《环流量与旋度》PPT课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 *环流量与旋度环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与途径无关的条件二、空间曲线积分与途径无关的条件 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 yzxO一、一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面设光滑曲面 的边境的边境 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有延续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法那么, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1. 与平行与平行 z

2、 轴的直线只交于轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 无妨设 取上侧 (如图).yxDC那么有简介 目录 上页 下页 返回 结束 那么xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyzxOnyxDC定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三

3、式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面曲面 与平行与平行 z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 那么可经过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上运用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 留意留意: 假设假设 是是 xOy 面上的一块平面区域面上的一块平面区域, 那么斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆

4、, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为记三角形域为 , 取上侧取上侧,那么个边境, 方向如下图. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD目录 上页 下页 返回 结束 z2xyO例例2. 为柱面

5、为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, .ddd2zxzyxyxyI解解: 设设 为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域 ,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210那么其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式其他方式 计算目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd*二、空间曲线积分与途径无关的条件二、空间曲线积分与途径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有延续一阶偏导数,那么以下四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有

6、0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与途径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与途径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQxPzyxu证证:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知结论成立;)2() 1 (自证) )3()2(设函数 那么xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxPxd1

7、lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,同理可证 ),(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(假设(3)成立, 那么必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一阶偏导数延续, 故有yxuyP2xQ同理 zPxRyRzQ,证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zyxyxzxzyd)(d)(d)(与途径无关, zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: : 令令yxRx

8、zQzyP,1xQyP,1yRzQ1RPxz 积分与途径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyO),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例3. 验证曲线积分验证曲线积分定理2 并求函数目录 上页 下页 返回 结束 *三、三、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为那么斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos

9、目录 上页 下页 返回 结束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引进一个向量),(RQPA Ar ro ot t记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场 A 定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量.sASnAddr ro ot t或 sASAndd)(r ro ot t于是得斯托克斯公式的向量方式 : 旋度旋度. A目录 上页 下页 返回 结束 zxyOl设某刚体绕定轴 l 转动,M 为刚体上任一点, 建立坐标系如图,M那么),(zyxr 角速度为,r), 0, 0(点 M 的线速度为rvvrotrotzyxkji00)0,(xy0 xykjiz

10、yx)2, 0, 0(2(此即“旋度一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 留意 与 的方向构成右手系! sASAndd)(rotrot向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义:例例4. 求电场强度 rrqE3zyxkjiErotrot的旋度 .解解: )0, 0, 0(除原点外)这阐明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.3rxq3ryq3rzqn目录 上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解解: ) 1,0,0(, 4:222zyx例例5. 设设),3,2(2zxyA .dSnAIr

11、ro ot t)cos,cos,(cosn为nSIdcos0ddddxyxyDDyxyxyxyxdddd下上zyxkjiAAr ro ot t232zxy目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos也可写成:SAsAnd)(d),(RQPA 其中AnA)(A 的旋度AA在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPddd在 内与途径无关在 内处处有在 内处处有),(RQPr ro ot txQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与

12、途径无关的充要条件空间曲线积分与途径无关的充要条件设 P, Q, R 在 内具有一阶延续偏导数, 那么RQPkjizyx0目录 上页 下页 返回 结束 zuyuxu,3. 场论中的三个度场论中的三个度设, ),(zyxuu 梯度:uradradg gu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotrotAAdivA散度散度:旋度旋度:那么, ),(RQPA目录 上页 下页 返回 结束 思索与练习思索与练习,222zyxr设那么.)(;)(divrrr ra ad dg gr ro ot tr ra ad dg g提示提示:rr ra ad dg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rr ra ad dg gr ro ot t三式相加即得)(divrr ra ad dg grzryrxzyxkji0目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7补充题: 证明 0)(A)0)(div(A