11、nAr ej ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定 ) t (r)10tcos(Aor )j ( )j ( cosAro10t 输出幅值与输入幅值输出幅值与输入幅值之比之比为为幅频幅频特性特性称为称为频率特性频率特性)j ( 输出相角与输入相角输出相角与输入相角之差之差)j ( 为为相频相频特性特性 )( )(A)j ( )j ()j ( ej, ,当系统稳定时当系统稳定时 ) t (c) t ( r) t (essss或或tsinAr ) t ( r若若tsinAr ) t (ess则则tsinAr )j (er )( jer)j ( )j ( tsinAr )j (tcosA)j (

12、) t (ccnncnssn 则则 ) t (essn而而)j (tcosA)j (cnncn E(s)R(s) ) s (er单单位位反反馈馈时时自动控制原理125.3 频率特性的图示方法频率特性的图示方法 Presenting Frequency response Characteristics in Graphical Forms频域分析法是一种图解方法，采用频域法分析闭环系统的特性时，通常需画出系统开环频率特性曲线。频率特性的图示方法主要有三种:1. 极坐标图Nyquist plots, or polar plots2. 对数坐标图Bode plots, or logarithmic

13、plots3.对数幅相图Log-magnitude-versus-phase diagram, or Nichols chart自动控制原理135.3.1 极坐标图极坐标图polar plots( Nyquist plots) 频率特性G(j)是频率 的复变函数，其模|G(j)|与相角G(j)可以在复平面上用一个矢量vector来表示。当频率从 变化时，矢量端点terminal point of the vector的轨迹locus就表示频率特性的极坐标图。极坐标图又称幅相图或奈魁斯特(Nyquist)图。在极坐标图上，规定矢量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角，且按逆时针方向为正进行计算。

14、 0 )()(ImRejGjGAjjGej频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性 ReImImRe22arctgjGjGA 0 jG 1Re 1A 1 1jG 1Im j自动控制原理141.典型环节频率特性的极坐标图典型环节频率特性的极坐标图 Polar plots of the typical components1)1)比例环节比例环节 ProportionalKjGK0RejImjG 0 KA幅频特性和相频特性都是常量，分别为K及0，不随频率 变化。2)2)积分积分环节环节 IntegraljImG(j)ReG(j)0这是一个这是一个负的负的纯虚矢量纯虚矢量 TssG109011TTj

15、jGo900均均为为变变化化时时，各各矢矢量量的的角角度度从从 矢量的模随着矢量的模随着的增大而的增大而减小减小自动控制原理153)3)惯性惯性环节环节 Inertia (First-order Component)20854210.5 0 )( )(A j01ImG(j)ReG(j)01-14.5 0.97-26.6 0.89-45 0.710.450.370.240.1 5 . 0tg)(1125. 01)(A2 -63.4 -68.2 -76 -84 1TsKsG)()(arctan1)(12ATTKTjKjG15 . 01jjG 15 . 01ssG自动控制原理16可以证明，惯性环节的

16、频率特性曲线是一半圆semicircle，圆心center在实轴上的0.5K处，半径R=0.5K。设)()()(jVUjG1)()(2TKU1)()(2TTKV配方后可得222)2()2(KVKU所以，在复平面上G(j)为一圆心在(K/2，0)点，半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-0时，因为G(-j)与G(j)互为共轭关系，关于实轴对称，即如上半圆所示。自动控制原理174)一阶微分环节一阶微分环节 First-order Derivative1Tj)j (G 这是一个实部衡为这是一个实部衡为1变变化化矢矢量量的的角角度度从从oo900矢量的模随着矢量的模随着的增大从的增大从1变化到无穷

17、变化到无穷G(s)= Ts+1jImG(j)ReG(j)012341虚部随虚部随增大而增大的矢量增大而增大的矢量自动控制原理185)振荡环节振荡环节Quadratic(Oscillating Component)1212)(22222TssTsssGnnn22222222124)1 (1)(TTarctgTTjGo01)0j(G o1800)j(G 09021)1()(TjGjGn得得令令,0d)(dA 221nr2121)(mrAA)707. 00( 2222222222222212arctan12arctan)2()1 (1411TTTTAnnnn谐振峰值谐振峰值 resonant pea

