2020与名师对话离散型随机变量及其分布列

1、第六节离散型随机变量及其分布列高考概览： 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性； 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用 知识梳理 1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X、Y、 表示所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列的概念和性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2， ， xi， ， xn，X 取每一个值xi(i 1,2， ， n)的概率 P(Xxi)pi，则表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列有时为了表达简单，也

2、用等式 P(Xxi)pi，i 1,2， ， n 表示 X 的分布列(2)性质： pi0，i 1,2， ， n；n pi1，i 1,2， ， n.i 113常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称 p P(X1)为成功概率(2)超几何分布列一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取n 件，其中恰有kn kX 件次品，则事件 X k 发生的概率为CMCN M，k P(Xk)nCN0,1,2， ， m，其中 mmin M，n ，且 nN，MN，n，M ，N N* .称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称

3、随机变量 X 服从超几何分布 .辨识巧记 1两点分布两点分布就是n1 时的二项分布2超几何分布(1)随机变量 X 的取值范围是 0,1,2 ， ， m ，其中 mmin M，n (2)随机变量取某个值时的概率属古典概型 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1) 离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()2(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义()(3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布 ()(4)一个盒中装有 4 个黑球、 3 个白球，从中任取一球，若是白球则取

4、出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X 服从超几何分布 () 答案 (1)×(2)×(3)×(4)×2袋中有 3 个白球、 5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 ()A 至少取到 1 个白球B至多取到 1 个白球C取到白球的个数D取到的球的个数解析 选项 A ，B 表述的都是随机事件， 选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变量，可能取值为 0,1,2.答案 C3(选修 23P68A 组 T2 改编 )设随机变量 X 的概率分布列为X1234P1m11346则 P(|X 3|1)()7511

5、A. 12B.12C.4D.61111解析 由3m461，得 m4.所以 P(|x3|1)P(X2)115P(X4)4612.答案 B4从一批含有13 只正品， 2 只次品的产品中，不放回地任取33件，则取得次品数为1 的概率为 ()321232A. 35B.35C.35D.35 解析 设取得的次品数为X，则 X 服从超几何分布， P(X1)C21C21312 C315 35.答案B5设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量X 去描述1 次试验的成功次数，则P(X0)等于 _ 解析 “X0”表示试验失败， “X1”表示试验成功，设失败率为 p，则成功率为 2p.则 X 的分布列为X01P

6、p2p1由p2p1 得 p3.答案 13考点一离散型随机变量分布列的性质【例 1】设离散型随机变量X 的分布列为 ()X01234P0.20.10.10.3m(1)求 |X1|的分布列；(2)求 P(1<2X1<9) 思路引导 (1) 由X的取值确定 |x1|的取值 求概率 列出分布列4(2) 由1<2x1<9求出 X的值 求概率和 解(1)易知 0.20.10.10.3m1，m0.3.由 X 的分布列可知 |X1|的取值为 0,1,2,3，P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3，所以

7、 |X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(2)由 1<2X1<9，解得 0<X<4，故 P(1<2X1<9)P(X1)P(X2)P(X3) 0.10.10.30.5.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1 可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率对点训练 a1 随机变量 X 的概率分布列规律为P(X n) n n1 (n515的值为()1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P 2<X<22345A. 3B.4C.5D.6解析

8、P(Xn)a(n1,2,3,4)，n n1aaaa5， 1，a261220415<X<P22P(X1)P(X2)51515 4×24×66.答案 D2随机变量 X 的分布列如下：X101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，则P(|X|1)_. 解析 a，b，c 成等差数列，2bac.1 2 又 abc1，b3，P(|X|1)ac3.2答案 3考点二离散型随机变量的分布列【例 2】 (2019 ·福建泉州模拟 )在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖： 由电脑随机生成一张如图所示的 3×3 表格，其中 1 格设奖 300

