大学物理：第3章 刚体力学

1、茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳本章内容本章内容3.1 刚体运动学刚体运动学3.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律3.4 刚体刚体绕定轴转动的动能和动能定理绕定轴转动的动能和动能定理3.3 角动量角动量 角动量矩守恒定律角动量矩守恒定律 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 1 平动平动：若刚体中所有：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体

2、内任意两点同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线初始位置间的连线 .3.1 刚体运动学刚体运动学3.1.1 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 刚体是理想模型。刚体是理想模型。说明：说明： 刚体模型是为简化问题引进的。刚体模型是为简化问题引进的。r平动的特点平动的特点: :ABrrABBArrBAvvBAaa刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动xyzOABArBr1BM2B3BnB1A2A3AnA刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同定轴转动演示定轴转动演示定点转动演示定点转动演示OABABssxy 转动：刚体中所有

3、的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分转动又分定轴定轴转动和转动和非定轴非定轴转动转动 .2 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动定轴转动定轴转动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动_刚体刚体转动转动（用角量描述）（用角量描述）转转轴轴固定不动固定不动 定轴转动定轴转动刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+)(tf)( ddtft22dd( )ddfttt刚体绕定轴转动

4、刚体绕定轴转动zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度描述描述 刚体绕定轴转动的刚体绕定轴转动的角量角量3.1.2 角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 ., a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 3.1.2 角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量dtd 大小：大小：1 角速度矢量角速度矢量方向：方向： (a)0zz0(b)rv2 角加速度矢量角加速度矢量dtd

5、定轴定轴转动：设转轴与转动：设转轴与z轴重合，则有轴重合，则有 0yxkzkzvrA1 角速度矢量角速度矢量dtd 大小：大小：方向：方向： (a)2nartdvardt3 角量与线量的关系角量与线量的关系tarvna* * 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点

6、匀变速直线运动公式对比c例例1半径为半径为30cm的飞轮，从静止开始以的飞轮，从静止开始以0.5 rads-2的的匀匀角加速度角加速度转动。求飞轮边缘上一点转动。求飞轮边缘上一点 P，在飞轮转过，在飞轮转过240时的角速度、速度和加速度。时的角速度、速度和加速度。 设转轴设转轴z垂直于纸面指向读者，垂直于纸面指向读者，且且 t = 0 时时 刻 ， 点刻 ， 点 P 的 角 位的 角 位置置 ，角速度，角速度 。 0000则则t时刻，时刻，P运动到运动到P点的角位点的角位置为置为34180240PxOyPv由由 得得20021tt34503422.ts点点P在在t 时刻的时刻的角速度的大小角速

7、度的大小为为 32345000.t1srad速度的大小速度的大小为为 360303290sin.rv1sm切向加速度和法向加速度分别为切向加速度和法向加速度分别为 1503050.rat2sm.ran40303422smnte.e.a40150加速度加速度为为加速度的大小加速度的大小为为 131401502222.aaant2sm方向方向为为 283arctg.aatn为为 与与 的夹角的夹角av3.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律一一. 力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对Z轴的力矩轴的力矩( )zt

8、M FFr Fh力矩取决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向只有两个指向质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态rF/FnFtFhFAz Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 OZ轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且且在在转动平面内转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M3.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律

9、单位：单位：牛顿米牛顿米mN力矩取决于力的大小、方向和作用点力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMz 2）若力若力 不在转动平面不在转动平面内，把力分解为平行和垂内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，故故 对转轴的力矩对转轴的力矩zFFrFzFnFtFhFAz ( )ztM FFrF h1)1) 力对点的力矩力对点的力矩O .FrMOFroM力对转轴的力矩力对转轴的力矩 只是力对参考点只是力对参考点O O的力矩

10、在转轴方向上的分量。的力矩在转轴方向上的分量。4）刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM3 3）合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM一对内力对参考一对内力对参考点点O O的的合力矩为零合力矩为零。0,0iiMF0,0iiMFFFFFMJM JzMJ刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若

11、转动惯量不同，产生的角加速度不同实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动(3) 与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：,MF Jma讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k = 13.2.2 刚体刚体对对定轴定轴的的转动定律转动定律当存在当存在 M 时，时， 与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(1) M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大越大刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律理论推证理论推证OzimiriFiFiiiiamFF对质元 ：im对刚体上所有质元对刚体上所有质元 ：iiiiamFF外力之和iF内力之和iF为零

