椭圆焦点三角形面积公式的应用

1、椭圆焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码530007)定理 在椭圆耳+与=1 («>/;>()中，焦点分别为片、几,点p是椭圆上任意一点,n乙fp0 = &,则 spf =tan .- 1 2 2证明：记pfx =rl9pf2=r2f由椭圆的第一定义得r, + r2 = 2a,. （打 + r2）2 = 4tz2.在厶fpf2中,由余弦定理得:斤$ +才一2甘2 cos& = （2c）2.配方得:（斤 + r2）2 -2r,r2 -2r）r2 cos。= 4c2.即4/ 一2甘2（1 + cos&） = 4c2._2（a2-c

2、2） _2b21 + cos& 1 + cos 力由任意三角形的mi积公式得：c1 q 以 sin&spf2=-2sin0 = b 厂而=2si机朋2 22 cos2=b20tan .2 sa 侶几an,2同理可证，在椭圆 + . = 1(ci>h >0)中，公式仍然成立. ct典题妙解2 9例】若p是椭圆盖+右=1上的-点，片、厲是其焦点，且知耳®,求af,pf2的面积.2 2解法一：在椭圆+= 1 中，67 = 10,/? = &c = 6,而& = 6()。.记ipfj=gipf° 1=匚100641,22点p在椭圆上，山椭

3、圆的第一定义得：”+厂2=2。= 20.在f/厲中，由余弦定理得:-2rxr2cos0 = (2c)2.配方,得:(斤+厂2 )2 - 3甘2 = 144.400 - 3斤厂2 = 144.从而斤r2 =竽s 啊2 =r1r2sin = |xx = -l2 2解法二：在椭h1 + - = 1 中，b2 = 64,而 0 = 60°.10064fpf2心 n*64tan30。解法一复朵繁兀，运算量大,解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!例2已知p是椭圆匸+259，2 =1上的点,片、耳分别是椭圆的左、右焦点，若h' p邑=丄,则5f、pf,的面积为(i i i pf2 i 2_

4、a 3v3be 23c. v3解：设牛pf",贝icos&=竺卩工'i pf, i i pf2 i斗亠6()。s、fpf、= b2 tan £ = 9 tan 30° = 3a/3. 故选答案a.2 2例3(04湖北)已知椭圆話+弄1的左、右焦点分别是？ f2,点p在椭圆上若p、耳、几是一个直角三角形的三个顶点，则点p到兀轴的距离为()ad.2或也47解:若仟或厲是直角顶点，则点p到x轴的距离为半通径的长牛=专若p是直角顶点，设n1点 p 到兀轴的距离为 h,贝0spfy = /?2 uin = 9tan45° = 9 ,又=(2c)/7

5、 = v7/z,丽=9,"故答案选d.金指点睛1.椭圆初+壬=1上一点p与椭圆两个焦点片、尸2的连线互相垂直，则ffa的面积为（）a. 20b. 22c. 28d. 212椭圆亍+ y$ = 1的左右焦点为林、耳，p是椭圆上一点，当厶片pf2的面积为1时，pf、pf2 的值为（）a.ob1c3d63 椭圆亍+ y $ = 1的左右焦点为f2, p是椭圆上一点，当厶片pf2的面积最大时，pf、pf2 的值为（）a.ob 2c 4d 一2r24.已知椭圆+ y2 =1 （a>l）的两个焦点为林、f°, p为椭圆上一点，且zf.pf. =60°,则 i pf, i

6、 i pf2 i 的值为（）5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，尸2为焦点，点p在椭圆上，直线p许与倾斜角的差为90°, 耳的面积是20,离心率为丰，求椭圆的标准方程.6.已知椭圆的中心在原点，f、fr为左右焦点，p为椭圆上一点，且 竺' p土.“丨 pf i i pf2 i的面积是忌准线方程为"土半，求椭圆的标准方程.参考答案1.解：zf'pf? =0 = 90°,/?2 = 24, /. s空严2 = b2 tany = 24tan45° = 24.故答案选d.ooo2 解：设牛 pf?", = /?2 tan- =

7、tan- = 1, /. - = 45°, = 90° , pfipf2 =0.故答案选a.b23解：a = 2,h = ,c = v3，设 zfjpf2 = 0 , s野卜乙 当厶fff?的面积最人时，&为最人，这时点p为椭圆短轴的端点，& = 120。,.pf、 pf2 =1 pf】i i pf2 i cos& = a2 cos 120° = -2.故答案选d.4.解：zflpf2 =0 = 60°, b = ° bf'pf?=/?2tanrtan30°=t,又 s吓呼=* i i i “2 丨 s

8、in。= ¥ 丨 丨 i “2 i，i pf, i i pf2 1=,从而i pf, i i pf2 =故答案选c.5解：设 zf,pf2 =0，则 0 = 90。. sw =&2tan- = b2tan45° = /?2 =20,c ja2 -b1 v5又 e =，a a 3解得：q2=45.2222/.所求椭圆的标准方程为+ - = 1或- + = 1.45 2045 206.解：设zfpf°=0,.cos0 = 5 p工二丄，& = 120。.pf- pf2 i 2s啊,=/?2 tan- = /?2tan60° = v3/?2 =屈,:.b = l.乂.尤=包c 3 2当c = v3时，0 =加+。2