学习_高等代数笔记

1、1.多项式除法(1) f(x)=x3 3x2 x 1 g(x)=3x2 2x 1.* ,、17, 、 262普通带余除法f(x)=(1x-7) g(x)-26 x-23999(2) f(x)=x2 2x 5 g(x) = x2 x 22f (x) = ( x x 1) g (x) 5x 72. (3)综合除法32f (x) = x x x g(x) = x 1 +2i2q(x) = x 2ix 5 2i r(x) = 9 8i3.整除则(x 1) f1 (x) (x 1) f2 (x)(1)若 x2 x 1 f1(x3) + x f2(x3)2证：设x x 1的两个复根为13121 . 312

2、由于 x3-1 = (x 1)(x2 x 1 )所以 3 = 1,2,、 ，因为 x x 1 = (x) (x(x )(x) f (x3) + x f2 (x3)f1( 3)f2( 3) 0 叩 f1(1) f2(1) 0敢有CC即一f1( 3)f2( 3) 0 f1(1) f2(1) 0解得 f1(1)=0f2(1) =0 所以 (x 1) f(x) (x 1) f2 (x)如果 (x 1) f(xn)那么(xn 1) f (xn)证明： (x 1) f(xn) 所以 1 是 f(xn)的根，于是 f(1n)=f(1) = 0即(x 1) f(x)故存在多项式g(x) 使得f(x) = (x

3、 1) g(x) 从而 有 nnnnn nf(x ) = (x 1) g(x )此即(x 1) f(x )(3) xn 1 复域实域因式分解2k 2k斛令：k = cos+ 1 sin(k = 0 1 n1)xn 1复域内恰有n个根k (k = 0 1n 1)xn 1 = (x 1) (x 1)(x2) (xn 1)实域：k = n k2kk + nk= k + k = 2 cos n,、2 .一 2k(k n k) -4=2COS-4 0(k= 1n 1)n故 x2-( k+ nk) x+1是实数域上的不可约多项式当n为奇数时，有n2 ,、2 ,、x 1 = (x 1)x - ( 1 n 1

4、)x+1.x -(二 匚)x+1当n为偶数时，有n2,、2,、x 1 = (x 1) (x 1) x -( 1 n 1)x+1.x - ( n_2匚)x+1n 222k=(x 1) (x 1) x -2 x cos+1k 1n4.有理根f (x) = an xn + an 1 xn 1 +a0是一个整系数多项式而工是一个有理根则ss anr ao例：f(x)=4x4 7x2 5x 14因数，而分子必为常若f (x)有有理分肥，遇有理分化为既约分数后其分母为首项系数度数项-1的因数，所有可能的有理根为1,1验证有 f(1) = -9f( 1) =1 f (一)=-5 f (1-1,一21 C一)

5、=021 1-2 4,1f (7)=41-4171 f (641) J464,1,故-1是f(x)的有理根，又综合除法21 一， ，一，-1是f(x)的2重根25.最大公因式：(1)若(f(x), g(x) = 1,证明：对任意正整数 ngn(x) = 1(2) ( f(x), g(x) =1,( f(x) , h(x) =1,证明g(x) h(x) ) = 1证明：法 2.反证 若设(f(x), g(x) h(x) ) = d(x)(d(x)0 且 p(x)是d(x)的一个不可约多项式，则 p(x) f(x) , p(x) g(x) h(x)，但因(f(x) , g(x) = 1,所以p(x

6、)不整除g(x),p(x) h(x)这与(f(x) , h(x) ) = 1 矛盾， (f (x) , g(x) h(x) ) = 1(3)若(f (x) , g(x) = 1,那么(f (x) g(x) , f (x) + g(x) = 1证明：由于(f(x) , g(x) =1, 存在多项式u(x) v(x)使得u(x) f (x) + v(x) g(x) = 1u(x) f (x) - v(x) f (x) + v(x) f (x) + v(x) g(x)=(u(x)-v(x) f(x) + v(x) ( f (x) + g(x) = 1同理 u(x) f (x) + v(x) g (x