18、k 谐振频率谐振频率 resonant frequency 自动控制原理190j1 21)(An2r121)(A 2nr21 自动控制原理200nnn01jG 180 0 90 21 00 10 0 AAAnnn当当当当当当自动控制原理210nnn01jG。而增大，其值可能大于减小最大值随由图可见，幅频特性的1 。会产生谐振峰值会产生谐振峰值处，振荡环节处，振荡环节可以求得在某一频率可以求得在某一频率rMr rAddMr 0处，必有处，必有在谐振峰值在谐振峰值221 nr可解出可解出 2121 rrAM代入幅值表达式代入幅值表达式 单调衰减；单调衰减；没有峰值，没有峰值，可以看出：可以看出：

19、A,707. 01 的的初初始始点点；这这正正是是 AMrr, 0, 1,707. 02 越越高高。及及越越小小，且且出出现现峰峰值值。rrrrMAM , 0, 1,707. 03 定定状状态态。共共振振。环环节节处处于于临临界界稳稳环环节节的的然然振振荡荡频频率率相相同同，引引起起率率和和自自表表明明外外加加正正弦弦信信号号的的频频, 04 nrrM 707. 0 707. 0 707. 0 自动控制原理226)6)延滞环节延滞环节 Delay Delay Component1ejjG010jG essG延迟环节的传递函数延迟环节的传递函数延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性延迟环节的极坐标

20、图延迟环节的极坐标图自动控制原理23例例5-1 设有两个不稳定环节的传递函数分别为设有两个不稳定环节的传递函数分别为 1)(1TsKsG和和TsKsG1)(2试绘制其极坐标图。试绘制其极坐标图。 。 )arctan180(11)(221TTKTjKjGTTKTjKjGarctan11)(222对于对于G1(j)：当：当 =0时，时，G1 (j0)=K-180；当；当=时，时，G1 (j)=0-90。对于对于G2(j)：当：当=0时，时，G2 (j0)=K0；当；当 =时，时，G2 (j)=090。分析分析0 中间过程的幅值和相角所在的象限，画出频率特性的极坐标曲线如图中间过程的幅值和相角所在的

21、象限，画出频率特性的极坐标曲线如图所示。所示。2.不稳定环节频率特性的极坐标图不稳定环节频率特性的极坐标图 如果某环节在右半如果某环节在右半s平面有极点，则称该环节为不稳定环平面有极点，则称该环节为不稳定环节。节。不稳定环节不稳定环节的的幅频特性幅频特性表达式与表达式与稳定环节稳定环节完全完全相同相同，但，但相频特性相频特性却却有有较大较大差别差别。 自动控制原理24kiikjGjGjGjGjG121)()()()()(kijikiijGjG11e)()(绘制系统开环极坐标图可按如下步骤procedure： （1）确定曲线的起始点starting point和终止点terminal point

22、（2）确定曲线与实轴或虚轴的交点point of intersection （3）分析曲线的变化区域region of variation 3.系统开环频率特性的极坐标图系统开环频率特性的极坐标图General Shapes of Polar PlotsPolar Plots of the Frequency characteristic of open-loop system 系统开环频率特性极坐标形式系统开环频率特性可根据各串联环节频率特性的模及相角公式，令 从0变化，按照“幅值相乘、相角相加”的原则进行计算 )( 11)(11mnsTssKsHsGvnjjmii设系统开环传递函数为积分环

23、节数v自动控制原理25平面上的位置在时jGjGk0 0000kjGk，jG极坐标图的起点000 jkjGk1、极坐标图的起点k0 1 2 2 , 100jkjk )( 11)()(11mnsTssKsHsGsGvnjjmiik自动控制原理261mn2mn3mn2、极坐标图的终点平面上的位置在时jGjGk mnkjkjG 0 mnjk90 mnjkmnjG极坐标图的终点0 )( 11)()(11mnsTssKsHsGsGvnjjmiik自动控制原理273、与坐标轴的交点)()(Im)()(Re)(jHjGjjHjGjHjG系统开环频率特性可表示为实频特性和虚频特性：解出y ，与实轴的交点为：0)