12、为零取一质量元取一质量元iiiamF所以有所以有OzimiriFiFitFinFteneiiiamF在在自然坐标系自然坐标系下下 iniinamFitiitamF力力 对对z 轴的力矩为轴的力矩为iFiitirFM合外力对合外力对z 轴的合力矩为轴的合力矩为 iitirFMM合外力对合外力对z 轴的合力矩为轴的合力矩为 iitiiitramrFM合外力对合外力对z 轴的合力矩为轴的合力矩为 iitiiitramrFM将将 代入上式，有代入上式，有raiitrmrFMiiiit22iirmJ设设 -转动惯量转动惯量合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 JJM 刚体的转动定律刚体的转动

13、定律JM 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律：作定轴转动的刚体，在：作定轴转动的刚体，在总外力矩总外力矩 M 的作用下，所获得的角加速度与总的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。比。2iirmJ定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布mrJd2计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)总质量总质量 (2)质量分布质量分布 (3)转轴的位置转轴的位置3.2.3 转动惯量转动惯量 J 的意义的意义：转动惯性大小的量度转动惯性大小的量度 。 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2例例1

14、质量为质量为m，长为，长为l，密度均匀的细杆，求：，密度均匀的细杆，求：(1)它它对过杆的中心且与杆垂直的对过杆的中心且与杆垂直的z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。(2)试分试分析，当转轴由析，当转轴由z 轴开始沿杆的方向平移到杆的一端时，轴开始沿杆的方向平移到杆的一端时，转动惯量如何变化。转动惯量如何变化。 (1)把杆分成许多无限小的质元，杆的线密度为把杆分成许多无限小的质元，杆的线密度为，以以z轴与轴与杆的交点杆的交点C为坐标原点，建立坐标轴。为坐标原点，建立坐标轴。Czxxdx在距离在距离z 轴轴x处，选取一质元处，选取一质元dx，则该质元的质量为，则该质元的质量为2CJr dm其中其中m

15、/l dxdm木铁JJ(1) J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关122222mldxxll(2)CzxxdxdOAz222322-21212mdmlldllmdxxJldld细杆的一端细杆的一端A到点到点C的距离为的距离为 2ld 32121222222mllmmlmdmlJA所以所以OLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM2222121dMLxxJ/L/L平行轴定理平行轴定理zdCMzz(3) J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关JcJd: :刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量: :刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴: :两轴间垂直距离两轴间垂直距离2MdJJC(

16、2) J 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRmROmrdrrrsd2d smddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2d222R2MdJJC-转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理 影响转动惯量大小的影响转动惯量大小的因素：因素： 质量质量 质量的分布（见下表）质量的分布（见下表） 转轴的位置转轴的位置3-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法

17、不正确的是下列说法不正确的是 (D) 只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩，才能改变刚体绕转轴转动的运动状态矩，才能改变刚体绕转轴转动的运动状态(C) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零定是零(B) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零能是零(A) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零定是零 C (3) 物体物体B与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。 (1

18、) 滑轮的角加速度。滑轮的角加速度。(2) 物体物体A与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。3-6如图所示，质量均为如图所示，质量均为m的物体的物体A和和B叠放在水平面上，叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。设定由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。设定滑轮的质量为滑轮的质量为m，半径为，半径为R，且，且A与与B之间、之间、A与桌面之与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动。物体动。物体A在力在力的作用下运动后，求：的作用下运动后，求：FJRTRT12221mRJ maTF211TT22TTRa

19、mRFRJmRF522/FTT5322FTT5211解解：设滑轮转动方向为正方向，由刚体定轴转动定律有：设滑轮转动方向为正方向，由刚体定轴转动定律有由牛顿第二定对由牛顿第二定对物体物体A：有有其中，其中， 因绳与滑轮之间无相对滑动，则因绳与滑轮之间无相对滑动，则 有有将将4个方程联立，可得个方程联立，可得滑轮的角加速度滑轮的角加速度 物体物体A与滑轮之间的绳中的张力与滑轮之间的绳中的张力物体物体B与滑轮之间的绳中的张力与滑轮之间的绳中的张力 对物体对物体B：1Tma1T2T和和间的摩擦力，且绳子相对滑轮没有滑动间的摩擦力，且绳子相对滑轮没有滑动) R根质量不计的轻绳相连，此绳跨过一半径为根质量