7、) - u(x) g (x) + u(x) g(x)=(v(x)-u(x) g(x) +u(x) ( f (x) + g(x) = 1由互素的充要条件知(f (x), f (x) + g(x) )=1(g(x) , f(x) + g(x) )=1若(f(x)g(x), f (x) + g(x) ) = d(x) ,(d(x)。且 p(x)是 d(x)的一个不可约多项式，则p(x) f (x) g(x)且p(x) f (x) + g(x)又(f (x), f (x) +g(x)=1 , p(x) g(x)这与(g(x), f (x)+ g(x)=1矛盾， (f(x)g(x), f(x) + g(

8、x)=1(4)若(fi(x), gj(x) ) = 1( i =1, 2.m , j =1, 2.n )则(f1(x).fm(x) , g1(x)gn(x) ) = 1证明 由于(f1 (x), gj(x) = 1( j =1, 2.n )首先证明若(f1(x), gj (x) = 1, ( f1(x), gi(x) )=1(i , j = 1, 2n )则(f1(x), gi(x) gj(x) = 1,若不然，设(f1(x), gi(x) gj(x) ) = d(x)(d(x)。且 p(x)是 d(x)的一个不可约多项式，则 p(x) f1(x)且 p(x) gi(x) gj(x)又(f1(

9、x), gj(x) =1,则 p(x) gi(x)这与(G(x), gi(x) = 1 矛盾,(fl(x), gi(x) gj(x) ) = 1重复此过程，得到(fi(x) , gi(x)gn(x)=1(i =2.m)同理可证(fi (x) , g1(x)gn(x) ) = 1再次反复应用上述证明过程，便可得到（fl(x) . fm(x),gi(x)gn(x)二，行列式ai6. (1)a2b3b2a3a1b，bia，a2b3b2a3(2)7.DnDn 1 + (Dn=Dn8. Dn =b，a，2n 12n2n 22,2+ b )D2na11 1a?a21a3a3an1anan1)n1+ (1)

10、a1n _an a1 一.=1- a1 + a1a2 +1)na1an=(1 x) Dn 1-yDn 2Dn= (1 x)Dn1 - x Dn 2整理得Dn-Dn1 =8.基础解系x1x2x3x4x5 03x12x2 x3 x4 3x5 0x2 2x3 2x4 6x5 05x14x2 3x3 3x4 x5011111解：其系数矩阵01对其只作行的初等变换543311111101226 A012260122611111012260000000000原方程与x1x2 x3x4x5x2 2x3 2x4 6x5 0同解令 x3 = 1, x4 = x5 = 0 得i= (1, -2, 1, 0, 0)

11、令 x3 = x5 = 0, x4 = 1得2 = (1, -2, 0, 1, 0)令 x3 = x4 = 0, x5 = 1得 3=(5, -6, 0, 0, 1)则 1 2 3 是方程组的一个基础解系，全部解为x = c11 + c2 2 + C3 3( c1 , C2 , C3 为任意常数)x1 x2 3x4 x50x1 x2 2x3 x402)12344x12x26x33x44x502x14x22x34x47x50解：其系数矩阵1111A =42240312106342471103102221066150022 10511031022210009300000原方程与XiX23x4X52

12、x2 2x3 x4 x50同解,9x4 3x5 0令 x2 = 1, x5 = 0 得产(-1, 1, 1, 0, 0)令 x2 = 0, x5 = 1 得2=(2, 0, ,一 ,1)63则1 2是方程组的一个基础解系，全部解为x = cl 1 + C2 2（C1 , C2为任意常数）9.证明：1 23无关的充要条件1+2,2+3,3 + 1线性无关(1)证明：设有线性关系式k1(1 +2)+k2(2 +3)+k3(3 +1)=。即(k1 + k2)2 +( k1 + k3)1 + ( k2 + k3)3 = 0由题设1 2 3线性无关k1k30k1卜20 解得k1=卜2 =卜3 = 0k2

13、k301 + 2,2 + 3,3+ 1线性无关当奇数个线性无关向里1 " . 2n 1 ,则1 + 2 ,2 + 3 , .2n + 2n 1 , 2n 1 + 1也线性无关证明：设有线性关系式 k1( 1 + 2)+卜2 (2 + 3)+ +k2n 1 ( 2n 1 + 1 ) = 0即 (k1+ k2n 1)1 + ( k1+ k2)2 +.+ ( k2n + k2n 1) 2n 1 = 0又由2n 1线性无关，则有k1k2n 10k1k20k2nk2n 101011其系数矩阵A=0 00 00100.01011其行列式A =2 0其方程组只有零解2n 1+ 1线性无关 2n +

