最新北师大八年级数学下册复习资料汇总

1、最新北师大八年级数学下册复习资料汇总目录知识点一：等腰三角形的分类讨论 - 1 -知识点二：等腰三角形的判定与性质综合 - 3 -知识点三：等边三角形的性质与判定 - 5 -知识点四：直角三角形 - 7 -知识点五：线段垂直平分线 - 10 -知识点六：角平分线 - 11 -知识点七：不等式与一次函数 - 13 -知识点八：解不等式（组） - 15 -知识点九：含参不等式（组）的整数解 - 16 -知识点十：不等式（组）的实际应用 - 18 -知识点十一：轴对称与中心对称图形 - 19 -知识点十二：因式分解 - 20 -知识点十三：全等三角形 - 22 -知识点一：等腰三角形的分类讨论1知识

2、秘籍当已知等腰三角形某边时，需要讨论边是腰还是底边，再根据三角形三边关系进行判 断、取舍；当已知等腰三角形某内角时，需要讨论角是顶角还是底角，再根据底角必须是 锐角来求解；当已知等腰三角形腰上的高时，需要讨论腰上高在三角形内部还是在三角形 外部。2典型例题例1一个等腰三角形的两边长分别为4, 8,则它的周长为（）A. 12B . 16C. 20D . 16 或 20- 14 -【答案】C【解答】解：当4为腰时，4 48，故此种情况不存在;当8为腰时，8 48 8 4，符合题意.故此三角形的周长 8 8 420 .故选：C .1,线段AB的端点在格点上,例2 如图，在5 5的正方形网格中，每个小

3、正方形的边长均为若画出以AB为边的等腰三角形 ABC，使得点C在格点上，则点C的个数是（）【答案】DC. 5个D . 8个【解答】解：如图所示,例3在平面直角坐标系中，直线y1 kx b经过点P(2,2)和点Q(0, 2)，与x轴交于点A ,与直线 y2 mx n交于点P .(1 )求出直线y kx b的解析式；(2)当m 0时，直接写出yi y2时自变量x的取值范围;(3)直线y2 mx n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当PAB是等腰三角形时，点【解答】解:(1)把P(2,2)和点Q(0, 2)分别代入y12k b 2kx b，得 b 2解得则直线y kx b的解析式为：yi 2x 2

4、；(2)如图所示，P(2,2).当 x 2 时，y y2 .(3)过点P作PM x轴，交于点M .由题意可知 A(1,0), M (2,0) , AP 5 , AM 1当m 0时，点B有3种位置使得 PAB为等腰三角形 当AP AB时，AB 5 ,B( 51 , 0) 当 PA PB 时，AB 2AM 2,B(3,0)当 BA BP 时，设 AB PB x , BM x 1 , PM 2 ,由勾股定理得22 x 1 2 x2，解得x 2.5 ,B（3.5,0）当m 0时，点B有1种位置使得PAB为等腰三角形.当 AB AP 时，0B 5 1 ,B（15 , 0）.综上所述，点B有4种位置使得P

5、AB为等腰三角形，坐标分别为（.5 1 , 0）、（3,0）、（3.5,0）、（1、5 , 0）.知识点二：等腰三角形的判定与性质综合1知识秘籍等腰三角形的性质主要是等边对等角，三线合一（等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高重合）；等腰三角形判定主要是等角对等边。2典型例题例1如图，已知等腰 ABC , AB AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点D，则下列结论一定正确的是 （）【解答】解：Q AB AC ,B AD BD C. DBC BAC D DBC ABDABCACB ,Q以点B为圆心，BD BCACBBDC ,BDCABCBACDBC ,ACB ,故选：C BC长为

6、半径画弧，交腰 AC于点D ,例2 已知:如图，点D , E分别在 ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：2 ;AD BE ;AF BF :DF EF ,从这四个条件ABC是等腰三角形的是（）中选取两个，不能判定A B C.D 【答案】C【解答】解：选ADBE : AFBF，不能证明 ADF与 BEF全等，所以不能证故不能判定 ABC是等腰三角形.故选：C 知识点三：等边三角形的性质与判定1知识秘籍等边三角形的性质：等边三角形三条边都相等，三个角都是60°等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形2典型例题例1