20、不计的轻绳相连，此绳跨过一半径为、质量为、质量为1m2mAB3-7 如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为和和的物体的物体和和用一用一mA若物体若物体与水平面间是光滑接触，求：与水平面间是光滑接触，求：的定滑轮。的定滑轮。绳中的张力绳中的张力各为多少？各为多少？(忽略滑轮转动时与轴承忽略滑轮转动时与轴承1(1)1Tm a22222(2)PTm gTm a解：根据牛顿第二定律，有解：根据牛顿第二定律，有21(3)RTRTJ11TT 22TT 由刚体的定轴转动定律有由刚体的定轴转动定律有因绳子质量不计，所以有因绳子质量不计，所以有, (4)aR1(5)22JmRmmmgmmT2121211mmm

21、gmmmT212121212将上面将上面5个个方程联立方程联立1(1)1Tm a22222(2)PTm gTm a21(3)RTRTJ11TT 22TT (4)aR1(5)22JmR得得J轮轮的转动惯量为的转动惯量为的摩擦均忽略不计。求：两物体运动的加速度。的摩擦均忽略不计。求：两物体运动的加速度。 1r2r21rr AB*3-8 如图所示，物体如图所示，物体和和该定滑轮由两个同轴的，且半径分别为该定滑轮由两个同轴的，且半径分别为和和(分别悬挂在定滑轮的两边，分别悬挂在定滑轮的两边，)1m2m的圆盘组成。已知两物体的质量分别为的圆盘组成。已知两物体的质量分别为和和，定滑，定滑，轮与轴承间的摩擦

22、、轮与绳子间的，轮与轴承间的摩擦、轮与绳子间的1111 1(1)1PTm gTma222222(2)TPTm gm a1 12 2(3)TrT rJ11TT 22TT 11(4)ar22(5)ar解：解：其中其中根据牛顿定律和刚体的转动定律有根据牛顿定律和刚体的转动定律有222211122111rmrmJgrrmrma222211222112rmrmJgrrmrma解上述方程组，可得解上述方程组，可得1111 1(1)1PTm gTma222222(2)TPTm gm a1 12 2(3)T rT rJ11TT 22TT 11(4)ar22(5)ar其中其中3-9下面说法中正确的是下面说法中正

23、确的是 (D) 物体的动能变化物体的动能变化, 动量却不一定变化动量却不一定变化(C) 物体的动量变化物体的动量变化, 角动量也一定变化角动量也一定变化(B) 物体的动量不变物体的动量不变, 角动量也不变角动量也不变(A) 物体的动量不变物体的动量不变, 动能也不变动能也不变A 021过程中阻力矩所做的功为多少？过程中阻力矩所做的功为多少？kMk03-13一转动惯量为一转动惯量为 (为正常数为正常数)。 则在它的角速度从则在它的角速度从变为变为J0的圆盘绕一固定轴转动，起初的圆盘绕一固定轴转动，起初角角,设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系速度为速度为202

24、2121dJJMA0212083JA解：解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为的功为将将代入上式，得代入上式，得2cos220lmgdlmgMdA设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成角，角，CA中心点中心点 和端点和端点的速度。的速度。从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其O0t3-14 一根质量为一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒，可绕通过其一的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴段的光滑轴在竖直平面内转动。设在竖直平面内转动。设时刻，细棒时刻，细棒

25、所以细棒在由水平位置转到所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩竖直位置的过程中，重力矩做的功为做的功为解：解： cos2lmgM 则重力矩为则重力矩为代入上式得代入上式得gllvC3212lg3gllvA3021220kkJEElmgA00设棒在水平位置的角速度为设棒在水平位置的角速度为 ，根据刚体定轴转动的动能定理，有根据刚体定轴转动的动能定理，有在竖直位置的角速度为在竖直位置的角速度为231mlJ 其中，其中，2022cosllAMdmgdmg 根据速度和角速度的关系根据速度和角速度的关系rv的速度分别为的速度分别为细棒摆到竖直位置时其中心点细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点和端

26、点AjiPrLtbtasincosmtbtajicossinLkabmL222d rFmm rdt解：因为解：因为所以所以 sincosdrP= mv = m= m -ati +btjdt因为因为 cossinratibtjab3-10一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为曲线在直角坐标系下的定义式为，其中，其中、M 皆为常数则此质点所受的对原点的力矩皆为常数则此质点所受的对原点的力矩 0 ；该质点对原点的角动量该质点对原点的角动量 。kabmLkijji0jjii其中，其中，对上式计算得对上式计算得0)(2rmrFrM转动惯