9、 元，4 格各设奖 200 元，其余 4 格各设奖 100 元，点击某一格即显示相应金额 某人在一张表中随机不重复地点击 3 格，记中奖的总金额为 X 元6(1)求概率 P(X600)；(2)求 X 的概率分布列计算 X取各 思路引导 列出 X的取值 列表值的概率 解(1)从 3×3 表格中随机不重复地点击3 格，共有 C39种不同情形，则事件： “X600”包含两类情形：第一类是3 格各得奖 200元；第二类是 1 格得奖 300 元，一格得奖 200 元，一格得奖 100 元，其中第一类包含C34种情形，第二类包含 C11·C41·C41种情形P(X600)C

10、43C11·C41·C415 .3C921(2)X 的所有可能值为300,400,500,600,700，C434 1C41·C4224 2则 P(X300)C938421，P(X 400)C93847，C11·C24C41·C4230 5P(X500)C398414，C11·C246 1P(X700) C93 8414，X 的概率分布列为X300400500600700P125512171421147离散型随机变量分布列的求解规律步骤要点要确定随机变量的可能取值有哪些，明确每个取值所表示明取值的意义求随机变量分布列的关键是求各个概率

11、值，要弄清概率类型，求概率以便套用相关的公式计算，遇到个别概率计算困难时，还可用互斥事件、对立事件的概率公式计算画表格按规范要求形式写出分布列在利用随机变量分布列求概率时，应注意应用分布列的性质，会检验特别是求随机变量某一范围内取值的概率时，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各值的概率之和对点训练 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起， 现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品

12、或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 (单位：元 )，求 X 的分布列 解 (1) 记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正A 21A313品”为事件 A，则 P(A) A5210.(2)X 的可能取值为 200,300,400.A22 1A33C21C31A223P(X200)A5210，P(X300)A5310，136P(X400)1P(X200)P(X300)1101010.故 X 的分布列为8X200300400P136101010考点三超几何分布【例 3】 (2019 ·济南模拟 )某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语， 2 人只会英语，

13、3 人既会法语又会英语，现选派3 人到法国的学校交流访问求：(1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率；(2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数X 的分布列 解(1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语，C25C124则 P(A) C37 7.(2)依题意知， X 服从超几何分布， X 的可能取值为 0,1,2,3，C434P(X0)C3735，C42C1318P(X1) C37 35，C41C2312P(X2) C37 35，C331P(X3)C3735，X 的分布列为X0123P41812135353535(1)超几何分布的两个特点9超几何分布是不放回抽样问题；随机变

14、量为抽到的某类个体的个数(2)超几何分布的应用条件两类不同的物品 (或人、事 )；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体对点训练 (2019 ·山东济宁模拟 )PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2016 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：P

15、M2.5日均值25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85(微克 /立方米 )频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出3 天，求恰有 1 天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取3 天的数据，记 X 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求X 的分布列 解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3C31·C7221天，恰有 1 天空气质量达到一级 ”为事件 A，则 P(A) C103 40.(2)依据条件， X 服从超几何分布，且随机变量X 的可能取值为100,1,2,3

16、，则C3k·C73kP(Xk)C103(k0,1,2,3)，C30C737C31C7221P(X0) C31024，P(X1) C10340，C32C717C33C701P(X2) C103 40，P(X3) C103 120，因此 X 的分布列为X0123P72171244040120课后跟踪训练 (七十五 )基础巩固练一、选择题16 件产品中有 2 件次品与 4 件正品，从中任取2 件，则下列可作为随机变量的是 ()A 取到产品的件数B取到正品的件数C取到正品的概率D取到次品的概率 解析 随机变量为一个变量， B 中取到正品是随机事件，故本选项正确；而 A 中取到产品的件数和C、

17、D 中的概率均是数值， 不是随机变量答案B2 k2设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)m 3 (k1,2,3)，则 m 的值为()17271727A. 38B.38C.19D.192 解析 由分布列的性质得P(X1)P(X2)P(X3)m×3112238m27m× 3 2m× 3327 1，m38.答案 B3袋中装有 10 个红球、 5 个黑球每次随机抽取1 个球后，若取得黑球则另换1 个红球放回袋中， 直到取到红球为止 若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是 ()A X4 BX5 CX6 DX5解析 事件 “放回 5 个红球 ”表示前 5 次摸