7、如图，已知：MON 30，点A、A2、A 在射线ON上，点B,、B2、B3 在射线OM 上， AB1A2、 A2B2A3、 A3B3A4均为等边三角形，若 OA 1，则 A6&A7的边长为（）B . 12A. 6 【答案】CC. 32D. 64【解答】解：Q ABA是等边三角形,AB, ABi ,341260 ,2 120 ,Q MON 30 ,1 30 ,又 Q 3 60 ,5 180603090 ,Q MON 130 ,OA1 A1B11 ,A2B11 ,Q AB2A3、 A3B3A4是等边三角形,1110 60 ,13 60 ,Q 412 60 ,A B、/ / A B2 / /

8、 A3 B3, B A2 / / B? A3 ,16730 ,58 90 ,A2 B22B1A2 ,B3A32B2As ,A3 B34B1 A24 ,A4 B4 8Bt A 8 ,A5B516B1A216 ,以此类推：A6B6 32BA,32 .故选：C .例2如图，把边长为2的等边三角形 ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到DCE，连接BD，交AC于点F .(1)证明：AC BD ;ABC沿直线BC向右【解答】(1)证明：Q ABC是等边三角形，把边长为2的等边三角形 平移，使点B与点C重合，得到 DCE ,DCE是等边三角形，ACB 60 DCE , BC AC AB DC D

9、E CE 2,ACD 180606060， CDBCBD1(1802ACBACD)30，DFC 180CDBACD180306090 ，AC BD ;(2)解：Q AB BC AC 2，AC BD，CF AF 1，在Rt BFC中，由勾股定理得：BFBC2 CF2；2 22 13，同理在Rt DFC中，由勾股定理得DF .DC2CF222123，BD BF DF 2 .3 .知识点四：直角三角形1知识秘籍直角三角形角度关系是两锐角互余直角三角形边之间的关系是满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方在一个直角三角形中，如果有一个角是30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。如果题目已

10、知 30°的锐角，求边长的关系，如何把30°的角放入直角三角形中是解题的关键。2典型例题例1 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A. 2，4，5B. 6，8，11C. 5，12，12D. 1，1，2【答案】D【解答】解：A、Q 22 42 20 52，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；2 2 2B、 Q 6 8 100 11， 不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、 Q 52 1 22 1 69 1 22， 不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、 Q 12 12 2 C-2）2，能够构成直角三角形，故本选项符合题意.故选：D .例2

11、如图，在 ABC中， C 90， ABC 60 ，BD平分 ABC，若AD 6，则CD等 于（）cA. 3B . 4【答案】A【解答】解：Q C 90 ,C. 5ABC 60 ,A 30 ,Q BD 平分 ABC ,CBD ABD A 30 ,BD AD 6 ,11CD -BD 6 -3 .2 2故选：A .例3人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学想法，其中转化思想是中学教学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则 图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法.问题提出：求边长分别为,5、,10、13的三角形面积.问题解决：在解答这个问题

12、时， 先建立一个正方形网格 (每个小正方形的边长为 1),再在网格中画出边长分别为.5、.10、 13的格点三角形 ABC (如图1) , AB ,5是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，BC .10是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，AC . 13是直角边分别为 2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1) 请直接写出图1中ABC的面积为;(2) 类比迁移：求边长分别为.5、2 2、17的三角形的面积(请利用图2的正方形网格 画出相应的 ABC，并求出它的面积).(3) 思维拓展：求边长分别为.a2

13、16b2 , - 9 a2 4b2 , 2 a2 b2 (a 0 , b 0 , a b)的 三角形的面积；(4) 如图3,已知 PQR ,以PQ , PR为边向外作正方形 PQAF ,正方形PRDE,连接EF ,322故答案为：2 ；AQRDEF的面积是12(2)如图2所示： ABC即为所求,1 2 22Sabc 2 4 2(3)如图3,S 3a 4b -23a2b12a22b4b5ab ；(4)如图4:Q S PEFS PQR 4六边形AQRDEF的面积13故六边形AQRDEF的面积为31.故答案为：31.圉斗知识点五：线段垂直平分线1知识秘籍垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两

