曲线凸凹性与拐点PPT课件

1、二二 、曲线凸凹性的判定、曲线凸凹性的判定函数的凹凸性与 f (x) 的符号有关第1页/共23页,),(,)(内二阶可导内二阶可导在在上连续上连续在在babaxf,0)(),()1( xfba内内若在若在设函数定理3.12(凹凸判定法)上的图形上的图形在在则则,)(baxf是凹的；是凹的；,0)(),()2( xfba内内若在若在上的图形上的图形在在则则,)(baxf是凸的；是凸的；证),(,21baxx ),(21210 xxx 记记xOx1x2x0第2页/共23页由拉氏中值定理可得0210 xxxxh )()()(10110 xxfxfxf ),(,)(0111xxhf )()()(022

2、02xxfxfxf ),(,)(2022xxhf 两式相减，可得)(2)()(012xfxfxf hff)()(12 满足拉氏定理满足拉氏定理在在,)(21 xf hf)(12 ),(21 , 0 ,2)()()2(2121xfxfxxf 即即.,)(上的图形是凹的上的图形是凹的在在即即baxf0)( xfxOx1x2x0第3页/共23页例例1 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性.解,43xy .122xy 时，时，当当0 x,0 y,0时时当当 x, 0 y故曲线4xy 在),( 上是凹的.Oxy4xy 第4页/共23页例例2 判断曲线判断曲线的凹凸性.3xy 解,32xy .6xy 时，时，

3、当当0 x,0 y,0时时当当 x, 0 y故曲线3xy 在0,(上是凹的, 时，时，当当0 x,0 y在), 0 上是凸的. 点(0, 0)是凸弧与凹弧的分界点. Oxy3xy 凹弧的分界点称为拐点 .定义3.3yOx连续曲线弧上凸弧与第5页/共23页三、拐点的判定三、拐点的判定定理3.13 (拐点判定法),)(0内二阶可导内二阶可导在在xU0)(0 xf或不存在,(1) 若 )(xf 在 两侧异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.(2) 若 )(xf 在 两侧同号,0 x)(xfy 线线的拐点.若曲线)(xfy ,0处连续处连续在点在点x则点)(,(00 xfx

4、不是曲第6页/共23页35)2( xy的拐点. 解,)2(3532 xy31)2(910 xyxy y2)2,(),2( 不存在0 因此点 ( 2 , 0 ) 为曲线的拐点 .凸凹例例3 求曲线求曲线.,2不存在不存在时时当当yx ,219103 x35)2( xyOxy235)2( xy第7页/共23页32)1(xxy 的拐点. 解,3253xxy .15923xxxy 例例4 求曲线求曲线,0时时当当 x.,0不存在不存在时时当当yx ；得得51 x, 0 y令令xy y0)51,( )0,51( 不存在 凸凹),0( 凹51 0(拐点)因此的拐点 .323)1()2556,51(xxy

5、是是点点第8页/共23页例例5有有, 0, 0yxyx 于是对于于是对于)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx ，证明不等式：，证明不等式：利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性证,ln)(tttf 令令)., 0( D, 1ln)( ttf01)( ttf), 0( t.)0()(是凹的是凹的，的图形在的图形在故曲线故曲线 tf),2(2)()(yxfyfxf ),2ln(22lnlnyxyxyyxx 即即).2ln()(lnlnyxyxyyxx 第9页/共23页内容小结内容小结曲线凹凸与拐点的判别拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点Ixxf , 0)()(xf曲线

6、曲线Ixxf , 0)(在 I 上是凹的在 I 上是凸的)(xf曲线曲线第10页/共23页续续的某邻域内具有三阶连的某邻域内具有三阶连在在设设0)(xxxfy 思考题思考题)(,(, 0)(, 0)(,0000 xfxxfxf试问试问而而如果如果导数导数 为什么？为什么？的拐点的拐点是否为曲线是否为曲线,)(xfy 解,不失一般性不失一般性. 0)(0 xf设设的某邻域连续可知，的某邻域连续可知，由三阶导数在由三阶导数在0 xx )(lim0 xfxx . 0)(0 xf第11页/共23页.)(,(00是拐点是拐点从而从而xfx在该邻域内单调递增，在该邻域内单调递增，于是于是)(xf , 0)

7、(0 xf但但,),(00时时当当 xxx, 0)( xf,),(00时时故当故当xxx , 0)( xf，由极限的局部保号性知由极限的局部保号性知),(0 xU存在存在,),(0时时使得当使得当 xUx . 0)( xf第12页/共23页备用题备用题例例1-1 .)1ln(2的凹凸性与拐点的凹凸性与拐点讨论曲线讨论曲线 xy解,122 xxy222)1(22)1(2 xxxxy222)1()1(2 xx.)1()1)(1(222 xxx令, 0 y得,1,121 xx对应. 2ln21 yy第13页/共23页xy y1)1,( )1 , 1( 0 凸凹),1( 凸1 0拐点拐点,)11(上是

8、凸的上是凸的，及及，曲线在曲线在 由表可知，由表可知，,11上是凹的上是凹的，在在 .)2ln1()2ln1(是曲线的拐点是曲线的拐点，及及， Oxy)1ln(2xy )2ln, 1( )2ln, 1(第14页/共23页例例3-1 求曲求曲线线.,0不存在不存在时时当当yx 的拐点. 解,3132 xy.9235 xy因此点 (0, 0) 为曲线3xy 的拐点.xy y0)0,(),0( 不存在0 凹凸Oxy3xy 3xy 第15页/共23页xxy24362 ).32(36 xx的凹凸区间及拐点.解(1) 求y ,121223xxy (2) 求拐点可疑点坐标令, 0 y得,32,021 xx对

9、应(3) 列表判别.2711,121 yy例例4-1 求曲求曲线线14334 xxy第16页/共23页故该曲线在0,(),32 及上是凹的,是凸的,点 (0, 1) 及)2711,32(均为拐点.上上在在32,0 xy y32)0,()32, 0(0 凹凸),32( 凹00(拐点)Oxy14334 xxy)1 ,0()2711,32(拐点)第17页/共23页112 xxy有位于一直线的三个拐点.求证曲线 证 y y222)1(21 xxx3223)1()133(2 xxxx32)1()32)(32)(1(2 xxxxxxx2)1()1(2 22)1( x42)1( x)22(x 22) 1(x

10、)21 (2xx ) 1(22xx2 例4-2第18页/共23页令0 y得,11 x),1, 1(从而三个拐点为因为32 所以三个拐点共线., 323 x,322 x, )34831,32( ).34831,32( 32 1 1 34831 1 1 34831 第19页/共23页解,)3()(22 xKxf设设曲线曲线为何值时为何值时问当问当,K228)3(4)(KxxKxf 例例4-3 在拐点处的法线通过原点.).1(122 xK. 1, 0)( xxf解得解得令令,)(1符号相同符号相同与与时，时，而当而当Kxfx ),3(4)(2 xKxxf,)(11符号相反符号相反与与时，时，当当Kxfx .)(1符号相同符号相同也与也与时，时，当当Kxfx 第20页/共23页).4 , 1()4 , 1(KK 和和拐点为拐点为 又法线经过原点，,8)1(1Kfx 时，切线的斜率时，切线的斜率当当此时法线的此时法线的,81K斜率为斜率为:法线方程为法线方程为所以所以.241 K解得解得, 1814 KK故故,81xKy :)4 , 1(K对于拐点对于拐点第21页/共23页:)4 , 1(K 对于拐点对于