27、量变为转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动 能与收臂前的动能之比。能与收臂前的动能之比。J3-11一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为动惯量为，角速度为，角速度为。若此人突然将两臂收回，。若此人突然将两臂收回，3JJ3132132122kkJJEE解：解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为定律。设人收

28、回两臂后的角速度为21LL ，由，由得得所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为r()rRv3-12一质量为一质量为m的人站在一质量为的人站在一质量为m、半径为、半径为R的水平的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为为 时，圆盘转动的角速度为多大？时，圆盘转动的角速度为多大？ 0盘盘人人JJrv人vRr22盘解：对于转轴，人与

29、圆盘组成的系统角动量守恒。解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。221mRJ盘圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为 选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有其中其中 ，代入上式得，代入上式得负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。2mrJ人人的转动惯量为人的转动惯量为 2iirmJ质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布mrJd2转动惯量的三个要素转动惯量的三个要素:(1)总质总质(2)质量分布质量分布(3)转轴的位置转轴的位置转动惯量转动惯量 J 的意义的意义：转动惯性大小的量度转动惯性大小

30、的量度 。单位：单位：kgm2JM 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律：平行轴定理平行轴定理2mdJJC表3-1 几种常见刚体的转动惯量RzzlzlRzR2细杆2121mlJ 细杆231mlJ 圆盘和圆柱转轴过中心且与杆垂直转轴过一端且与杆垂直转轴过中心且与盘面垂直221mRJ 薄圆环2mRJ 转轴过中心且与环面垂直R2zz实心球体252mRJ 转轴过任意直径薄球壳232mRJ 转轴过任意直径1mO1m细杆，首尾相连地连成一根长直细杆细杆，首尾相连地连成一根长直细杆(其各自的质量保持其各自的质量保持分布不变分布不变)。试计算该长直细杆对过端点。试计算该长直细杆对过端点 上上) (在在且垂直于

31、长直细杆的轴的转动惯量。且垂直于长直细杆的轴的转动惯量。 2m3-4如图所示，两长度均为如图所示，两长度均为L、质量分别、质量分别和和的均匀的均匀21131LmJO2222223121LmLmJO解解：左边直棒部分对左边直棒部分对O轴的转动惯量轴的转动惯量由平行轴定理，右边直棒部分对由平行轴定理，右边直棒部分对O轴转动惯量轴转动惯量整个刚体对整个刚体对O轴的的转动惯量轴的的转动惯量22212122113()3122OOOJJJm Lm LmL2121(7)3mm L竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？3.2.4

32、刚体的定轴转动定律的应用刚体的定轴转动定律的应用刚体的定轴转动定律亦可表示为刚体的定轴转动定律亦可表示为 dtdJJM例例2 一飞轮以初角速度一飞轮以初角速度 绕绕 z轴转动，已知空气轴转动，已知空气的阻力矩与角速度成正比，即的阻力矩与角速度成正比，即 ，其中，其中比例系数比例系数k为常量。已知飞轮的转动惯量为为常量。已知飞轮的转动惯量为J，求：，求：(1) 经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的三分之一？的三分之一？(2)在此时间内，飞轮共转过的圈数在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？为多少？ 0kM0(1) 根据刚体的定轴转动定律，有根据刚体的定轴转动

33、定律，有 JkJM根据角加速度的定义，有根据角加速度的定义，有 JkdtdtdtJkd001所以所以tJke0即即3lnkJt (1) 经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的三分之一？的三分之一？0解：解：(2)由角速度定义，有由角速度定义，有 tJkdtde0根据初始条件，对上式积分，有根据初始条件，对上式积分，有ttJkdtd000ekJ320飞轮转过的圈数为飞轮转过的圈数为 kJN320(2)在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？ 例例3 斜面倾角为斜面倾角为, ,位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮

34、半径为半径为r，转动惯量为，转动惯量为J，受到驱动力矩，受到驱动力矩 作用，作用，通过绳索牵引斜面上质量为通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜的物体，物体与斜面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为，求重物上滑的加速度。，求重物上滑的加速度。(绳绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长) MrmM(1)采用隔离法分别采用隔离法分别对物体和鼓轮进行受力分对物体和鼓轮进行受力分析。析。 PNTfxy根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 amNfTPx方向方向mamgfTsiny方向方向0cosmgN且有且有Nf 对物体：对物体：MrT对鼓轮：对鼓轮：设鼓轮的转轴

