正弦定理的几种证明方法

1、GB8878185555334563BT9125XW创作編号丄创作肴：凤呜大王*由此得島=岛，同理可得佥二岛根据锐角三角函数正弦定理的几种证明方法1利用三角形的高证明正弦定理（1）当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD, 的定义，冇 CD=asinB > CD =b sinA。，i<j sinsin5 sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当AABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于 点D ,根据锐角三角函数的定义，有CD = asinACBD = asinAABC ,CDFsinA。由此，得島二頁幺丽,故有量T页空二佥由可知，在AABC中，

2、成立.sm?l sinn sine从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即a _ b _ c sinA sinB sinC.用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A,点B之间的距丨AB|,可测量角A与角B, 需要定位点C,即：在如图ZXABC中，已知角A,角B, I AB I =c,求边AC的长b解：过C作CD丄AB交AB于D,则DC = CSinA CSinAC°SCtanCslnCsinCAD = c cos AcosCb = AC = AD + DC = c cos A +c sin A cos CsinCc(sin C cos A

3、 + sin A cos C) _ csinBsinCsinC推论:sin B sin C同理可证：=sin A sinB sinC2利用三角形面积证明正弦定理已知ABC,设 BC = a, CA = b,AB=c,作 AD丄BC,垂足为 D.则 RtAADBAn中,sinB = , AAD=AB-sinB=csinBAB/. Saabc= cfAD= acsin B 同理，可证2 2/. Saabc= absin C = Z?csiii A = acsin B2 2 2在等式两端同除以 ABC,可得.即 caba _ b _ c sin A sinB sinC 3 向量法证明正弦定理(l)A

4、ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC，则J与如？的夹角为90。必J与CB的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得AC + CB = AB,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与I I .向量j的数量积运算，得到丿(AC+CB) = jAB由 分 配 律 可 得 Ijl Ml Cos90°+IJI CB Cos(90°-c)=ljl 卜科 Cos(90O-A).J/. asinC=csinA 二=Asin A sinC另外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+CJ与AB 的夹角为90。+5可得=

5、sinC sinB(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为J与疋的夹角为90°-CJ与AB的夹角为90°-B)= -.sin A sinB sinCGB8878185555334563BT9125XW创作編号上创作肴：凤呜大王*a _ b _ csimA sin B sinC(2)AABC为钝角三角形，不妨设A>90。,过点A作与AC垂直的单位向量j.则j与AB的夹角为A-90OJ与CB的夹角为90°-C.由 AC + CB = AB，得 j. AC + CB=j AB ,a “即 a-Cos(90°-C)=c-Cos(A-90&

6、#176;), AasinC=csinA. .*sin A另外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为9O°+CJ与AB夹角为90。+3.同理,可得丄=亠sin 3 sinC4外接圆证明正弦定理在ZkABC中，已知BC=a.AC=b,AB=c,作厶ABC的外接圆,O为 圆心，连结BO并延长交圆于设BBJ2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到Z BABf=90° , Z C = Z 5S 二 sinC=siii5z= sinC = sinBr = 二 2R = 2R.siiiC同理，可得一-=2R、- = 2R .- = - = - = 2R.sin AsinBsin A