14、 1 相关,2n + 1也相关，(1)ki = = k2n 1=0i +(3)若有偶数个线性相关向量若有偶数个线性无关向量厂证明：设有线性关系式k1 ( 1 + 2) + k2 ( 2 +即(k1 + k2n) 1+ ( k1 + k2)2，2 +3， . 2n + 2n 1，1 . 2n 1+2 ,2 + 3 ,'. 2n 1 +2，2 +3，3)+k2n( 2n + 1)=。2 + .+( k2n+ k2n 1 ) 2n = 0又若1 . 2n线性相关，即(2)式中存在不为零的系数，不妨设为k1+k2不为零,则k1 , k2至少一个不为零即 k1, k2k2 n不全为零，2n +1

15、相关若2n线性无关，则有k1k2nk2其系数矩阵.0k2n 1k2n方程组存在非零解即k1,0+(0k21)2nk2n不全为零2n + 1相关10.1=1 ,2 =1 + 2,r线性无关，证明1.，r线性无关证明:设上述矩阵为A,A为上三角阵，显然A °，r)r) A1a11anA可逆设A1a21解得r)r也可以被r等价,r线性无关11.设秩(证明：存在j(2(2)设它的一个极大线性无关组证明:i1ir是i1iri1irk1i1+kri1r线性表出它们秩相等，又2, r线性无关,j n)使得 i可由1s的秩为r ,证明:n线性表示s中任意r个线性无关向量都构成s的一个线性无关组又向量

16、组j ( j =1, 2, ., s)是线性相关的，否则，原向量组秩超过了rj线性相关，则存在不全为零的一组数K, k2kr 1使得ir + kr 1 j = 0 若 kr 1 = 0 则由 k1，k2kr不全为零知ir相关与i11.ir 的选取矛盾， kr 10 即 j=- (k1 h +- krkr 1iriiir是s的一个极大线性无关组，又由iiir任意性知,命题成立。(3)设iiir是S中的r个向量，使得i, . , s中每个向量都可以被它们线性表出,证明iiir是s的一个极大线性无关组证明：由题设知iis等价,由等价向量组有相同秩iiir的秩也为r ,所以iiir线性无关，而S中任意

17、一个向量都可以被iiir线性表出,iiir是s的一个极大线性无关组。i2. i,A x = b的三个解，且r ( A) = 3.导出组解:另一个解i3.证明:证明:求另一个解n矩阵2),那么当r(A)n时,r(A)r( A) n ir( A) n i0,即A可逆，又A A= A A = A E当r(A) ni时,则AA=AA = AE=0, A的列向量是 A x =0的解，又r(A) n i,Ax =0的解基础系只有一个非零向量。即 r ( A ) i,又r ( A ) i所以 r ( A ) = 1. 当r(A) n 1时，则A的所有n 1阶子式全为零，由伴随矩阵A = ( Aj )定义知A

18、 =0, r ( A ) = 0.(2) 证明A = An 1 其中A是n n矩阵(n 2),证明 A A= A A = |A E A A = A | |A=|AE = An n 1当A 0时，A = A. 一，一 一，n 1当 A = 0 时，A = 0 时，A =0. A = A r(A) 0, AA=AE = 0,由 r(A)+r(A) n,故 r(A) rrn 1即A =0 A = A命题得证。(3)设AB是n n矩阵，证明，如果 A B = 0,则r( A) + r(B) n证明：记B= ( 1 ,.n),由A B =0得A( 1, ,. n) = (0, 0, ,0) 即 A j

19、= 0(j=1,.n)即 j是Ax = 0 的解向量，故 r(B) n-r(A) r(A) + r(B) n k12k 1(4)证明：如果 A=0 那么(E A) = E+ A+A +- -.+ A(E+A+A2 +.+ Ak 1) (E A) = E + + Ak 1 - A-A2-.-Ak= E-Ak=E (E A) 1= E+A+A2+.+Ak 11 114. A = 5, A是3*3阶矩阵，求 A -(§ A)1的行列式解：A A= A |A=|AE = A3 A = A2= 11 11111而(A)1( A)= E(-A)1 = 3 A 1333(1A) 1 = 3A 1

