高三专题复习：直线与圆知识点及经典例题

1、名师总结优秀学问点专题：圆的方程、直线和圆的位置关系【学问要点】圆的定义： 平面内与肯定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2（一）圆的标准方程形如：xa 2 yb 2r这个方程叫做圆的标准方程；王新敞说明： 1、如圆心在坐标原点上，这时ab0 ，就圆的方程就是x2y2r 2 ；2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r 0，圆的方程就给定了；就是说要确定圆的方程，必需具备三个独立的条件王新敞确定 a,b,r，可以依据3 个条件，利用待定系数法 来解决；（二）圆的一般方程将圆的标准方程xa2 yb 2r 2

2、 ,绽开可得x2y22ax2bya 2b 2r 20 ；可见，任何一个圆的方程都可以写成: x2y 2dxeyf0 ；问题： 形如 x2y2dxeyf0 的方程的曲线是不是圆？ded 2e 24 f将方程 x2y 2dxeyf0 左边配方得：x2 y2 2222（ 1）当 d 22心，以de 24 fe 24f20 时，方程（ 1）与标准方程比较，方程 x2为半径的圆；y 2dxeyf0 表示以 d ,e 为圆22（ 2）当 d 2e 24 f0 时，方程 x22ydxeyf0 只有实数解，解为xd , y 2e,所以表示一个2de点 , .22（ 3）当 d 2e 24 f0 时，方程 x2

3、y 2dxeyf0 没有实数解，因而它不表示任何图形；圆的一般方程的定义：当d 2e 24f0 时，方程 x 2y2dxeyf0 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点： （ i ）x2和y2 的系数相同，不等于零；（ ii ）没有 xy 这样的二次项；（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（ 1）相离 - 求距离；2相切 - 求切线；（ 3）相交 - 求焦点弦长；2、直线与圆的位置关系判定方法：几何方法主要步骤：（ 1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（ 2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（ 3）作判定 : 当 d>r 时，直线与圆相离；当d r 时

4、，直线与圆相切;当 d<r 时，直线与圆相交；代数方法主要步骤：（ 1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（ 2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（ 3）求出其的值，比较与 0 的大小：名师总结优秀学问点（ 4）当 <0时，直线与圆相离；当0 时，直线与圆相切；当 >0时，直线与圆相交；圆的切线方程总结：当点 x0, y0 在圆 x2y2r 2 上时，切线方程为：x0 xy0 yr 2 ；当点 x0, y0 在圆 xa 2 yb2r 2 上时，切线方程为：x0a xa) y0b ybr 2 ；【典型例题】类型一：圆的方程例 1 求过两点a1 , 4 、 b 3 ,2

5、且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判定点p 2 , 4 与圆的关系变式 1：求过两点a1 , 4 、b3 , 2 且被直线y0 平分的圆的标准方程.变式 2：求过两点a1 , 4 、b3 , 2 且圆上全部的点均关于直线y0 对称的圆的标准方程.分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判定点p 与圆的位置关系，只须看点p 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，如距离大于半径，就点在圆外；如距离等于半径，就点在圆上；如距离小于半径，就点在圆内解法一：（待定系数法 ）设圆的标准方程为 xa 2 yb2r 2 圆心在y0 上，故 b0 圆的方程为 xa 2y2r 2 又该圆过a1

6、 , 4 、 b3 ,2) 两点221a 16r解之得： a21 ， r20 所以所求圆的方程为 x12y2320 a) 24r 2解法二：（直接求出圆心坐标和半径）由于圆过a1 ,4 、 b 3 , 2 两点， 所以圆心 c 必在线段ab 的垂直平分线l 上， 又由于42k ab131 ，故 l的斜率为1，又 ab 的中点为 2 , 3 ，故 ab 的垂直平分线l 的方程为：y3x2 即 xy10 又知圆心在直线y0 上，故圆心坐标为c 1 , 0 半径 rac11 24220 故所求圆的方程为 x12y220 又点p 2 ,4 到圆心 c 1 , 0 的距离为dpc 2124225r点 p

7、 在圆外例 2： 求过三点 o（ 0， 0）， m （ 1， 1）， n（ 4， 2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径；解： 设圆的方程为：x 2 y2 dx ey f 0，将三个点的坐标代入方程f0def204d2ef200名师总结优秀学问点f 0， d 8， e 6圆方程为： x 2 y28x 6y 0配方：（ x4 ） 2 （ y 3）2 25圆心：（ 4，3 ）， 半径 r 5例 3： 求经过点a0 , 5 ，且与直线x2 y0 和 2 xy0 都相切的圆的方程分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点a ，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的

8、交角的平分线上解： 圆和直线x2 y0 与 2xy0 相切，圆心c 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x 2 y0 和 2 xy 0 的距离相等x2 y5x2 y5两直线交角的平分线方程是x 3 y0 或 3 xy 0 又圆过点a0 , 5 ，圆心 c 只能在直线3xy0 上设圆心c t , 3t c 到直线 2xy0 的距离等于ac ， 2t3t5t 23t5 2 化简整理得t 26t50 解得： t1或 t5 圆心是1 , 3 ，半径为5 或圆心是5 , 15 ，半径为 55 所求圆的方程为 x12 y325 或 x5 2 y152125 说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知

9、两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4、 已知圆o： x 2y24 ，求过点p 2，4与圆 o 相切的切线解： 点p 2，4不在圆 o 上，切线pt 的直线方程可设为yk x242k433依据 dr 2 .解得 k所以 yx24即 3x4 y1001k 24 ，4，由于过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2 说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形，要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要留