35、垂直于纸面指向读者设鼓轮的转轴垂直于纸面指向读者 JrTM根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 TTra 其中其中2sincosmrJmgrmgrMa解得解得例例4 一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，滑轮一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，滑轮的质量为的质量为m，半径为，半径为R。在绳的两侧各悬挂有质量。在绳的两侧各悬挂有质量为为M和和m的小球的小球(Mm)，设细绳的质量忽略不计，设细绳的质量忽略不计，且细绳不可伸长。求：当电梯静止时，两球的加且细绳不可伸长。求：当电梯静止时，两球的加速度和细绳的张力。速度和细绳的张力。 MmmPmTmmaMPMTMMamTMTR由于滑轮的质量不

36、可忽略，所以滑轮两边绳子的由于滑轮的质量不可忽略，所以滑轮两边绳子的拉力不再相等拉力不再相等 ，但绳同侧的拉力相等，即，但绳同侧的拉力相等，即MMTTmmTT根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有MMMaTMgmmmaTmg根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 JRTRTmMRaamM且有且有mPmTmmaMPMTMMa滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为 221RmJ将上面方程联将上面方程联立，可解得立，可解得mmMgmMaamM21mmMgmmMTM21212mmMgmMmTm21212若将若将m略去，即可略去，即可得到第二章例题得到第二章例题1中的结果。中的结果。MMTT(4)

37、mmTT(1)MMMgTMa(2)mmmgTma (3)MmTRT RJ(5)MmaaRFOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速端，试计算飞轮的角加速解解 (1)FrJ98 2 rad/sFrJmaTmg(2)JTr ra两者区别两者区别mgT例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计， (见图见图)2m

38、grJmr22rad/s 8212010502098.一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解mxggmxMdd取一质元取一质元CmxmxdCmgxM 重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dmcos21mglM 2133 coscos22MgmglJmlltddddlg00d2cos3dlgsin3例例mg 力力的时间累积效应：的时间累积效应：

39、冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理33 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律3.3.1 质点的角动量和刚体绕定轴转动的角动量质点的角动量和刚体绕定轴转动的角动量 1 质点的角动量质点的角动量 （动量矩）（动量矩）POvmpr*LLvmrprL大小大小：rmvLsin方向方向： 右手螺旋定则右手螺旋定则单位单位：12smkg特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动L rprmvvLrxyzom(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O

40、 的角动的角动量也称为质点对过量也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的角动量垂直于运动平面的轴的角动量；OLO(3) 质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该点在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩该轴的动量矩例例 一质点一质点m，速度为，速度为v，如图，如图所示，所示，A、B、C 分别为三分别为三个参考点个参考点,此时此时m 相对三个相对三个点的距离分别为点的距离分别为d1 、d2 、 d3求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2 d3ABCv解解OLO rPS(1) 质点的角动量

41、与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢位矢( (取决于固定点的选择取决于固定点的选择) )有关；有关；2 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量ziLimirivOiiiiiiirmvrmL2rmLLiiiz2JLz-刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 质元质元 对转轴的角动量对转轴的角动量 im刚体刚体对转轴的角动量对转轴的角动量 3.3.2 质点的角动量定理和刚体绕定轴转动质点的角动量定理和刚体绕定轴转动 的角动量定理的角动量定理 1 质点的角动量定理质点的角动量定理 tLMdd 作用于质点的合外力对作用于质点的合外力对参考点参考点 O 的力矩，等的力矩，等于质点对该点于质点对

42、该点 O 的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率.dpFdt，prLdL=dt？vmrdtddtLdvmdtrddtvmdr0drmvvmvdttLMdd质点角动量定理的推导质点角动量定理的推导d mvdLdprrdtdtdt iFrdtLd即即dtLdM-质点对质点对参考点参考点O的角动量定理的角动量定理 dtdLMzz-质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理 2 刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理 dtdLMMMiziziziz内外:imdtLdMMMiziziziz内外刚体：刚体：为零为零dtdLMziz外所以所以刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量

