大学数学：ch3-6几类简单的微分方（2）

1、2013年01月4日16.66.6、微分方程应用举例、微分方程应用举例应用微分方程解决实际问题的基本步骤：应用微分方程解决实际问题的基本步骤： （1） 分析问题，建立起实际问题的数学分析问题，建立起实际问题的数学 模型模型常微分方程常微分方程（组）（组）（2） 求解与分析这一数学模型，即求出求解与分析这一数学模型，即求出 相应的常微分方程（组）的解，或相应的常微分方程（组）的解，或 是精确解或近似解，其中还包括分是精确解或近似解，其中还包括分析解的特性析解的特性2（3） 用所得的数学结果（解的形式和数用所得的数学结果（解的形式和数值定性分析等）回过头去解决实际值定性分析等）回过头去解决实际问题

2、，从而预测某些自然现象甚至问题，从而预测某些自然现象甚至 社会现象中的特定性质，以便达到社会现象中的特定性质，以便达到能动地能动地改变世界解决实际问题的目的。改变世界解决实际问题的目的。 1. 根据规律列方程，根据规律列方程， 2. 微分分析法（微元法），微分分析法（微元法）， 3. 模拟近似法。模拟近似法。 基本方法基本方法3几种常见的列方程问题几种常见的列方程问题1. 利用导数的物理意义及物理定律利用导数的物理意义及物理定律2. 利用导数的定义及几何意义利用导数的定义及几何意义3. 与定积分几何应用有关的问题与定积分几何应用有关的问题4. 积分方程求解问题积分方程求解问题5. 微小增量分析

3、法微小增量分析法6. 其它应用问题其它应用问题41. 利用导数的物理意义及物理定律利用导数的物理意义及物理定律).(,00tMMtMMMMt 的的变变化化规规律律随随铀铀含含量量求求已已知知成成正正比比的的含含量量度度与与未未衰衰变变的的原原子子放放射射性性元元素素铀铀的的衰衰变变速速.),:(这这种种现现象象称称为为衰衰变变，铀铀的的含含量量就就不不断断减减少少微微粒粒子子而而变变成成其其它它元元素素地地有有原原子子放放射射出出放放射射性性元元素素铀铀由由于于不不断断衰衰变变例例1dtdMv ）负负号号是是由由于于称称衰衰变变常常数数（0;0 dtdMk解解积分得积分得分离变量后分离变量后方

4、程方程)1()3(lnlntkCeMCkM 即即0)3()2(MC 得得，代代入入初初始始条条件件kteMM 0故故 dtkMdM衰变规律衰变规律(1)dMkMdt 由题意由题意00(2)tMM 初始条件初始条件6., 0,间间的的函函数数关关系系求求降降落落伞伞下下落落速速度度与与时时成成正正比比，离离塔塔时时速速度度为为速速度度与与所所受受空空气气阻阻力力后后设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落vR例例2解解 可分离变量可分离变量00tv dvmmgkvdt由牛顿第二定律由牛顿第二定律()kvk阻力比例系数阻力比例系数Pmg ( ),vv t 设下落速度为降落伞受重力设下落速度为降落伞

5、受重力7通通解解两两端端积积分分，分分离离变变量量 )()(ln11111keCCekmgvekvmgCmtkvmgkdtmkvmgdvkCtmkkCtMkkmgCvt 代代入入将将初初始始条条件件00)1(tmkekmgv .,近近似似于于匀匀速速运运动动以以后后逐逐渐渐先先加加速速)(kmgvkmgvt 82. 利用导数的定义及几何意义利用导数的定义及几何意义0()( )( )= limxf xxf xf xx ：导导数数定定义义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为( )().YyfxXx 1()( )YyXxfx 导数的几何意义导数的几何意义( )0fx（）曲线曲线:( )Cyf x

6、 会求切线，法线在坐标轴上的截距；会求切线，法线在坐标轴上的截距；会求切点到指定点的距离会求切点到指定点的距离9100limx 0limx 0limx ( )(0)xf xfe 1100,( )( ,( )1( ),( )xxyf xx f xyf t dtf xx 设对任意曲线上点处的切设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式。线在轴上的截距等于求的一般表达式。( )( )()Yf xfxXx 解解 切线：切线：0( )( )XYf xfx x xxfxf)()( xdttfx0)(1)( )()(2xfxfxxxf ( )( )0 xfxfx0dpxpdx1cpx21ln)(

7、cxcxf 0)()( xfxfx21ln)(cxcxf ( )xfx0 11( )( )xfxccfxx 即即另解另解可降阶方程可降阶方程:( )pfx 例例2123 3(,23 )2LxoyLMyAMAOALL设曲线 位于平面第一象限内，上任意一点处的切线与 轴总相交，交点记为 ，已知且 过点，求例的方程13( , ), (), Mx yMAYyy Xx设点的坐标则切线的方程为：解解212, dyyyxdxx 221 dyyxdxx 212yyyxx化简后为 22(0)()xyyxyyxyMAOA由有(0,), Ayxy所以 点坐标为 0, XYyxy令有1421122221 ()()3

