2022年七年级数学下册《轴对称图形典型例题》

1、优秀学习资料欢迎下载轴对称图形典型例题例 1如下图，已知， pb ab， pc ac，且 pb pc，d 是 ap 上一点 求证： bdp cdp 证明：pb ab，pc ac，且 pb pc， pab pac（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）， apb pab 90°， apc pac 90°， apb apc， 在 pdb 和 pdc 中，pbpc，apbapc，pdpd . pdb pdc （ sas）， bdp cdp （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明

2、两个三角形全等例 2已知如下图（ 1），在四边形abcd 中， bcba， ad cd ， bd 平分 abc求证：a c 180°（1）证法一：过 d 作 de ab 交 ba 的延长线于 e，df bc 于 f，bd 平分 abc，de df ， 在 rt ead 和 rt fcd 中，addc，dedf .（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明）rt ead rt fcd （ hl ）， c ead ， ead bad 180°， a c180°证法二：如下图（ 2），在 bc 上截取 be ab，连结 de ，证明 abd

3、 ebd 可得（2）证法三：如下图（ 3），延长 ba 到 e，使 be bc，连结 ed，以下同证法二（3）注此题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是把握遇到角的平分线的帮助线的不同的添加方法例 3已知，如下图， ad 为 abc 的中线，且 de 平分 bda 交 ab 于 e，df 平分 adc交 ac 于 f求证： be cf ef证法一：在 da 截取 dn db ，连结 ne、nf ，就 dn dc ，在 bde 和 nde 中，bdnd ，bdende ，dede.（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） bde nd

4、e （ sas），be ne（全等三角形对应边相等） ， 同理可证：cf nf，在 efn 中， en fn ef（三角形两边之和大于第三边） ，be cf >ef证法二：延长ed 至 m，使 dm ed ，连结 cm 、mf ， 在 bde 和 cdm 中，bdcd，bdecdm ，dedm .（从另一个角度作帮助线） bde nde （ sas），cm be （全等三角形对应边相等） ， 又 bde= a de， adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180°， ade+ adf 90°， 即 edf 90°， fdm edf 90

5、76;， 在 edf 和 mdf 中，edmd ，edfmdf ，dfdf . edf mdf （ sas），ef mf （全等三角形对应边相等） ， 在 cmf 中，cf cm >ef，be cf >ef注此题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中例 4已知，如下图， p、q 是 abc 边 bc 上的两点，且bp pq qc ap aq求： bac 的度数解：ap pqaq（已知）， apq aqp paq 60°（等边三角形三个角都是60°），ap bp（已知），（留意观看图形和条件） pba pab（等边对等角） ， apq pb

6、a pab 60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， pba pab 30°，同理 qac 30°， bac bap paq qac 30° 60° 30° 120°注此题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是把握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角； （ 2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（ 3）利用三角形内角和定理列方程例 5已知，如下图，在 abc 中， ab ac， e 是 ab 的中点，以点 e 为圆心， eb 为半径画弧，交 bc 于点 d，连结 ed ，

7、并延长 ed 到点 f，使 df de，连结 fc 求证： f a证明：ab ac， b acb（等边对等角） ，eb ed ， b edb ， acb edb （等量代换） ，ed ac（同位角相等，两直线平行） ， 在 bde 和 aed 中， be ae=ed ，连结 ad 可得， ead eda ， ebd edb ，eda edb 90°，即 ad bc， eda edb 90°，即 ad bc，（用什么定理判定三角形全等的？）d 为 bc 的中点， bde cdf ， bed f，而 bed a， f a例 6已知，如下图， abc 中， ab ac， e 在

8、ca 的延长线上， aef afe 求证： ef bc证法一：作 bc 边上的高 ad， d 为垂足，ab ac， ad bc， bad cad（等腰三角形三线合一） ，又 bac e afe， aef afe， cad e，ad ef，ad bc，ef bc证法二：过 a 作 agef 于 g， aef afe， ag ag， age agf 90°， age agf（ asa ），ab ac， b c，又 eaf b c，（请对比多种证法的优劣） eag gaf b c， eag c，ag bc，ag ef，ef bc证法三：过 e 作 ehbc 交 ba 的延长线于 h，ab

9、ac， b c， h b c aeh ， aef afe， h afe feh 180°， h aeh aef afe 180°， aef aeh 90°，即 feh 90°，ef eh ，又 eh bc，ef bc证法四：延长ef 交 bc 于 k，ab ac， b c，1 b 2（ 180°bac）， aef afe，1 afe 2 （ 180°eaf ）， bfk afe，1 bfk 2 （ 180°eaf ），11 b bfk 2 （ 180°bac） 2（ 180°eaf ）1 2 360

10、76;（eaf bac ） ， eaf bac 180°， b bfk 90°，即fkb 90°，ef bc注此题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加帮助线，建立ef 与 bc 的联系，认真体会以上各种不同的添加帮助线的方法例 7如下图， ab ac， db dc ， p 是 ad 上一点 求证： abp acp证明：连结 bc，ab ac（已知）， abc acb（等边对等角） ， 又点 a、d 在线段 bc 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线，ad 就是线段 bc 的垂直平分线，pb pc（线段