14、端点距离相等。题目已知垂直平分线，需要连接垂直平分线上的点与线段端点，可得到两条线段相等，可得到等腰三角形。垂直平分线的尺规作图步骤是：分别以线段两端点为圆心，大于线段长一半为半径画弧，作过两条弧的交点的直线。作图理由是：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。2典型例题例1 如图， ABC中，DE是AC的垂直平分线， AE 8， ABD的周长是30，贝U ABC的周长是（）B . 38C. 40D. 46【答案】D【解答】解：Q DE是AC的垂直平分线,DA DC , AC 2AE 16 ,Q ABD的周长为30,AB BD AD AB BD DC AB BC 16 3046 ,ABC

15、 的周长 AB BC AC 46.故选：D .例2 如图，DE、FG分别是 ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且BAC 100，那么DAF的度数为()D. 40A. 10B. 20C. 30【答案】B【解答】解：Q / BAC 100 ,B C 80 ,QDE是AB边上的垂直平分线，DA DB,DAB B ,同理， FAC C ,DAB FAC B C 80 ,DAF BAC ( DAB FAC) 20 ,故选：B .知识点六：角平分线1知识秘籍角平分线上的点到角两边的距离相等；垂直于角平分线的直线与角两边交点和角的顶点构成等腰三角形；平行于角一边的直线与角的另一边和角平分线围成等腰三角形；

16、在角的两边任取两条等线段和角平分线上任意一点构成两个全等三角形。2典型例题例1如图，三条公路把 A, B , C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场， 要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在( )CA .在 AC ,BC两边高线的交点处B. 在 AC ,BC两边中线的交点处C. 在 A ,B两边角平分线的交点处D. 在 AC ,BC两边垂直平分线的交点处【答案】C【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在A、 B两内角平分线的交点处.故选：C .例2如图，点P是 AOB的角平分线上一点，过点P作PC / /OA交0B于点C，过点P作4，贝

17、U PD【答案】2.3【解答】解：过点 P作PE 0B于点EQ AOB 60，点P是AOB的角平分线上一点,POD POC 30 ,又 Q PC/OA ,PCB AOB 60 , POC 30 ,Q PCO 18060120 ,POC OPC 30 ,OCP为等腰三角形,QOC 4 , PCE 60 ,PC 4 , CE 2 , PE 4 2 222 3 ,则 OP 4 3,1 又QPD 2OP，PD 2 3 .-15 -故答案为2.3 .OC E B例3如图，在 ABC中， ABC和 ACB的平分线交于点 E，过点E作MN /BC交AB于M，交AC于N，若BMCN8，则线段MN的长为（A.

18、5C. 7【答案】D【解答】解：Q ABC、ACB的平分线相交于点 E ,- 29 -Q MN / /BC ,EBCMEB ,NECECB ,MBEMEB ,NECECN ,BM ME,ENCN ,MN MEEN ,即MNBM CNQ BM CN8 ,MBE EBC , ECNECB ,MN 8, 故选：D .知识点七：不等式与一次函数1知识秘籍一次函数是两个变量之间的关系，一元一次不等式描述了这两个变量满足某些条件状态。利用一次函数图象可以求当y满足一定关系时对应x的取值范围，就可以求出不等式的解集。2典型例题例1 如图，一次函数y kx b的图象经过 A(2,0)和B(0, 1)，则关于x

19、的不等式kx b-0的【解答】解：由题意可得：一次函数y kx b中，y 0时，图象在x轴上方，xy 0 时，x 2,则关于x的不等式kx b0的解集是x-2 , 故答案为：x2 .例2 直线h : y ax b与直线 ymx n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,【答案】Dn的解集为(【解答】解:axb与直线12: ymx n交于点(1, 2),ax b mxn的解集为1.故选：D .例3.直线h :yKx b与直线I2: yk?x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k?xk,x b的解集为(V3/ -1 0A. x 3B. x 3C. x 1【答案】D【解答】解：当x