24、()(ImjHjG与实轴相交：y)()(ReyyjHjG解出x ，与虚轴的交点为：0)()(RejHjG与虚轴相交：)()(ImxxjHjGx自动控制原理28例例5-2 单位反馈系统的开环传递函数为11)(TsssG试绘制其极坐标图。解解 开环频率特性)arctanarctan(1111)(2222TTTjjjG确定极坐标曲线的起始点和终止点： 当=0时，G(j)=10；当=时， 0)(TjG如果T，则G(j)0，极坐标曲线在第象限变化；如果T，则G(j)0）由于幅值和相角都不随频率变化，所以，对数幅频特性是一条平行于横轴且纵坐标值为20lg|G(j )|=20lgK(dB)的直线。 对数相频

25、特性恒为0。自动控制原理371）积分环节积分环节的传递函数为ssG1)(2）微分环节微分环节的传递函数为ssG)(（2）积分环节和微分环节自动控制原理38（3）惯性环节和一阶微分环节1）惯性环节惯性环节的传递函数为11)(TssG2）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为1)( TssG自动控制原理39（4）振荡环节振荡环节的传递函数为) 10(2121)(22222nnnssTssTsG其频率特性为 nnjjG211)(22）（自动控制原理40用两条渐近线近似表示振荡环节的对数幅频特性曲线也将产生误差，误差最大值发生在振荡环节的转角频率w =wn处，误差的表达式为 )(lg4021lg20)(

26、21lg2022222222nnnnnnn自动控制原理41（5）延滞环节 延滞环节的传递函数和频率特性分别为s sG e)(jjG e)(对数幅频特性是一条0dB的直线，而相频特性随w 增加迅速下降，如图自动控制原理42 3.系统的开环对数频率特性曲线系统的开环对数频率特性曲线 因为系统的开环频率特性通常是若干个典型环节频率特性的乘积，所以对数幅频特性和相频特性可分别表示为 | )(|lg20| )(|lg20)(1kiijGjGLkiikiijG11)(在绘制对数坐标图时，幅值的乘法运算变成了加法运算自动控制原理43绘制系统开环对数坐标图的一般步骤和方法归纳如下：(1) 写出以时间常数表示、

27、以典型环节频率特性连乘积形式的开环频率特性；(2) 求出各环节的转角频率，并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上；(3) 计算20lgK的分贝值，其中K是系统开环放大系数。过w =1、20lgK这一点 做斜率为-20vdB/dec的直线，此即为低频段的渐近线，其中v是开环传递函数中积分环节的个数；(4) 绘制对数幅频特性的其它渐近线；(5) 给出不同w值，计算对应的i ，再进行代数相加，画出系统的开环相频特性曲线。 自动控制原理44例例5-6 某系统开环传递函数如下，试绘制其对数坐标图。 )642 . 3)(5 . 0()2(64)(2ssssssG解解 首先将传递函数改写为用时间常数表示的

28、形式，其频率特性为 1)8(4 . 0)8()12() 15 . 0(4)(2jjjjjG求出各环节的转角频率如下： 对于惯性环节，由wT=1，得转角频率w=1/T。本题的转角频率分别为0.5、2和8，并将它们依次标注在对数坐标图上。自动控制原理45 具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围最小。最小相位名称由此得。例如，如果两个系统的传递函数分别为 TsssHsG11)()(11)0(11)()(22TTsssHsG， 和 则图中分别表示了这两个系统的相频特性，而它们的幅频特性是相同的。4.最小相位系统最小相位系统 如果系统开环传递函数在复平面s的右半面既没有极点、也没有零点，则称

29、该传递函数为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。反之，则称为非最小相位系统。自动控制原理46 最小相位系统的幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。也就是说，如果系统的幅频特性已定，那么这个系统的相频特性也就唯一地被确定了，反之亦然。然而，对于非最小相位系统而言，上述关系是不成立的。 判断已经画出的对数频率特性是否为最小相位系统，既要检查对数幅频特性曲线高频渐近线的斜率，也要检查当 w 时的相角。若w 时幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec，其中n、m分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数，而相角等于-90(n-m)，则是最小相位系统，否则就不是。 对于开环

