大学数学：第一部分 向量代数习题课(1)

1、1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径、向径、重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、向量的方向余弦向量的方向余弦)1coscoscos(222 (1) 加法：加法：cba 2 2、向量的运算、向量的运算dba ab(2) 减法：减法：cba dba (3) 向量与数的乘法向量与数的乘法a cos|baba (4) 数量积数量积(5) 向量积向量积 sin|bac 模模:且符合右手规则且符合右手规则,acbc方向方向:

2、bac(6) 混合积混合积()abc （7）向量积）向量积()abc 3 3、向量运算的坐标表示法、向量运算的坐标表示法),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa设设加减加减: :数乘数乘: :点积点积: :),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa叉积叉积: :kjixayazaxbybzbba()abc zyxzyxzyxcccbbbaaa 混合积：混合积：4 4、向量关系、向量关系xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba例例1

3、判断题判断题cbacbacbacbacbacba )()()()()()(1.下列式子有否意义？下列式子有否意义？为为单单位位向向量量？，则则若若nkjin . 2?),sin(. 3对不对对不对bababa ?),0(,2. 4对不对对不对 aaaaa是否成立？是否成立？bacbca . 5答：答：未必成立未必成立cbaiibaicbacbcacbac ),)0)(0, 0)2(, 0)1(可取任何向量；可取任何向量；，例例2).,(:)27()4(),57(3bababababa求求）（设设 (*)08307)27()4()27()4(*)015167)57(3)57(32222 bbaa

4、bababababbaababababa）（）（解解222(*)(*)bbaa解解得得联联立立方方程程 3),(,21),cos( babababaaccbbacba 试试证证已已知知, 0例例3证明证明)(, 0baccba accbba baababaac )(baabbabcb )(故故一、化简一、化简)()(2()()(1(babababa 22ba ab 2二、已知二、已知A(1,-2,3), B(4,-4,-3), C(2,4,3), D(8,6,6), 求：求：ABCDABCCDVSBACABj四四面面体体体体积积)4()3()2(Pr)1( 44)4(433)3(3779arc

5、cos)2(74Pr) 1 ( ABCDABCCDVSBACABj四四面面体体体体积积 三、计算：三、计算：-1414.4, 9),3 , 2 , 1(,5 , 1, 3cbcackba的的向向量量及及满满足足且且求求垂垂直直于于四四、已已知知 0 , 3, 2 c(1)2,4,42aba bab已知：，求(2)( , ),2,5,3(2 ) (3 )a bababab已知：求.3 , 1, 2,2)2(.,432,2)1(321方向上的分力方向上的分力在在求求力力大小和方向大小和方向作用于一点，求合力的作用于一点，求合力的三个力三个力五、五、 bFkjiFkjfkjifkif73,71,72143,141,142142)( 142)(2(323)1(00 bFbFFkjiFbb分力：分力：角角。直直径径所所对对的的圆圆周周角角为为直直不不等等式式六六、应应用用向向量量证证明明：)2()()()1(2322212322212332211bbbaaabababaCauchy 证明证明(1)222222321321,cos,bababababbbbaaaa ）（）（设设)()(2322