西南交通大学概率教案15(考研必备)精品名师资料

1、5.1 大数定律大数定律一、大数定律的概念一、大数定律的概念二、依概率收敛性二、依概率收敛性三、常用的大数定律三、常用的大数定律一、大数定律的概念一、大数定律的概念的的渐渐近近稳稳定定性性的的事事实实。明明了了平平均均结结果果大大数数定定律律的的意意义义在在于于指指 nkknxnx11定义定义1.1 设设x1,x2,是是随机变量序列随机变量序列, e(xk)存存在在(k=1,2,), 令令 , 若若对于任意正对于任意正数数 , 有有或或则称则称xn服从大数定律服从大数定律, 或称或称大数法成立大数法成立。 nkknxnx111| )(|lim0| )(|lim nnnnnnxexpxexp二、

2、依概率收敛性二、依概率收敛性aypn定义定义1.2 设设y1,y2,是是随机变量序列随机变量序列, a是是一个常数一个常数, 若若对于任意正数对于任意正数 , 有有则称则称序列序列yn依概率收敛于依概率收敛于a, 记为记为1| )|lim aypnn注注1 一般地一般地, 若若y为随机变量为随机变量, 对任意的对任意的 0, 满足满足则称则称序列序列yn依概率收敛于依概率收敛于y, 记为记为特别地特别地, 当当y=a时时, 即为定义即为定义1.2。1|lim yypnnyypn注注3 随机变量序列随机变量序列x1,x2,xn,依概率收依概率收敛于敛于a, 意味着对于任意给定的正数意味着对于任意

3、给定的正数 0, 当当n充分大时充分大时, 随机事件随机事件|xna|0, 有有 pnpnxenxnexekppxdpxepxppxpxxxxnxnkakakxnkknkknkkkknnnkkak 1)(1)1()(, 2 , 1)1()()(101, 2 , 11011211，故，故，点分布，即点分布，即相互独立，且均服从两相互独立，且均服从两注意注意则：则：，发生发生次试验中次试验中若在第若在第不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第证：引入随机变量证：引入随机变量papannnafapnnpnppxdxexpnpppnpnxdnxndxdanannnnnnkknkkn )()(0lim0

4、)1()(| )(|0)1()1(1)(1)1()(222121发发生生的的概概率率件件增增大大时时，几几乎乎是是等等于于事事无无限限，当当发发生生的的频频率率件件贝贝努努利利定定理理表表明明了了某某事事即即，对对任任意意给给定定正正数数再再由由车车比比雪雪夫夫不不等等式式知知 2 2、车比雪夫、车比雪夫大数定律大数定律0|lim nnxp定理定理1.2 设设x1,x2,相互相互独立，且具有相独立，且具有相同的期望和方差同的期望和方差e(xk)= ，d(xk)= 2，k=1,2,，则则x1,x2,服从大数定律，即服从大数定律，即对于任意正数对于任意正数 0，有，有 pnknkknnnnnnkk

5、nkknnkknkknnxkxexnxnxxnxdxexpnxdnxndxdnnxenxnexex，即即，望望，依依概概率率接接近近于于数数学学期期项项的的平平均均结结果果前前了了，随随机机变变量量车车比比雪雪夫夫大大数数定定律律说说明明，有有，对对任任意意正正数数故故由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式知知的的期期望望与与方方差差为为证证明明：由由题题设设知知, 2, 1)(1,0)(| )(|0)(1)1()(1)(1)1()(1212222121113 3、辛钦、辛钦大数定律大数定律定理定理1.3 设随机变量设随机变量x1,x2,独立同独立同分布分布, 具有期望具有期望e(xk)= , k=

6、1,2, 则则对于任意正数对于任意正数 0, 有有 pnnnxxp，即，即1|lim2)(2)(, 2 , 1),(baxebaxenkbauxnkk ，故故，解解：因因为为?11依依概概率率收收敛敛于于何何值值 nkknxnx例例1.1 设随机变量设随机变量x1,x2,相互相互独立独立, 且均且均服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布。试问平均值上的均匀分布。试问平均值，故故由由辛辛钦钦大大数数定定理理知知：2baxpn 。的的中中点点即即依依概概率率收收敛敛于于区区间间2),(baba pnkknkkxnxkxex11, 2 , 1)()(由辛钦大数定理知由辛钦大数定理知，故，故，解：因为解：因为例例1.2 设随机变量设随机变量x1,x2,xn,相互独立，且相互独立，且均服从泊松分布均服从泊松分布 ( )，试问当，试