30、不稳定的系统，因为它的传递函数在s平面的右半面有极点而属于非最小相位系统。为了统一起见，以后凡是没有特殊说明，一般都是指最小相位系统而言。对于这类系统有时可以不必绘制它的对数相频特性曲线。自动控制原理47例例5-7 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定其传递函数。解解 设开环传递函数的形式为) 181)(11 . 01()()(sssKsHsG因为010lg20K所以K=10。因此，所求开环传递函数) 1125. 0)(110(10)()(ssssHsG自动控制原理485.3.3 对数幅相图对数幅相图对数幅相图是将对数坐标图的幅频特性与相频特性绘制到一张图上来表示系统频率特性的图形

31、，也称为尼柯尔斯(Nichols)图。 对数幅相图是直角坐标图，横坐标为相位差j ，单位是度（）；纵坐标是幅值比的对数值L(w)=20lg|G(jw)|，单位是分贝（dB）。曲线上的每个点都对应一个固定的频率。因此，对数幅相图可以通过对数坐标图容易地画出来。 例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为1lg20| )(|lg20)(22TjGLTarctan 当w=0时，L(w)=0dB，j =0，曲线起始于坐标原点；当w=1/T时，L(w)=-3dB，j =-45； 自动控制原理49评判一个控制系统，首先要看它是否稳定。评判一个控制系统，首先要看它是否稳定。RouthRouth 判据、根轨迹

32、法判据、根轨迹法都可用来都可用来判别判别系统是否系统是否稳定稳定及稳定的及稳定的相对程度相对程度。RouthRouth 判据需要系判据需要系统的统的精确数学模型精确数学模型，根轨迹法也要知道系统，根轨迹法也要知道系统开环零、极点分布开环零、极点分布。 1932 H. Nyquist提出了利用系统提出了利用系统开环频率特性开环频率特性判别判别系统系统稳定稳定的方法。的方法。至今仍是研究系统稳定及至今仍是研究系统稳定及相对相对稳定性的有效方法，称为稳定性的有效方法，称为奈魁斯特稳奈魁斯特稳定判据定判据The Nyquist Criterion。在实际中得到了广泛地应用。在实际中得到了广泛地应用。其

33、数学基础是复变函数理论中的其数学基础是复变函数理论中的映射定理映射定理 mapping theorem ( Cauchys theorem)，又称幅角定理，又称幅角定理principle of the argument。该。该定理基于复平面的一种定理基于复平面的一种围线映射围线映射contour mapping。5.4.1 映射定理映射定理设设s为复数变量为复数变量s = + j ，F(s) = u + jv是是s的的有理分式有理分式函数，设其函数，设其形式为形式为)()()(11njjmiipszssF假设假设F(s)是是s的的单值解析单值解析函数，则对于函数，则对于s平面上的任平面上的任一

34、点，在一点，在F(s)平面上必定有一个对应的平面上必定有一个对应的映射点映射点。5.4 频域稳定性判据频域稳定性判据frequency-domain stability criterion自动控制原理50复变函数F(s)的幅角可表示为 njjmiipszssF11)()()( 假定在假定在s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线s包围了包围了F(s)的一个零点的一个零点(-z1)，而其它零、极点都位，而其它零、极点都位于封闭曲线之外，则当于封闭曲线之外，则当变点变点s沿着沿着s平面平面上的上的封闭曲线封闭曲线s顺时针方向移动顺时针方向移动一周一周时，时，向量向量(s+z1)的的幅角增量幅角增量(s+

35、z1)= -2p 弧度弧度，而，而其它其它各各向量向量的的幅角增量幅角增量。这时，。这时，函数函数F(s)幅角的增量为幅角的增量为如果在s平面画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点singularity，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。2)()()(11njjmiipszssF)()()(11njjmiipszssF自动控制原理51 这意味着在F(s)平面上的映射曲线F沿顺时针方向围绕坐标原点变化一周，即F(s)的幅角变化了-2p 弧度。 同理，若同理，若s平面上的平面上的封闭曲线封闭曲线s包围包围F(s)的的Z 个零点个零点，则在，则在F(s)平面上的平面上的映射曲映射曲线

36、线F将按将按顺时针顺时针方向方向围绕坐标原点围绕坐标原点变化变化Z周周。推论：若推论：若s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线s包围包围F(s)的的P个极点个极点，则当，则当s沿着沿着s平面上的封闭平面上的封闭曲线曲线s顺时针移动一周时，在顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线F将按将按逆时针逆时针方向围绕坐标方向围绕坐标原点变化原点变化P周周。结论结论(映射定理映射定理 mapping theorem ) ：如果：如果s平面上平面上的的封闭曲线封闭曲线s以以顺时针顺时针方向方向包围包围函数函数F(s)的的Z个个零点零点和和P个个极点极点，则，则F(s)平面平面上的上的映映射

