大学数学：ch6-4 重积分的应用

1、2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第4节节 重积分的应用重积分的应用(Applications of Multiple Integrals)4.1. 几何应用几何应用4.2. 物理应用物理应用1 1、面积、面积(area)(area)2 2、体积、体积(volume)(volume)2、质心、质心(centre of mass)1、质量、质量（mass)3、转动惯量、转动惯量(moment of inertia)4 4、引力、引力( (gravitation ) )2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系24.1 几何应用几何应用1 1、面积、面积（1）平面区域的面积）平

2、面区域的面积（2）曲面的面积）曲面的面积(1)曲顶柱体体积曲顶柱体体积2 2、体积、体积(2)曲顶、曲底柱体体积曲顶、曲底柱体体积Vdv (3) 一般立体体积一般立体体积21( , )( , )DVfx yfx y dxdy ( , )DVf x y d ？DAdxdy DArdrd DAJ dudv 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系3曲面的面积曲面的面积:( , ) ( , )( , ):Szf x yx yDDxoyf x yDSA 设曲面设曲面曲面在平面上的投影区曲面在平面上的投影区设在 上有连续的一阶偏导数设在 上有连续的一阶偏导数求 曲面 的面积求 曲面 的面积),(光

3、光滑滑曲曲面面称称之之曲曲面面yxfz 问题：问题：,MM：曲面分细 每一小块上取一点，求点：曲面分细 每一小块上取一点，求点处切平面 以平代曲再求和取极限处切平面 以平代曲再求和取极限分析分析，用微元法，用微元法:.12StepStep写面积微元;无限求和即重积分写面积微元;无限求和即重积分2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4221xyDAffd XYZddAAddAnnk),(yxM cos dAd解解221xydAffd 1d d|cos( , )|Dx yn z2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系5设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲

4、面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系624 aSa 的的球球面面面面积积为为证证明明半半径径为为222222222222221),(yxaazzyxayzyxaxzyxfyxazyxyx 上上半半球球面面方方程程取取球球心心在在原原点点24 aA 202202220222222araadrraarddyxaaAaaD 用用极极坐坐标标广广义义积积分分由由公公式式例例1解解2013年5月南京航空航天大学 理

5、学院 数学系7.3:,2:222221积积围围成成的的立立体体的的整整个个表表面面求求由由yxzSyxzS 222222223322230 (1)(3)0:1,3(!)zxyxoyzxxyzyzzzzzzz 求求在在平平面面上上的的投投影影曲曲线线得得舍舍去去2222: 111,yxzzyzxzSyxyx 对对22222222: 23313,3yxzzyxyzyxxzSyxyx 对对解解例例22013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系833222222200220211122 (1)12(31)33( 3)3Dxy dxdydr rdrrA 222200222220021333313 22

6、332323 (312 (3)3DrdAxdyddrxyrdrrr 1212 3316333AAA 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系9若曲面方程为若曲面方程为(,)(,) (,)(,)xx u vSyy u vu vDzz u v ：求求A=?uvDArr dudv ( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )rr u vx u vy u v z u vu vD 或或其中其中 2222,uuuuErxyz ,uvuvuvuvFrrx xy yz z2222.vvvvGrxyz2DEGF dudv SeeP2092013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10P

7、(u,v)2(,)P uu vv1(, )P uu v3( ,)P u vvuruvrv11(, )( , ) ( , ) uuPPr uu vr u vr u vur du22( ,)( , ) ( , ) vvPPr u vvr u vr u vvr dv221 uvPPPPrr dudvEGF dudvd2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系11例例3解解2(sin)EGFa ba 2(sin)DDAEGF dudva bad d 22200(sin )4da badab2,Ga 0F 2(sin ) ,Eba (sin )cos ,(sin )sin ,cos(02 ,02 )