18、到黑球，且第6 次摸到红球，故 X6.答案 C4(2019 ·广东肇庆二模 )签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个， 则P(X4)()1311A. 20B.20C.30D.5C233 解析 P(X4)C3620.答案B5(2018 ·江西赣州模拟 )一袋中装有5 个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3 个，以 表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量 的分布列为 ()C243 解析 随机变量 的可能取值为1,2,3，P(1)C355，P(12222)C333 ，P(3)C321，故选 C.

19、C510C510答案 C二、填空题6设随机变量 的分布列为P(1i，i 1,2,3，则 P(2) ·i)a 3_.解析 由题意 P(1)P(2)P(3)1，11127即 a 2 31，解得 a .3331327123P(2)13×3 13.3答案 137设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.10.20.30.3m若随机变量 Y|X2|，则 P(Y2)_.解析 由分布列的性质，知010.20.30.3m 1，m0.1.由 Y 2，即 |X2|2，得 X4 或 X0，P(Y2)P(X4 或 X0) P(X4)P(X0) 0.10.10.2.答案 0.28从 4 名男

20、生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超过 1 人的概率是 _ 解析 设所选女生人数为X，则 X 服从超几何分布，其中 N6，13C02C34C12C244M2，n3，则 P(X 1)P(X0)P(X1) C36 C36 5.4答案 5三、解答题9某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者参加山区支教活动， 现用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数， 求的分布列 解由题意知，随机变量服从参数为 N7，M2，n 2 的超几何分布， 的可能取值为 0,1,2.C5210C21C5110C221因此 P(0)C7221，P(1) C7221，P(2

21、)C7221，故 的分布列为012P1010121212110.若 n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数” (如 137,359,567等)在某次数学趣味活动中， 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被 5整除，但不能被10 整除，得 1 分；若能被 10 整除，得 1 分(1)写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列解(1)个位数是 5 的“三位递增数 ”有125,135,1

22、45,235,245,345.(2)由题意知，全部 “三位递增数 ”的个数为 C3984，随机变量 X 的取值为： 0， 1,1，因此14C832P(X0)C393，C241P(X 1)C3914，1211P(X1)114342.所以 X 的分布列为X011P211131442能力提升练11一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的， 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中， 此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为 ()1272721A. 220B.55C.220 D.55C91C3227解析 P(X4) C123 220，故选 C.答案 C12设随机变量 X

23、 的概率分布列如下表所示：X0 12Pa1136F(x)P(Xx)，则当 x 的取值范围是 1,2)时， F(x)等于 ()1115A.3 B.6C.2D.6111解析 由分布列的性质， 得 a361，所以 a2.而 x1,2)，115所以 F(x)P(Xx)236.答案D13若 P(x2)1，P(x1)1，其中 x1<x2，则 P(x1x2)15等于 _ 解析 由分布列性质有P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)1 1. 答案 114(2019 ·长春市第二次质量监测 )某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100 个芒果，其质量分别在100,150)，1

24、50,200)，200,250)，250,300)，300,350)，350,400( 单位：克 )中，经统计得频率分布直方图如图所示(1)现按分层抽样的方法， 从质量为 250,300)，300,350)的芒果中随机抽取 9 个，再从这 9 个中随机抽取 3 个，记随机变量 X 表示质量在300,350)内的芒果个数，求 X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以 10 元/千克收购；B对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于 250 克的以 3 元/个收购通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 解(1)9 个芒果中，质量在 250,300)和300,350)内的分别有6个和 3个则 X 的可能取值为 0,1,2,3.16321P(X0)C3620，P(X1)C6C3345，C984C984C61C32 18C331P(X2)C9384，P(X3)C9384.所以 X 的分布列为X0123P2045181848484842045181X 的数学期望 E(X)0×841×