37、曲线射曲线F相应地相应地包围坐标原点包围坐标原点N次，且次，且 = Z -P若若P，N为正值，包围方向顺时针；若为正值，包围方向顺时针；若mF(s)的分子和分母两式的阶次相同的分子和分母两式的阶次相同特征函数特征函数F(s)具有如下特点：具有如下特点：F(s)的的零点零点和和极点极点分别是分别是闭环极点闭环极点和和开环极点开环极点；F(s)的零点和极点的零点和极点个数相同个数相同；F(s)和和G(s) H(s)只差常数只差常数1。自动控制原理592.封闭曲线封闭曲线s的选择及奈氏判据的选择及奈氏判据选取选取s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线s使之使之包围整个包围整个s右半平面右半平面。该封闭曲

38、线由。该封闭曲线由整个虚轴整个虚轴（从从s= -j到到s= +j）和）和右半平面上半径为无穷大的半圆右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成，此封闭曲线轨迹构成，此封闭曲线常称作常称作奈魁斯特轨迹奈魁斯特轨迹，其方向为，其方向为顺时针顺时针。 因此，在因此，在右半右半s平面平面内是否内是否包围包围F(s)的零点和极点的问题的零点和极点的问题，也就归结为在，也就归结为在奈奈魁斯特轨迹魁斯特轨迹内是否内是否包围包围F(s)的零点和极点的问题。的零点和极点的问题。)()()()()()()(1)(11niiniipszssNsMsNsHsGsFP已知 Z=？闭环极点开环极点奈魁斯特轨迹上变点奈魁斯特轨迹

39、上变点s连续变化，映射在连续变化，映射在F(s)平面的封闭曲线称为奈魁斯特曲线。平面的封闭曲线称为奈魁斯特曲线。（1）F(s)在虚轴上无极点奈魁斯特轨迹分成两部分奈魁斯特轨迹分成两部分沿无穷大半径的半圆部分：沿无穷大半径的半圆部分： F(s)映射为一点映射为一点沿虚轴路径：沿虚轴路径： F(s)映射为映射为 F(j)=1+ G(j)H(j)奈魁斯特曲线奈魁斯特曲线:自动控制原理60点转过的角度绕绕原点转过的角度)0, 1()()()(jjHjGjF闭环控制系统稳定的充分必要条件是奈魁斯特曲线奈魁斯特曲线F(j)不通过原点，且逆时针包围原点的周数N等于开环传递函数正实部根的个数P，即N = -P

40、（闭环无右极点闭环无右极点Z=0）。F(j)=1+ G(j)H(j)自动控制原理61关于奈魁斯特稳定判据有如下说明：关于奈魁斯特稳定判据有如下说明：对于对于开环稳定的系统开环稳定的系统（即（即P=，G(s)H(s)在右半在右半s平面无极点），平面无极点），当当且仅当开环频率特性曲线且仅当开环频率特性曲线G(j)H(j)不通过也不包围不通过也不包围(-1，j0)点，即点，即N = 0时，闭环系统稳定；时，闭环系统稳定；对于对于开环不稳定的系统开环不稳定的系统（即（即P0，G(s)H(s)在右半在右半s平面含有平面含有P个极个极点），当且仅当开环频率特性曲线点），当且仅当开环频率特性曲线包围包围(

41、-1，j0)点点P周周，即即N = -P时，闭环系统稳定；时，闭环系统稳定；如果如果N-P，则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数为，则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数为 Z=N+P 当开环频率特性曲线当开环频率特性曲线G(j)H(j)通过通过(-1，j0)点时，闭环系统处于临点时，闭环系统处于临界稳定状态。界稳定状态。闭环控制系统稳定的闭环控制系统稳定的充分必要充分必要条件：条件：开环频率特性开环频率特性G(j)H(j)不通过不通过(-1，j0)点，且点，且逆时针包围（逆时针包围（-1，j0）点的周数点的周数N等于开环传递函数正实部根的个数等于开环传递函数正实部根的个数P，即，即N

