曲线方程平面方程PPT课件

1、zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC第1页/共61页zxyo1C又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .第2页/共61页题1：画出下列曲线在第一卦限内的图形。 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2第3页/共61页(3)zxyo oaoa222azx222ayx第4页/共61

2、页22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的练习题：第5页/共61页第五节第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 第七七章 第6页/共61页zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyB

3、xxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n第7页/共61页kji例例1.1.求过三点求过三点,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM第8页/共61页此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zz

4、yyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:第9页/共61页特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c第10页/共61页二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此

5、方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.第11页/共61页特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B

6、 y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn第12页/共61页例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的的平面方程平面方程.例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy第13页/共61页三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为

7、cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 第14页/共61页2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n第15页/共61页因此有例例4. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,02

8、0CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且第16页/共61页外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 设设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01P

9、rjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)第17页/共61页xyzo0M例例6.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx第18页/共61页第六节第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第七七章 第19页/共61页一、空间直线

10、方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)第20页/共61页),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0第21页/共61页例例1. 求与两平面 x 4

11、 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji第22页/共61页3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0第23页/共61页例例1 1. .用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0

12、, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns第24页/共61页故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z)3, 1,4(21nns312111kji第25页/共61页241312zyx例例2. 求直线求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t第26页/共61页2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐

13、角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s第27页/共61页特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss第28页/共61页例例2. . 求以下两直线的夹求以下两直线的夹角角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2

14、010112kjis 第29页/共61页当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹直线与平面的夹角角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn第30页/共61页特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(n

15、n例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平且与平面面第31页/共61页例例4. 设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s417211kji)4,5,3(2所求为第32页/共61页例例5. 求过点求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方

16、程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P第33页/共61页 kji),(0000zyxM到直线到直线的距离距离pzznyymxxL111:为(2) 点点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML第34页/共61页思路: 先求交点例例7. 求过点求过点) 1 , 1 , 1 (0M,12:1xzxyL且与两直线1243:2xzxyL都相交的直线

17、 L.提示提示:21,LL将的方程化为参数方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设 L 与它们的交点分别为. ) 12,43,(2222tttM 再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111tttM第35页/共61页2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt三点共线2010/MMMML1L2L0M1M2M第36页/共61页3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111

18、DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12第37页/共61页例例4. 求直线求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1第38页/共61页例例6. 求过直线求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示提示: 过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所

19、求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n第39页/共61页一一、内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量第40页/共61页为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000z

20、yx),(pnms 为直线上一点; 第41页/共61页面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 第42页/共61页,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnm

21、s 021ss021ss2121cosssss 第43页/共61页CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin第44页/共61页3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12第45页/共61页(2)点点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1Mnn

22、nMMd01第46页/共61页 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML第47页/共61页推广推广第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第48页/共61页 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多

23、元函数的基本概念多元函数的基本概念 第49页/共61页 )(0oPPU00 PP 1. 邻域邻域, ) ,(0PPU例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx中点 a 的 邻域邻域为nR第50页/共61页(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U

24、(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2 2、区域、区域第51页/共61页(2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心) ,(PUE邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E 内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；第52页/共61页D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;第53页/共61