20、1时，k2x kx b ,所以不等式k2xb的解集为x 1 .故选：D .知识点八：解不等式（组）1知识秘籍不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1;特别注意：系数化为1时，系数为正，不等号方向不变；系数为负，不等号方向改变；不等式组的解集就是各不等式解集的公共部分。2典型例题例1若a b，则下列式子不成立的是 （）b - 3a - 32b2a3ba3B3b3aA【答案】B【解答】解：A、不等式a b的两边

21、同时减去 3，不等式仍成立，即 a 3 b 3，故本选 项不符合题意.B、不等式a b的两边同时乘以 3，不等号方向改变即：3a 3b，故本选项符合题意.C、不等式a b的两边同时加上2,不等式仍成立，即a 2 b 2，故本选项不符合题意.D、不等式a b的两边同时乘以1，不等式仍成立，即3-,故本选项不符合题意.3故选：B .例2 解不等式组2x 3x 62(x 1), x 5【解答】解:2x 3x 62(x 1) x 5解第一个不等式得x 6,解第二个不等式得X 3 ,则不等式组的解集为 x 6;x 23（x 2）3 解不等式组：2x 1 5x 1，并将解集在数轴上表示.132x 23 x

22、 2【解答】解：2x 1 5x 13 2由得，x, 2 ,由得，x 1 ,故不等式组的解集为：1 x, 2 .在数轴上表示为:知识点九：含参不等式（组）的整数解1知识秘籍求不等式组的整数解只需解不等式组，再将不等式组解集中的整数写出来；已知不等式组的整数解个数求字母参数的取值范围：首先把字母参数看作常数，按正常解不等式（组）的步骤求出含有字母参数的解集，其中一端是已知，可根据不等式组的整数解个数，确定另一端在哪两个整数之间（注意两端只有一端符合要求可取等），再要求不等式含字母解集的一端在两个整数之间，从而列出关于字母参数的不等式（组），即可求得字 母的取值范围。2典型例题x 2(x 3)4例1

23、 解不等式组 x，并写出它的整数解.-(x 1), 2 x2x 2(x 3)4【解答】解：x,(x 1), 2 x2解第一个不等式得x 2 , 解第二个不等式得x, 6，不等式组的解集为 2 X, 6,不等式的整数解为3，4，5，6.例2若不等式(a 3)x 1的解集为x，则a的取值范围是a 3【答案】a 3【解答】解：Q(a 3)x 1的解集为x ,a 3不等式两边同时除以(a 3)时不等号的方向改变,a 3 0 , a 3 .故答案为：a 3.，这1 .例3.对x , y定义了一种新运算T ,规定T (x, y) ax_by (其中a , b均为非零常数)2x y里等式右边是通常的四则运算

24、，例如：T(0,1) ? 0匕,已知T(1, 1)2 , T(4,2)2 0 1(1 )求a , b的值；(2)若关于m的不等式组黑52：；),4恰好有3个整数解，求P的取值范围.【解答】解：(1)根据题意得:a b 2 2a b 5 得：3a 3,把a 1代入得:2m 3 5(2)根据题意得:4m 5 4mm 3 3 2m2m 3 2m由得：m-2由得：m乞宝,5不等式组的解集为 1, m L2p ,25Q不等式组恰好有3个整数解，集m 0 , 1, 2,29 3p, 3，解得：2, p 1 .53知识点十：不等式(组)的实际应用1知识秘籍根据实际含义将大小关系用不等式表示出来，解不等式，并

25、根据题中要求对不等式的解集进行取舍。2典型例题例1在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，则至少要答对 _道题，其得分才会不少于80分？【答案】12【解答】解：设答对 x道题，根据题意可得：10x 5(20 x)80 ,解得：x-12 ,所以至少要答对12道题，故答案为：12.例2小李是某服装厂的一名工人，负责加工A , B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元.已知小李每天可加工 A型服装4件或B型服装8件，设他每 月加工A型服装的时间