42、= -P。A feedback control system is stable if and only if, for the contour of G(s)H(s), the number of counterclockwise encirclements of(-1,j0) point is equal to the number of poles of G(s)H(s) with positive real parts. 自动控制原理62例例5-8 某系统开环频率特性的正频段如图中的实线所示，并已知其开环极点均在s平面的左半部。试判断闭环系统的稳定性。解解 系统开环稳定，所以P=0；补

43、画频率特性的负频段，如图中的虚线所示。从图中看到，当从-向+变化时，G(j)H(j)曲线不包围(-1，j0)点，即N = 0；因此Z=N+P=0，闭环系统是稳定的 自动控制原理63（2）F(s)在虚轴上有极点with pole(s) on the Im axis 如果在开环传递函数中包含积分环节，则映射定理便不能直接应用。一种改进如果在开环传递函数中包含积分环节，则映射定理便不能直接应用。一种改进的办法是对奈魁斯特轨迹进行修正，使其绕过虚轴上的开环极点，并将这些极点的办法是对奈魁斯特轨迹进行修正，使其绕过虚轴上的开环极点，并将这些极点排除在奈魁斯特轨迹所包围的区域之外，但仍包围排除在奈魁斯特轨

44、迹所包围的区域之外，但仍包围F(s)在右半在右半s平面内的所有零点平面内的所有零点和极点。和极点。改变路径改变路径-补圆补圆j0-0+ jes 00：现现在在 0频频段段，在在 00频段，频段，在在 0 js仍为仍为oo900： )1Ts( sk)s (G )0(j jG GjImG(j)0ReG(j)jImG(j)0ReG(j) jjjjek)1eT(ek)e(G)( jjjjek)1eT(ek)e(G 自动控制原理64v-1GM0NZ1GM2NZ1GMx0rABC 0 0 x xP=02) 1()()(ssKsHsGExample : system with a pole at the o

45、rigin2) 1()()(jjjjeeKeHeG2 , 0 ,2,CBA0 Contour cannot pass through polejeKABC自动控制原理65j0R 0 s 0 105. 011 . 0 sssKsG例jGReIm 0 0-1弧弧度度绕绕原原点点半半径径以以顺顺时时针针 q 所所以以系系统统闭闭环环稳稳定定。点点，曲曲线线不不包包围围变变化化时时，从从，且且010 jjHjGp 自动控制原理66 105. 011 . 0 sssKsG上例jGReIm 0 0-1R 点，点，过了过了曲线就越曲线就越，增加到大于增加到大于当当0130 jjHjGK 稳定。稳定。所以，系

46、统闭环不所以，系统闭环不点，点，包围了包围了曲线就曲线就变化时，变化时，从从这时，当这时，当01jjHjG 自动控制原理67例例5-10 系统开环传递函数 ) 1()()(2TssKsHsG试判断闭环系统的稳定性。 解解 开环频率特性函数 )arctan180(1)()()(22TTKjHjG 画出G(j)H(j)曲线。 系统开环传递函数在右半s平面的没有极点，故P=0； 从图中可以看到奈魁斯特曲线顺时针包围(-1，j0)点2周，N=2。 因此Z=N+P=2，有2个特征根在右半s平面，系统闭环不稳定。自动控制原理68例例5-11 设控制系统的开环传递函数为) 1)(1()()(21sTsTsK

47、sHsG试分析不同K值时闭环系统的稳定性。) 1)(1()()(21TjTjjKjHjG解解 系统开环频率特性为 画出G(j)H(j)曲线:2121TT2121|)()(|TTTKTjHjGG(j)H(j曲线与负实轴交点处的频率代入幅值表达式，得 当K = (T1+T2)/ T1T2时，G(j)H(j)曲线正好通过(-1, j0)点，此时系统处于临界稳定状态； 当K (T1+T2)/ T1T2时，G(j)H(j)曲线包围(-1, j0)点2周，系统有2个不稳定特征根，闭环系统不稳定。 自动控制原理69 1 13 PsssKsHsG例例 13 jjjKjHjG 13222 KjHjG 1390

