工科数学分析全微分课件

1、 二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxayxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 d 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oybxaz其中 a , b 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分 ybxafz dd若函数在域 d 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处

2、全增量全增量则称此函数在在d 内可微内可微.记作(2) 偏导数连续偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oybxaz,0

3、y令)(xoxa必存在存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0lima反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx ),(yyxxfyzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(

4、yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数偏导数( , ),x y在连续点则函数在该点可微分可微分.0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,udyyudzzudxxud的全微分为yyuzzu于是在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(e

5、yzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez可知当1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102.

6、2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续近似计算zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(),(yxf函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfa),(),(, ),()(00

7、yxyxfyxfbyx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzcyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzdyx0)()(22yx当时是无穷小量 .1. 选择题dzfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0

8、(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 3. 证明函数xy222yx 所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxp,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3),(yxf)0 , 0(),(,1sin2