8、0,0().xbaybazaabba求环面：求环面：的面积，其中的面积，其中2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系122:( )( )0) 2( ) 1( )bayf xaxbf xxAf xfxdx 求求证证 曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面X X面面积积为为E E . .面面积积轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面一一段段绕绕到到由由并并求求正正弦弦曲曲线线xxxxy2, 0sin21 y=f (x)xdxxabxyo证明证明 旋转面方程旋转面方程:( )( )axbDf xyf x22( )zfxy 222( )yzfx2013年5月南京航空航天大学 理

9、学院 数学系1322222222211yfffzzyfyyzyfffxzyx babaffffbaDDyxdxxfxfdxfffydyyfxfxfdxdxdyyfffdxdyzzA)(1)(21arcsin2)(1)(212122222222222 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系14)21ln(2()cos1ln(cos212cos1cos2cos1sin22202202 xxxxdxxxA解解2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系154.2 物理应用物理应用2、重心、重心1、质量、质量3、转动惯量、转动惯量4 4、引力、引力( , )dDmx y (1) 平面薄板的质

10、量平面薄板的质量( , , )mx y z dV (2) 空间物体的质量空间物体的质量2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系162、质心、质心质点系质点系总质量总质量质点系对质点系对y轴的轴的静距静距质点系对质点系对x轴的轴的静距静距2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系17当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中( , )( , )DDxx y dxx y d ( , )( , )DDyx y dyx y d 由元素法由元素法yMM MMxxM 对对 x 轴的轴的静矩静矩yM 对对 y 轴的轴的静矩静矩将将

11、 D分成分成 n 小块小块, 在第在第 k 块上任取一点块上任取一点(x,y),将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点(x,y),的质点，此质点系的的质点，此质点系的质心坐标质心坐标无限求和无限求和即该平面薄片的质心坐标即该平面薄片的质心坐标.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系18若物体占有空间域若物体占有空间域 ,( , , ),x y z 有连续密度函数有连续密度函数同样同样公式公式 , 即即:采用采用 重积分重积分元素法元素法可导出其质心可导出其质心 ( , , )dd d( , , )dd dxx y zxyzxx y zxyz ( , , )dd d( , ,

12、 )dd dyx y zxyzyx y zxyz ( , , )dd d( , , )dd dzx y zxyzzx y zxyz ( , , )x y z 当常数时,当常数时,则得则得形心形心坐标坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd dd dVxyz 为 的体积为 的体积2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系19ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则DDx dxd cos20cos2cosbadrrdrD 338224()()baba .)(222ababab cos ,cos(0).rarbab求位于两圆求位于两圆之间的均匀薄片之间的

13、均匀薄片例例的重心的重心1 12013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系202a在在球球心心位位于于原原点点，半半径径为为 的的均均匀匀半半球球体体靠靠圆圆形形平平面面的的一一旁旁拼拼接接一一个个半半径径与与球球的的半半径径相相等等，材材料料相相同同的的均均匀匀圆圆柱柱体体，使使拼拼接接后后的的整整个个立立体体重重心心位位于于球球心心，试试确确定定圆圆柱柱体体的的例例高高为为多多少少？zdvzv 解解： 22220zayxadxdyzdz 022)(azdzza 44a vzdvzdv 21 2220ayxhdxdyzdz222ha 0 24224haa .2ah 2013年5月南京航空航

14、天大学 理学院 数学系21例例3. 计算二重积分计算二重积分(53 )dd ,Dxyxy 其中其中D 是由曲是由曲222440 xyxy所围成的平面域所围成的平面域 .解解:222(1)(2)3xy其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:9A 5ddDIxxy 923) 1(5A3ddDyxy 积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx352013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系22,:,.()zaxbycSSxoyDDSVHHD 、设设有有一一平平面面在在这这平平面面上上取取一一块块区区域域设设 在在面面上上的的投投影影域域为为试试证证明

15、明为为底底为为顶顶的的柱柱体体体体积积其其中中为为 的的质质量量中中思思心心处处的的高高考考cybxaH cybxacdbydaxdDDD DdcbyaxV )( Hcybxa )(解解xS),(yxDoyz2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系233、转动惯量、转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数( , , ).x y z 该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微微元元 22() ( , , )dxyx y zv 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:22() ( , , )dd dzIxyx y