48、arctgarctg arctgarctg 180390 arctgarctg 3270 270 :0 jHjG 900 : jHjG arctgarctgNyquist 390: 180: 即即令令曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点求求732. 1 3:3 ,2 即即得得两边取正切两边取正切 KKjHjG 1732. 1732. 13732. 1732. 1732. 1222自动控制原理70 270 :0 jHjG 900 : jHjG KjHjGNyquist 732. 1732. 1 :曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点-1 jGReIm时时当当1 K时时当当1 K 系系统统闭闭环环

49、稳稳定定。圈圈，点点，针针包包围围曲曲线线逆逆时时pjjHjG01 环不稳定。环不稳定。点，闭点，闭，针包围针包围曲线顺时曲线顺时01jjHjG 0 0 1 P自动控制原理713. 奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用由于系统开环频率特性在由于系统开环频率特性在= -0与与=0+段的曲线是镜像对段的曲线是镜像对称的，所以称的，所以只需画出只需画出=0+变化时的变化时的G(j)H(j)曲线曲线。为了说明该方法的应用，首先介绍极坐标图上频率特性曲线为了说明该方法的应用，首先介绍极坐标图上频率特性曲线穿越穿越的概念。的概念。 随着随着增加，系统开环频率特性曲线增加，系统开

50、环频率特性曲线逆时针穿过逆时针穿过(-1,(-1,j j0)0)点左侧点左侧负实轴，称负实轴，称为为一次正穿一次正穿，记为，记为N N+ +=1=1；随着；随着增加，系统开环频率特性曲线增加，系统开环频率特性曲线顺时针穿过顺时针穿过(-1, (-1, j j0)0)点左侧点左侧负实轴，称为一次负实轴，称为一次负穿负穿，记为，记为N N- -=1=1，如图所示；，如图所示； 如果开环频率特性曲线如果开环频率特性曲线起始起始或或终止终止于于(-1, (-1, j j0)0)点点左侧负实轴左侧负实轴，称为，称为半次穿越半次穿越，记为记为N N+ +=1/2=1/2或或N N- -=1/2=1/2。j

51、G0, 1 j负穿越一次正穿越一次0负穿越半次正穿越半次)()(jHjG自动控制原理723. 奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用一、Nyquist图与Bode图的对应关系 点。，不包围条件是，则闭环稳定的充要一个系统，若01)(0 jjHjGp0, 1 j L jG00180011cg11cg2c2c 1801A 1800dBL自动控制原理73二、利用Bode图判断稳定性 ，则闭环稳定。，即值，的所有，且在若18000. 1cLp00, 1 j L jG00180111cg1cg2c2c 1801A 1800dBL稳定不稳定自动控制原理74：Frequency (

52、rad/sec)Phase (deg); Magnitude (dB)bode plot-150-100-50050From: U(1)10-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To: Y(1) 250s5 . 0ss4s100sG 例例自动控制原理75在在L()0dB的频段的频段从上向下为负穿越从上向下为负穿越c 截止频率截止频率-90-180-2700dB0o)( )(L b d e 线的次数！穿越看)(j-1abde02、普遍情况、普遍情况奈魁斯特稳定判据：稳定的充要条件是在对数幅频特性L()0dB的频段内，相频特性曲线对(2k+1)线的负穿越

53、与正穿越次数之差满足0)(2pNNZ自动控制原理76例例5-12 设控制系统的开环传递函数为) 1()()(2ssKsHsG当K=10时，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解解 画出开环对数频率特性及其补作的虚直线。系统开环稳定，P=0； 由图知N+=0，N-=1，所以Z=2(N- N+)+ P=2。有2个特征根在右半s平面，闭环系统不稳定。自动控制原理775.5控制系统的稳定裕量控制系统的稳定裕量relative stability 稳定裕量：开环频率特性 与(-1, j0)点的远近程度，可用来表示闭环系统的稳定程度。也称稳定裕度。控制系统的稳定裕量通常用幅值裕量和相角裕量来衡量。越近，稳定

54、性程度越低点，的轨迹离高；点越远，稳定性程度越，的轨迹离，且闭环稳定，则图可知：若由01)(01)(0jjHjGjjHjGpNyquist jG0, 1 j这便是通常所说的相对稳定性，它通过 对(-1,j0)点的靠近程度来度量。)(jHjG)(jHjG自动控制原理78在在 频段内，若系统的开环频率特性频段内，若系统的开环频率特性G(j)H(j)与单位圆相交，与单位圆相交，则交点处的频率则交点处的频率c称为称为幅值穿越频率幅值穿越频率（又称剪切频率或截止频率），它（又称剪切频率或截止频率），它满足满足1)()(ccjHjG相角裕量定义为相角裕量定义为)()(180ccjHjG5.5.1 相角裕量