8、3(,)32 23dxdxxxdzzyzxdxxzzex edxcxxcycxxLycxxLcLyxx 令 有 为关于 的一阶线性方程即因为 在第一象限内，所以又因为 过点故 的方程为153. 与定积分几何应用有关的问题与定积分几何应用有关的问题21dyydxx (2 )0( )1( )1,2 xdyxy dxyy xyy xxxxx 求微分方程 的一个解，使得由曲线与直线以及轴围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转例体体积最小微分方程，定积分几何应用，极值应用综合题微分方程，定积分几何应用，极值应用综合题1622221dxdxxxdyydxxyeedxcyxcx ：化方程为，即 解2222131

9、157( )()()523V cxcxdxcc体积62157562()0, ( )0521245dVccV cdc 275( )124yy xxx于是 172(1,0),( ,)(0)(0)(1) 283XOYLMP x yxOPaxaLLyaxa例 在平面上，连续曲线 过点其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于常数求 的方程；（ ）当 与直线所围成平面图形的 面积为时，确定 的值。181122 (1) ( ), () (1,0) dxdxxxLyy xyyOPxyyaxxyeaxedxcaxcxMcayaxax 解：设 的方程为 其切线斜率：的斜率：据已知求得其解为将代入得192 383

10、4 34)()( )2 , 2( ),0 , 0( )2(202aaadxaxaxaxaSa故由题设面积交点：20 ( ),( )( )0. ( ) 0, 1, (1) yf xf xf xyf xyxxt txt设曲线其中是可导函数，且已知曲线与直线所围的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程。2120020 ( )( ) ( ) ( )( ) 1 (1)1 (1)0 2 ( )( ) 2 ( )( )( )2 2d1 1d2tttfx dxtf x dxftf x dxtf ttfff t ftf ttftf tyyyttyttyy解：由题意两边求导带入得

11、 或（舍去）再求导记 ，则得 或2211dd221322 e(edC)2C2 (C)331 1, (1)1 C3123312 33yyyytyyyyytftyyxyy因 此带 入得 从 而 故 所 求 曲 线 方 程 为234. 积分方程求解问题积分方程求解问题(0)ln2f ( )2 ( )fxf x 解：两边求导得 解：两边求导得 2( )xf xCe2( )ln2xf xe代初始条件得代初始条件得ln2C 例例124 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txu0( )sin( )dxf xxf uu 则

12、有则有( )( )cosfxf xx (0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1( )(cossin)2xf xxxe 例例2255. 微小增量分析法微小增量分析法26例例1 1AB 10010,3/,2/,:1AB容容器器内内有有公公升升的的盐盐水水，含含公公斤斤的的盐盐现现以以 公公升升 分分的的均均匀匀速速度度，从从 管管放放进进净净水水冲冲淡淡盐盐水水 又又以以 公公升升 分分速速度度将将盐盐水水从从 管管抽抽出出问问小小时时后后容容器器中中还还剩剩多多少少盐盐？27dxttxdtttxtttxt 100)(2,100)()23(100)(:时时刻刻的的浓浓度度(),( )txxx t

13、 设设时时刻刻 分分钟钟 容容器器中中含含盐盐为为 公公斤斤建建立立)0()()( dxdxtxdtttxt含含盐盐量量含含盐盐量量时时刻刻dxdtBdxBdt 浓浓度度管管流流出出的的盐盐量量从从管管流流出出的的盐盐量量时时间间内内从从2:解解2852520,1010101010000(1)txccxt 代代入入上上式式0,210100tdxxxdtt初值问题211)100(100ln)100ln(ln21tcxtcxctx )(906. 31610)160(1060232560公公升升分分 txt29 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的

14、 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?例例222CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt

15、302CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO31Oxy),(yxMATS.曲曲面面的的方方程程轴轴平平行行，求求这这旋旋转转镜镜反反射射后后都都与与旋旋转转出出的的一一切切光光线线经经凹凹由由旋旋转转轴轴上上一一点点发发形形状状的的凹凹镜镜，假假设

16、设有有一一旋旋转转曲曲面面例例5 5)0)(:, xyyCCx设设（见见图图）曲曲线线为为平平面面与与旋旋转转面面截截得得的的的的任任一一平平面面为为坐坐标标面面，过过轴轴轴轴，光光源源为为坐坐标标原原点点，取取旋旋转转轴轴为为解解3222, OAOMMyOxOMASMT 由光学中的反射定律，有由光学中的反射定律，有0,yYXxy 令令()YyyXxM过点的切线为：过点的切线为：XyAOxy 22yxyyx211()y xy x 22)(yxxyy 故故Oxy),(yxMATS33211()y xyy x 22111duuuxdxu211duuuxdxu,duyuxdx代入以上方程得代入以上方程得y xu 令令1211ln(1)lnlnlnuxCuu22111udxduxuu 分离变量后，分离变量后，12111yCuu12111xuCuu34).(, 同同样样可可解解方方程程令令yxv12111yCuu222 ()2CyzCx旋转面方程为：旋转面方程为：222(2)1(2C