同底指数函数与对数函数图象交点个数

1、同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数y = ax (a > 0且a ¥ 1)与对数函数 y = loga x(a>0且a¥1)互为反函数，那么它们图象有什么关系呢?通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线y=x对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分a>1和0<a<1两者情况进行讨论.1 .当a a 1时在几何画板中，画出 y =2x与y = log2x图象，

2、发现它们没有公共点(如图 1).确实如此事实上，由反函数图象对称性知当底数a (a >1)逐渐变小时，y = ax(a > 1)与y = loga x(a >1)图象与y = x逐渐接所以研究y = ax(a>i)与y = loga x(a > 1)图象交点情况即研究 y = ax(a>1)与y = x图象交点情况.卜面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程2-2中知识)让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数(选修 解法如下：xa = x(ax )=111x ax ln a = 1=xln xx =仁 ln x = 1

3、1二 x =e，彳#ae =e,即a = ee1所以，当a=ee时，函数y =ax与y =loga x图象与y=x相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得：当aee时，函数y = ax与y =loga x图象有0个交点；1当2=3,时，函数y =ax与y = loga x图象有1个交点；1当1 <a cee时，函数y = ax与y = log a x图象有2个交点.2 .当 0 <a <1 时同样地，我们也在几何画板中画出y1 fi 与 y = log1 x 图象, '2)2发现它们有一个交点(如图4).当底数a (0 < a < 1)逐渐变小时，我们惊奇

4、地发现y = ax(0< a <1)与y = loga x(0 < a <1)图象出现了 3个交点(如图5).图5由函数的单调性和连续性知，当0 < a <1时，y = ax(0<a<1)与3个.y = loga x(0 < a <1)图象不可能相切，所以交点情况只有 1个或者同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a的值，类似的，我们得到以下结论:当 e" <a <1 时,函数y = ax与y =loga x图象有1个交点;a当0 ca <e 时,函数x .y = a与y = log a x图象有3个交点

5、.综上所述，1当a >ee时，函数x .y = a与y = log a x图象有0个交点；1当a =ee或e Wa <1时，函数y =ax与y = loga x图象有1个交点;1当1 <a <ee时，函数y = ax与y = loga x图象有2个交点；当0 <a <e时，函数yax与y = loga x图象有3个交点.微练习：1 .下列命题 若点（m,n）在函数y= ax图象上，则点（n,m）在函数y = logax图象上 当a > 1时，函数y = loga x的图象与直线y = x无公共点 若点（m,n）既在函数y = ax图象上，也在函数y =

6、 logaX图象上，则m = n 当0 <a < 1时，函数y = ax的图象与直线y = x有且只有一个公共点 其中正确的命题的个数为（）A. 0个B .1个 C .2个 D .3个2 .已知a >1,则方程ax =| loga x |实根的个数为（）A. 1个 B . 2个C . 1个或2个 D .1个或2个或3个3 .已知0 <a <1,则方程a' =|loga x|的实根的个数为（）A. 2个B . 3个C. 2个或3个 D .2个或4个【答案】1 .由反函数图象对称性知正确；当 a>1时，函数y = loga x的图象与直线y = x可能

7、有0个或1个或2个交点，所以错误；当 0 < a < 1时，函数y = ax与函数y = loga x交 点有3个时，其中2个不在y=x上，所以错误；当 0<a<1时，函数y = ax与直线只 有一个交点，所以正确.故选C.2 .由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数y = ax与函数y =|loga x图象交点个数，而y =|loga *是把y =loga x图象在x轴下方部分作关于 x轴对称，又因为当a>1时，函 数y = ax与函数y = loga x图象交点可能有 0个或1个或2个，所以ax =| loga x |实根个 数可能是1个或2个或3个，故选D.3 .