55、相角裕量 Phase marginj01cgGk(j)|Gk(jg)|Gk(jc)-15.5.2 幅值裕量幅值裕量Gain margin在在 的频段内，若系统的开的频段内，若系统的开环频率特性环频率特性G(j)H(j)与负实轴相交，与负实轴相交，则交点处的频率则交点处的频率g称为称为相位穿越频率相位穿越频率，它满足它满足180)()(ggjHjG幅值裕量定义为相位穿越频率幅值裕量定义为相位穿越频率g所对应所对应的开环频率特性幅值的倒数，用的开环频率特性幅值的倒数，用Kg表示，表示，即即)()(1gggjHjGK自动控制原理79对应到Bode图上: jGkcckjGggkjG L 0180gc0

56、ckjGgkgjGK1lg20lg20 对于最小相位系统对于最小相位系统:当当|G(jg)H(jg)|0时，时，闭环系统稳定；闭环系统稳定；当当|G(jg)H(jg)|1或或K g(dB)0时，时，闭环系统不稳定；闭环系统不稳定；当当|G(jg)H(jg)|=1或或K g(dB)=0时，时，闭环系统处于临界稳定状态。闭环系统处于临界稳定状态。jGccggK1 L0 gc自动控制原理805.5.3稳定裕度的计算稳定裕度的计算例例5-13 某单位反馈控制系统的开环传递函数为)5)(1()(*sssKsG试求当K*=10和K*=100时系统的相角裕度和幅值裕度。解解 系统开环频率特性为) 12 .

57、0)(1()(jjjKjG式中开环放大系数K= 0.2K*。两个转角频率分别是1 = 1，2 = 5。 当K*=10时，有11)2 . 01222ccc（解之得c=1.23。计算相角裕度3 .252 . 0arctanarctan90180cc自动控制原理81解之得g=2.24。计算幅值裕度dB5 . 93lg20)dB(gK所以，K*=10时系统是稳定的。 当K*=100时，计算幅值穿越频率c=3.9，相角裕度 = -23.6；相位穿越频率g=2.24，幅值裕度Kg = -10.5dB。所以K*=100时系统是不稳定的。由1802 . 0arctanarctan90gg自动控制原理825.6

58、 控制系统的闭环频率特性控制系统的闭环频率特性本节介绍利用已有的开环频率特性来绘制闭环频率特性的方法，并介绍常用的闭环系统频域性能指标。5.6.1 闭环频率特性曲线的绘制闭环频率特性曲线的绘制1. 单位反馈系统的闭环频率特单位反馈系统的闭环频率特()()()()1()C jG jW jR jG j对于如图所示的单位反馈闭环系统，其闭环系统的频率特性为自动控制原理83在工程中，实际上比较常用的是等M圆和等N圆以及尼柯尔斯图线，直接根据开环频率特性曲线绘制单位反馈闭环系统的频率特性曲线。 如果已知开环系统的极坐标图，利用W(jw)和G(jw)的几何关系，可得闭环系统的频率特性：()111()()1

59、()jOAG jW jeG jPA 自动控制原理84（1）等M圆图和等N圆图()()( )( )()( )e1()1( )( )jG jUjVW jMG jUjV 幅值M为 2222)1 (1VUVUjVUjVUM222222)1 (VUMVMU2222222()1(1)MMUVMM这是一个圆的方程，圆心位于 22, 01MjM半径为 21MRM当M为不同数值时，可以绘制一簇等M圆。自动控制原理85 等N圆是复平面上表示闭环频率特性等相角的一簇圆，也称为等 圆。闭环频率特性的相角 为arctanarctan11UjVVVUjVUU 121212tantan1tantan()1tantan11VVUUNVVUU22tanVNUUV222241)21()21(NNNVU11,22jN2112NN整理后得 12arctan;arctan;arctan1VVNUU令对于给定的 值，N也是常数。配方得其圆心位于，半径为自动控制原理86（