10、意漏解） 仍可以运用x0 xy0 yr 2 ，求出切点坐标x0 、y0 的值来解决，此时没有漏解例 5、自点 a-3,3 发出的光线l 射到 x 轴上，被 x 轴反射， 其反射光线所在直线与圆x2y24 x4 y70 相切，求光线所在直线方程；1例 6、 两圆c ： x22yd1xe1 yf10 与 c ： x222y2d xe2 yf20 相交于 a 、 b 两点，求它们的名师总结优秀学问点公共弦 ab 所在直线的方程分析： 第一求 a 、 b 两点的坐标，再用两点式求直线ab 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了防止求交点，可以采纳“设而不求 ”的技巧解： 设两圆c1 、 c2 的任一

11、交点坐标为 x0 ,y0 ，就有：22x0y022x0y0d1x0 d2 x0e1 y0 e2 y0f10f20得： d1d 2 x0e1e 2 y0f1f20 a 、 b 的坐标满意方程d1d2 x e1e2 yf1f20 方程 d1d2 xe1e2 yf1f20 是过 a 、 b 两点的直线方程又过a 、 b 两点的直线是唯独的两圆c1 、 c2 的公共弦ab 所在直线的方程为d1d2 x e1e2 yf1f20 1说明： 上述解法中，奇妙地躲开了求a 、 b 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用 曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求 ”的技

12、巧，从学问内容的角度上说，仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本质熟悉它的应用很广泛例 7、 求过点m 3,1 ，且与圆 x22y4 相切的直线l 的方程 解： 设切线方程为y1k x3 ，即kxy3k10，圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径2 ， | k3k1|2 ，解得 k3， 切线方程为y13 x3 ，即 3 x4 y130 ，k 21 244当过点 m 的直线的斜率不存在时，其方程为x 3，圆心 1,0 到此直线的距离等于半径2 ，故直线 x3 也适合题意；所以，所求的直线l 的方程是 3x4 y130 或 x3补充： 圆 x2y2dxeyf0 的切点弦

13、方程：类型三：弦长、弧问题例 8、 求直线 l: 3xy60 被圆 c: x 2y 22 x4 y0 截得的弦 ab 的长 .例 9、 直线3xy 230截圆x2y 2名师总结优秀学问点4 得的劣弧所对的圆心角为解： 依题意得，弦心距d3 ，故弦长ab2r 2d 22 ，从而 oab 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为aob.3例 10、圆 c： x1 2 y2225 ，直线（ 2m1） xm1 y7m40 mr ，（）证明：不论m 取何值时，l 与 c 恒有两个交点；（）求最短弦长所在直线方程；分析： 此题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点；再探究定点在圆内，下一步只需

14、要去探究点到直线的距离最大时，直线方程是什么；类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线3xy230 和圆x 2y 24 ，判定此直线与已知圆的位置关系.例 12、如直线 yxm 与曲线 y4x2有且只有一个公共点，求实数m 的取值范畴 .解： 曲线y4x 2表示半圆x 2y 24 y0 ，利用数形结合法，可得实数m 的取值范畴是2m2 或 m22 .例 13、圆 x3 2 y3 29 上到直线 3x4 y110 的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l 2 的方程，从代数运算中查找解答解法一： 圆 x32 y329 的圆心为o1 3 , 3 ，半径 r3 设

15、圆心o1 到直线 3 x4 y110 的距离为 d ，就 d334323114223 如图，在圆心 o1同侧，与直线3 x4 y110 平行且距离为1 的直线l1 与圆有两个交点，这两个交点符合题意 又 rd321与直线 3 x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为3x4 ym0 ，就 dm1132421， m115 ，即 m6 ，或 m16 ，也即l1：3 x4 y60 ，或l ：3x4 y160 设圆 o ： x32 y3 29 的圆心到直线l 、

16、l的距离为 d 、 d ，211212名师总结优秀学问点就 ， d233432316142 l1 与 o1 相切，与圆o1 有一个公共点；l2 与圆 o1 相交，与圆o1 有两个公共点即符合题意的点共3 个类型五：圆中的最值问题例 14、圆 x2y 24 x4 y100 上的点到直线xy140 的最大距离与最小距离的差是解：圆 x2 2 y2 218 的圆心为 （2，2），半径 r32 ，圆心到直线的距离d1052r ，2直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是dr dr 2r62 .例 15、1已知圆o1： x3 2 y421 ， px ,y 为圆 o

17、 上的动点，求d22xy的最大、最小值2已知圆值o2： x2 2y21 ， p x ,y 为圆上任一点求y2 的最大、最小值，求x1x2 y的最大、最小分析： 1、 2两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决此题类比于2021 年高考理科全国二卷12 题，这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理，或者用圆的参数方程，分别把 x,y 表示出来，通过讨论三角函数的最值讨论；'解： 1圆上点到原点距离的最大值d 1 等于圆心到原点的距离'd 1 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d 2 等于圆心到原点的距离d 1 减去半径1所以 d1324216 d2324214 所以 d max36 dmin16 y22设x1k ，就 kxyk20 由于p x ,y 是圆上点，当直线与圆有交点时，如下列图，两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk233y233由 d1k21，得k所以4x的最大值为，14最小值为33 令4x2 yt ，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值由d2m1 ，得 m255 所以x2 y的最大值为25 ，最小值为25 例 16、已知 a2,0 ，