26、为x天，月收入为y元.(1 )求y与x的函数关系式；(2)根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于 B型服装数量的-，那么他的5月收入最高能达到多少元？【解答】解：(1)由题意得， y 20 4x 12 8 (22 x) 900，即 y 16x 3012 ;(2)依题意，得4x3 8 (22 x),5xT2 .在 y 16x 3012 中,Q 16 0,y随x的增大而减小.当x 12时，y取最大值，此时 y 16 12 30122820 .答：当小李每月加工 A型服装12天时，月收入最高，可达2820元知识点一：轴对称与中心对称图形1知识秘籍轴对称图形：沿一条线翻折，直线两侧的部分可以

27、完全重合；中心对称图形：绕某点旋转 180°旋转前后的图形可以完全重合。2典型例题例1下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是()【答案】A【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误.故选：A .例2 .如图，在平面直角坐标系中有ABC，其中A( 3,4) , B( 4,2) , C( 2,1).把 ABC绕原点顺时针旋转90，得到 ABQ! 再把 ABQ!向左平移2个单位，向下平

28、移 5个单位得到 A,B2C2 .(1) 画出 ABG 和厶 A2B2C2 .(2) 直接写出点B!、B2坐标.(3) P(a,b)是ABC的AC边上任意一点，ABC经旋转平移后P对应的点分别为 R、P?,请直接写出点P、P2的坐标.(2)点B坐标为(2,4)、B2坐标为(0, 1);(3)由题意知点 R坐标为(b, a)，点的坐标为(b 2, a 5).知识点十二：因式分解1知识秘籍因式分解是把一个整式写成多项式乘积的形式;因式分解的常用方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法;方法的采用顺序为先提取公因式，再看是否可以套用公式，最后考虑分组分解法;因式分解要分解到不能再分解为止。2典型例题A

29、.2 a2abb221 (a b) 1C.(x2)(x2)2x 4【答案】D【解答】解:A、2 a22ab b 1 (a例1下列各式变形中，是因式分解的是(故A错误;)2 2 1B. 2x 2x 2x (1)x42D. x 1 (x 1)(x 1)(x 1)2b) 1中不是把多项式转化成几个整式积的形式,B、 2x2 2x 2x2(1丄)中1不是整式，故B错误;x x2C、 (x 2)(x 2) x4是整式乘法，故 C错误；4 2 2 2D、x 1 (x 1)(x1) (x 1)(x 1)(x 1)，故 D 正确.故选：D .例2因式分解32(1) 2a 12a18a2 2(2) 9a (x

30、y) 4b (y x)【解答】解：(1)原式 2a (a 6a 9) 2a(a 3)；(2)原式 (x y)(9a2 4b2) (x y)(3a 2b)(3a 2b).A.6B.12C.13或 11D. 13 或 11【答案】D【解答】解：Q 4x2(k1)x9能用完全平方公式因式分解，k 112，解得：k13或11 ,故选：D .例3.若4x2(k 1)x 9能用完全平方公式因式分解，则k的值为()知识点十三：全等三角形1知识秘籍：全等三角形的性质是全等三角形对应边相等，对应角相等；常用来证明不在一个三角形中的两个边相等 。全等三角形的判定有：SSS、SAS、ASA、AA、HL。当要证的两个三角形存在一组角相 等，且这组角的邻边相等，则找任意一角或角的另一邻边相等即可证明；若已知一组角和这组角的对边相等，则需要再找一组角相等；若已知两组角相等，则找任意一边相等即可证明。常见的全等三角形模型有：手拉手”模型、 一线三等角”模型。手拉手”模型的特点是：共端点、等线段、夹角同。找到两组等线段，利用夹角加减公 共角得到不等线段之间的夹角相等，利用SAS证明拉手”三角形全等，进而得出拉手边相等，结合“8字”导角可证明拉手边夹角等于等线段夹角。