43、定理 OirimivzJL 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量dtdLMzz质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理 角动量定理角动量定理微分形式微分形式非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理112221dJJtMtt1221dJJtMtt 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：212t1t（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量角动量的增量3.3.3 质点绕定点运动和刚体绕定轴转动的质点绕定

44、点运动和刚体绕定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律 1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 若若 ，则有，则有0ML恒矢量恒矢量 -质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律0M 0iF有心力或中心力有心力或中心力 tLMdd质点的角动量定理质点的角动量定理 例例1 在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远日在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远日点时，地日之间的距离为点时，地日之间的距离为1.521011m，轨道速度，轨道速度为为2.93104 ms-1。半年后，地球到达近日点，地。半年后，地球到达近日点，地日之间的距离为日之间的距离为1.471011m。求地球在近日点时。求地球在近日点

45、时的轨道速度和角速度。的轨道速度和角速度。 1v2v1r2rm远日点远日点 111mvrL 222mvrL 近日点近日点 由由 得得2211mvrmvr411411211210033104711093210521.rvrv1sm由由 得得222rv 7114222100621047110033.rv1s1221dJJtMtt（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式） 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理vmrprLJLz刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 质点的角动量质点的角动量dtdLMzz质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理

46、2 刚体绕定轴转动的角动量守恒定律刚体绕定轴转动的角动量守恒定律 若 ，则0外izM恒量 JLz刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动的角动量守恒定律的角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论 许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水点击图片播放茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳转动惯量.rm花样滑冰运动员的旋转表演花样滑冰运动员的

47、旋转表演 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 花样滑冰花样滑冰自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等m vPh将子弹视为质点将子弹视为质点 ，由子弹和细杆组，由子弹和细杆组成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。 O例例3.7 一长一长l，质量为，质量为M的细杆，可绕水平轴的细杆，可绕水平轴O在竖在竖直平面内转动，开始时

48、杆自然地竖直悬垂。现有直平面内转动，开始时杆自然地竖直悬垂。现有一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆中射入杆中P点，已点，已知知P点和杆下端的距离点和杆下端的距离为为h，求细杆开始运动时的，求细杆开始运动时的角速度。角速度。P71 v碰前：碰前：细杆对轴O的角动量 01L子弹对轴O的角动量hlmvrmvL2细杆的转动惯量：细杆的转动惯量： 231MlJ JL 1碰后：碰后：细杆对轴细杆对轴O的角动量的角动量 mhlrmvL22子弹对轴子弹对轴O的角动量的角动量由角动量守恒定律，有由角动量守恒定律，有 2121LLLLhlmMlhlmv22312231hlmMlhlmv解得

49、解得力的空间累积力的空间累积效应：效应： 力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩的空间累积力矩的空间累积效应：效应： 力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理3.4 刚体绕定轴转动的动能和动能定理刚体绕定轴转动的动能和动能定理3.4.1 力矩的功力矩的功drFrdFdWcos力力 的元功为：的元功为：FrdFdWsin所以所以Mdrddr 由图由图sincos yorvFxtFrddMddWW0对对 过程，力做的总功为过程，力做的总功为0MddWW0力矩的功：力矩的功：刚体在绕定轴转动的过程中，刚体在绕定轴转动的过程中，合外力对刚体做的功等于该力对转轴的合外力对刚体做

50、的功等于该力对转轴的力矩与刚体的角位移的乘积。力矩与刚体的角位移的乘积。 力矩的功力矩的功MtMtWPdddd力矩的功率力矩的功率rFWd比较比较v FP若若 M = C)(12 MAz Oirivim设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元Nimmmm,.,.,21Nirrrr.,.,21Ni,.,.,vvvv21,其动能为其动能为im221iikimEv2221iirm各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同2221iikikrmEE刚体的总动能刚体的总动能2221iirm221JP绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动

51、惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取3.4.2 转动动能转动动能3.4.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理MddW dtddtdJJMdJdW对对 过程，力做的总功为过程，力做的总功为00021()2WdWJdd J2022121JJ 力矩功的效果力矩功的效果21d(J)2kE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理物体在沿水平面转动中，物体在沿水平面转动中