11、垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， pbc pcb（等边对等角） ，（线段垂直平分线的性质） abc pbc acb pcb（等式性质） ， 即 abp acp注此题如用三角形全等， 至少需要证两次， 现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁例 8如下图， ab ac，de 垂直平分 ab 交 ab 于 d，交 ac 于 e，如 abc 的周长为 28， bc 8，求 bce 的周长解：等腰 abc 的周长 28， bc 8，2ac bc 28，ac 10，（理由是什么？）de 垂直平分 ab，ae be， bce 的周长 beec bcae ec bcac bc 10 8 1

12、8注此题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系例 9已知，如下图，abc 中， abac ， bac 120°， ef 为 ab 的垂直平分线， ef1bffc交 bc 于 f，交 ab 于 e，求证：2证法一：连结af，就 af bf， b fab（等边对等角） ，ab ac， b c（等边对等角） ， bac120°，180 b c fab 30°，bac230（三角形内角和定理） ， fac bac fab 120° 30° 90°，又 c 30°，（线段的垂直平分线是常见

13、的对称轴之一）1affc2（直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半），bf1 fc2证法二：连结af，过 a 作 ag ef 交 fc 于 g，ef 为 ab 的垂直平分线，af bf，又 b 30°， afg 60°，bag 90°， agb 60°， afg 为等边三角形， 又 c 30°，gac 30°，ag gc ，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）bf fg gc1 fc2例 10已知，如下图， ab bc，cd bc， amb 75°， dmc 45°， am md 求证：

14、 ab bc思路分析从结论分析，要证 ab bc，可连结 ac，使 bc 与 ab 能落在一个三角形内，再看bac 与bca 能否相等？证明：连结 ac，交 dm 于 h， amb 75°， dmc 45°（已知）， amd 60°（平角定义） 又am md ， amd 为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ，am ad （等边三角形三边相等） ，cd bc， dcm 90°， dmc 45°， mdc 45°（三角形内角和定理） ，cd cm （等角对等边） ，ac 是 dm 的垂直平分线（和线段两端点

15、等距离的点，在线段的垂直平分线上）， mhc 90°， hcm 45°， b 90°， bac 45°，ab bc（等角对等边） 【典型热点考题】例 1如图 715，等腰 abc的对称轴与底边 bc相交于点 d，请回答以下问题：(1) ad 是哪个角的平分线；(2) ad 是哪条线段的垂直平分线；(3) 有哪几条相等的边；(4) 有哪几对相等的角点悟：此题主要考查等腰三角形的全部特点所以应当依据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题解：等腰三角形是轴对称图形，直线ad是它的对称轴 1ad 是顶角 bac的平分线2ad 是线段 bc的垂直平分线 3ab a

16、c， bd dc4 badcad，abcacb，adbadc例 2如图 716，已知 pbab，pcac，且 pbpc， d 是 ap上一点求证： bdpcdp点悟： 利用三角形全等证明两个角相等最直观，但由于图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明： pb ab， pcac，且 pb pc， pabpac到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 apbpab90°，apcpac 90°， apbapc 在pdb和pdc中，pbpcapbapcpdpd pdbpdcsas bdpcdp例 3如图 717，先找出以下各图形中的轴对称图形，再

17、画出它们的对称轴 有几条，画几条 点悟：先确定是否是轴对称图形，假如是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来 解： 1 是，它有 3 条对称轴(2) 是，它有 2 条对称轴(3) 是，它有 2 条对称轴(4) 是，它只有一条对称轴(5) 它不是轴对称图形，故没有对称轴(6) 它是轴对称图形，有一条对称轴图均略例 4如图 718， abc中， ab ac，d在 bc上，且 bd ad，dc ac，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出 b 的度数点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏在运算b 的度数时， 要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和解：图中共有三个

18、等腰三角形，它们分别是：abc， abd，cad设bx，就c xbad，adcdac 2x bcbacbcbaddacx x x 2x 5x 180°180bx365例 5如图 719，在金水河的同一侧居住两个村庄a、 b要从河边同一点修两条水渠到a、b 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河mn何处两条水渠最短 .点悟： 先将详细问题抽象成数学模型河流为直线mn，在直线 mn的同一侧有 a、b 两点 在直线 mn上找一点 p，使 p 点到 a、b 两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决解：如图 719 所示作 b 点关于直线 mn的对称点 b，连结 ab，与 mn

19、相交于 p，就 p 点即为所求事实上，假如不是p 点而是 p 点时，就连结ap、p b和 p b 由轴对称性知道，p bp b , pbpb ，所以 p 到 a、b 的距离之和，app bapp b ，而 p 到 a、b 的距离之和 appbappbab在ab p' 中，三角形两边之和大于第三边，app bab所以 p 点即为所求的点例 6如图 720，已知， ad为 abc的中线，且 de平分bda交 ab 于 e，df平分adc交 ac于 f求证： becf ef点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题 证法一：在 da上截取 dn db连结 ne、nf就 dn dc在bde和nde中，bdnd ,bdende ,dede , bdende be ne同理可得， cf nf在efn中， enfn ef三角形两边之和大于第三边 be cf ef证法二：如图721，延长 de至 m，使 dm ed，连结 cm、mf在bde和cdm中，bdcd ,bdecdm ,d