20、=33 A 13w=2又 A A 1= E（3A）1=33 *2 = 54A(A11(-A) 1) = AA 31e = 31e 3E6A(A11( A) 1) = A A3(3A)110815. A =1=X11+3 E 求 X解：AXA1=X1+3E 两边同时右乘A,A X = X +3 A(A E)X =3A AAX = AX+3AAA A= A A = A E A A= A A = A4A =2A = 2(A ) 1A X = X+3 AA A X = A X+3 A A(A AA)X=3 AA(AEA)X=3 AEX =6(2E A ) 16 0000 6006 0600 30116

21、. An nBn n证明r(AB E)r(A E) + r(B E)AB E 0 A E证明G =B E 00r(AB E) r(G) r(F)而 r(F) = r(A E) + r(B E) An nBn n证明 r(AB A B)r(A) +r(B)证明：令G =ABk17. A =0( k 2 )证明(E A) 1 = E +A+A2 +.+Ak 1k2k 1正展 E- A = (E A) ( E + A+ A +,.+A )2. k 1E = (E A) (E + A+A+.+ A )E-A= E +A+A2 +.+Ak 1(E A) ( E + A+ A? + .+ A 1) = E

22、 + A+ A? + .+ A 1 - A- A2 - ,.- Ak=E-Ak = EE-A= E +A+A2 +.+ Ak 118. f (x1,.,xn)= XTAX 二次型12x1(X1 , X2)写出二次矩阵3 4X2、3210-19. 设 A =(A) = A -5 A2 3解：XT = A,存在正交阵，使得 T 1AT为对角阵一 ,_32因为 E A=( -1)(-5)23故A的特征值为1=1, 2 = 5且属于1 = 1的一个特征向量为 X1 =1属于2 = 5的一个特征向量为 X2 =则 T 1AT =且B100510B9059而 A=TBT1111 _1011 L5522 .

23、 222211 .-11 l1011 L55222222A10 =TB10T1,10，100510A9 = TB9TA10-5A9 =05912121212121215 215212121592159212121U10521 二 1052121215 21521010-5121215215212121 c9521 c952步骤:1=-21(1)求矩阵特征值A=0X,.，Xn根据特征值求每一个特征值的特征向量,(3)写出正交矩阵T = ( 1n)1T 1AT = B =A = TBT 1Ak = TBkT且求得T只要证T = ( X12,2,220. f (Xi,X2,X3)=tX1 +t X2

24、 + t X3 +2 Xi X2+2 Xi X3-2 X2 X3证明：t 2时f(x)正定，t 0时f(x)负定t 11证明：写出二次型的矩阵 1 t 111 t因为 1 = t 2 = t -1A = (t 1)2(t 2)若 f (x1, x2, x3)正定，则 1 0,20,30t 0可得t 1,t1 综合得t 2t 2若 f (x1，x2, x3)负定，则 10,20,30t 02即 t 1 0 所以t 02_(t 1) (t 2) 0负定矩阵：奇数阶顺序主子式的行列式0偶数阶顺序主子式的行列式022223.将一次曲面 4 x1 +4x2+4 x3+4 x1 x2+4 x1 x3+4

25、x2 x3 = 1 化为标准方程4 2 2解：二次型矩阵为 A= 2 4 22 2 4可求得| E A = (8)(2)2 A的特征值为1 =2 = 2,3 = 8求得 1= 2 =2 的特征向量：x1 = ( 1,0,1)T, x2=( 1,1,0)T3 = 8的特征向量：x3=(1,1,1)T将1 ,2正交化，单位化' 1)' 1'/ 1.1、1=( 1,0,1)2 = *2 -1 = ( 1,0,1) ( 1,0,1) = ( ，1，一)(1, 1)222单位化 1=(-X,0, -L)2=(-卷，§，一)将x3单位化113 = ( -， 一，3. 31