52、，绳的拉力对转轴的力矩为零，绳的拉力对转轴的力矩为零，所以，物体在转动过程中角所以，物体在转动过程中角动量守恒。设物体在运动半动量守恒。设物体在运动半径变为径变为R/5时的角动量为时的角动量为，则有则有 例例8一质量为一质量为m的小球由细绳系着，以角速度的小球由细绳系着，以角速度 在在光滑的水平面上作圆周运动，圆周的半径为光滑的水平面上作圆周运动，圆周的半径为R。若。若在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作圆周运动的半径变为圆周运动的半径变为R/5，求小球在半径变为，求小球在半径变为R/5时的角速度及在此过程中拉力对小球所做的功。时的角速度及在此过

53、程中拉力对小球所做的功。 0RFJJ0020mRJ 25RmJ 2022002122121mRJJW由刚体绕定轴转动的动能定理得由刚体绕定轴转动的动能定理得 00025JJ 刚体的机械能刚体的机械能PKEEE刚体重力势能刚体重力势能CmghJE221iipghmECiimghmhmmg刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒C212CmghJ对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立ch0PECimih3.4.4 刚体的重力势能刚体的重力势能解题指导与典型习题分析 一、定轴转动的动力学问题一、定轴转动

54、的动力学问题Problem of dynamics of a rotational rigid body around a fix axis 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。判断应选用的规律，最后列方程求解。 第一类：第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度求刚体转动某瞬间的角加速度，一般，一般。如质点和刚体组成的系统，对质点。如质点和刚体组成的系统

55、，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。量和线量的关联方程，并联立求解。 第二类：第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力在有心力场作用下绕力心转动的质点问题场作用下绕力心转动的质点问题，可直接，可直接。 第三类：第三类：在刚体所受

56、的在刚体所受的合外力矩不等于零时合外力矩不等于零时，比，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动应用刚体的转动。对于仅受保守力。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。求解。| 另另 外：外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。 质点力学小结提纲质点力学小结提纲一一. 质点力学线索框图（见下页）质点力学线索框图（见下页）二二. 解题的基本方法与步骤解题的

57、基本方法与步骤 1. 用牛顿定律解题用牛顿定律解题 2. 用功能、动量、角动量及守恒定律解题用功能、动量、角动量及守恒定律解题三三. 总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有 四四. 专题小结专题小结（例如惯性力、角动量、质心系（例如惯性力、角动量、质心系）对参考系的依赖关系。对参考系的依赖关系。要搞清各规律的要搞清各规律的内容、内容、 来源、来源、适用对象、适用对象、成立条件、成立条件、所提高。所提高。牛牛系系力力F tFId时间积累时间积累rFAd 空间积累空间积累转动效应转动效应FrM 质点质点牛牛vmP PI 牛牛PI 外外0 外外FCP 质点质点牛

58、牛221vmEk kEA 一对一对力力 0drf保保系系 1pE )0() 1(drf保保pEA保系系CE 0d外A0d内非APrL ddLMtMJ质质点点牛牛系系tLMdd 外外0外MCLpkEEE 内非外AA EkE 内外AA 三、解题指导与典型习题分析 若已知角速度或角加速度及初始条件，求运若已知角速度或角加速度及初始条件，求运动方程可用积分法动方程可用积分法| 1、运动学问题、运动学问题Problem of kinematics of a rigid body 刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动的角量描述及角量和线量的关系。的角量描述及

59、角量和线量的关系。| 若已知运动方程，求角速度或角加速度等，若已知运动方程，求角速度或角加速度等，可用微分法可用微分法 解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：324343)(ctbtactbtatdtd 332(34)612dabtctbtctdt飞轮作变加速转动飞轮作变加速转动例题例题： 一飞轮在时间一飞轮在时间 t 内转过度内转过度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度。都是常量，求它的角加速度。43ctbtat 1-1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为kjir6e3ett(1)求：自求：自t=0至至t=1质点的位移。质点的位移。(2)求质点的轨迹方程。求质点的轨

60、迹方程。 kjir630 kjir6e3e1-1jir3e31etex ty e36z3xy6z解解：(1) 质点的位移为质点的位移为(2) 由运动方程有由运动方程有， 消消t得轨迹方程为得轨迹方程为 且且( )drAdt( )dBdtrr( )dCdt22()dxdyDdtdtyx,r1-2运动质点在某瞬时位于矢径运动质点在某瞬时位于矢径其速度的大小为其速度的大小为的端点处，的端点处，( D )kjrvtdtd1015 kva10dtd015tjv11015tkjv1010,kat所以所以 t=0，1S时质点的速度和加速度为时质点的速度和加速度为 解：解：由速度和加速度的定义得由速度和加速度