16、zxyz dzI xyoz对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系24类似可得类似可得:( , , )dd dxIx y zxyz )(22zy )(22zx )(222zyx对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量( , , )dd dyIx y zxyz ( , , )dd doIx y zxyz 2013年5月南京航空航天大学 理学

17、院 数学系25如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为( , ), ( , )x yx yD ( , )ddxDIx yxy DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系262()( , , ),xyVIzx y z dv 2()( , , ).yzVIxx y z dv 物体物体(V)对于对于 xy面面的转动惯量的转动惯量2()( , , ).xzVIyx y z dv 物体对于物体对于 yz面面的转动惯量的转动惯量物体对于物体对于 xy

18、面面的转动惯量的转动惯量2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系27rraddsin0302例例4. 求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量半圆薄片的质量212Ma 2212oxyDaa的转动惯量的转动惯量.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系28222222(sincossinsin)rr 解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,2222:,xyza则则zI22() dd dxyxyz 525a225

19、a M dddsin2rr olzxy221320d 球体的质量球体的质量343Ma 30sind 40darr 例例5 5. .求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系294 4、引力、引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ，体密度为，体密度为 (x,y,z)。 区域区域 外外有一质量为有一质量为m0的质点的质点A(a,b,c)，求物体对质点的引力。，求物体对质点的引力。引力在三个坐标轴上的分量：引力在三个坐标轴上的分量：(,)xyzFF F F 00

20、2mdmdFGnr 002( , , )x y z dvGmnr 222()()() ,rAPxaybzc 0(,)APxa yb zcnrrrr A(a,b,c)P(x,y,z)xyzo03( , , ),xxaFGmx y z dvr 03( , , ),yybFGmx y z dvr 03( , , ),zzcFGmx y z dvr 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系30Rxyzo例例6. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222xyzR对位于对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0

21、 xyFFzF()dRRGzaz 32222d() zaGvxyza ()dRRGzaz 222322200dd() Rzrrrza 点点32222dd() zDxyxyza 0MazD2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系31RRzazd )(zF2 G 22211azaRza222322200dd() Rzrrrza ()dRRGzaz 2 G RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量为球的质量2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系32解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF32222( , )()zDx yFaGdxya 32

22、222()DaGdxya oyzxF2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系33解解 据曲面面积公式据曲面面积公式, ,221d d ,xyDSzzx y其中其中 D 是是 222211,24xyxxy即即曲面方程曲面方程 22zxy22xyx EX1 求圆锥求圆锥 在圆柱体在圆柱体 内内 那一部分的面积那一部分的面积. .2222,xyxyzzxyxy22.zxy故故 是是 2212,xyzz22d d2.4DSx y 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系34EXEX2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积积 （图中阴影部分（图中阴影

23、部分).).解解 设球面的参数方程为设球面的参数方程为: : sincos ,sinsin ,cos ,xRyRzR 其中其中 R 是是球面半径球面半径. . 1212, 这里是求当这里是求当 时球面上的面积时球面上的面积. 由于由于 222222,0,sin,ExyzRFGR 所以所以 22sin .EGFR 22112dsindSR 22112()(coscos).R 图图xyzO1 2 1 2 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系35EX3 EX3 求密度均匀的上半椭球体的重心求密度均匀的上半椭球体的重心. . 解解 设椭球体由设椭球体由 2222221,0 xyzzabc 表示表示. 借助借助对对 0,0.xy 又由又由 为常数为常数, 所以所以 称性知道称性知道dd d d.2d3VVVz Vz x y zzVabc由由232,438czabcabc故得故得 2d d d,4Vz x y zabc 即求得上半椭球体的重心坐标为即求得上半椭球体的重心坐标为 3( 0, 0,).8c2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系36EX4EX4 设某球体的密度与