26、,2令 X=T Y JJT=012_616.3.6133. 616,3'222则 X A X =2 y1 +2 y2 +8 丫3 = 11 00 0求得其0 00 1解（3）二次型矩阵0 10 00 0 10E A =(1)2(1)2A的特征值1 = 2 = 1,3= 4 = -1 ,相应的特征向重为101010101 一?02 1 '30，4101011与2正交，3与4正交 单位化得:001110_ 1 1 _ 1 01五 0，2一我 101121令X=TY,其中丁= 2100正交化 单位化_ 1 1 _ 13五 0'472001.2.J001201120、21120

27、-2(2 , 1) 2 -(1,1)(3-(3, 1 )(1, 1)13 1313(4, 1)(1, 1)(4,2)(4 ,3 )2(2,2)(3 ,3 )再单位化3.3. 3,311?4 =66622222. f (X1, X2 , X3) = X1 X2+ X1 X3 - X2 X3(1)构造平方项，化为标准形注：奇个变量作二次变换偶个变量作四次变换解:X1y1y2X2y1y2X3y322f (不,*2, X3)=0-y2 + y1+ y2 y3- y1 y3 + y2 ”=y2-(y2 y3)2+y；作非退化线性替换：yZ1yZ2Z3y3Z32 r 2 _ 2f (X1, X2 , 必

28、) = z1 - z2 + z3将代入，得X1Z1Z2Z3X2Z1Z2Z3X3 Z3所以替换矩阵1101T = 11 0 000100 011010 = 11 01 111110 01T 1AT = 01 0001(2) f (x) = 8 X1 x4 +2 X3 x4 +2 x2 X3 +8 x2 x4X1y1V4x人x2y2y3解：令2，2，3X3V2y3X4y1V43 y3)553 、2 一f(X1，X2,X3,X4)=8(y1 -y2 - y3)-8(y488得二次型5y y28Z2y2Z3y358y238y338y3y4Y1即y453Z1 Z2 Z388yZ2y3Z353Z4f =

29、8 z12 +2 z2 -2 z； -8 z233.23.在 F 中T(x1，X2,X3)T L(F ) 变换 T求其在e , e2, e3下的矩阵T(X1, X2,X3)=(2( X1- X2), X2+ X3, X1 )解：T 1=T(1,0,0)=(2,0,0)T 2 = T(0,1,0)=(-2,1,0)T 3=T (0,0,1)=(0,1,0)22 0所以 T (e1 ,e2, e3)=(向，e2, e3) 01100024. T 1=(-5,0,3) T 2=(0,-1,6), T 3=(-5,-1,9)1=(-1,0,2), 2 =(0,1,1), 3=(3,-1,0)3是F3的

30、一组基，求T在标准正交基e1,e2,e3下的矩阵解:(1033)=( el, e2, e3 )011 =( el, e2, e3 ) A2105 05T( 1, 2, 3) =(e1,e2,e3) B =(e1,e2,e3) 011369令T(e,e2,e3)= (e1,e2,e3) C1 03因为 A = 011 = -6-1 = -7 0. A 可逆2 101(e,e2,e3)=( 1,2,3) A1T(e1,e2,e3) = T( 1, 2, 3)A = (3,% 8) C1 1C = T( 1, 2, 3)A = BA325. F 中给定一组基(I )1 = ( 1, 0, 1)2 =

31、 (2, 1, 0)3=(1, 1 , D一组基(n)1= (1, 2,-1)2= (2, 2,-1)3= (2, -1, -1)T L(F3)且丁( J= i (i=1, 2, 3)（1） 求（1,2,3）到（1,2,3）过渡矩阵写出T在（1,2,3）下矩阵（3） 写出T在（1,2 ,3）下矩阵(4)=1 +2 2 +3 3 求 T 在 1 ,2 ,3下坐标解;设e1,e2,e3是F3的标准正交基，且(1, 2, 3)=(e,e2,e3)A(1，2，3) = (e1,e2,e3) B121由题设知A=011101A 0，A可逆,1A =("2,33)(1,2,3)=(1,2,3)AB 、- - 1 -过渡矩阵X = A BX3X5X6T(1>23)=(1)2)3)1 、=(1 ,2 ,3 ) A B(3),T(i,2,3)=(1,2,3)D11T(1,2